ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddid1 GIF version

Theorem xaddid1 9613
Description: Extended real version of addid1 7868. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 9531 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 0re 7734 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 rexadd 9603 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
42, 3mpan2 421 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5 recn 7721 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
65addid1d 7879 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
74, 6eqtrd 2150 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8 0xr 7780 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 renemnf 7782 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
102, 9ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ -∞
11 xaddpnf2 9598 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
128, 10, 11mp2an 422 . . . 4 (+∞ +𝑒 0) = +∞
13 oveq1 5749 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14 id 19 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1512, 13, 143eqtr4a 2176 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16 renepnf 7781 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
172, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ +∞
18 xaddmnf2 9600 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
198, 17, 18mp2an 422 . . . 4 (-∞ +𝑒 0) = -∞
20 oveq1 5749 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2219, 20, 213eqtr4a 2176 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
237, 15, 223jaoi 1266 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
241, 23sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588   + caddc 7591  +∞cpnf 7765  -∞cmnf 7766  *cxr 7767   +𝑒 cxad 9525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-xadd 9528
This theorem is referenced by:  xaddid2  9614  xaddid1d  9615  xnn0xadd0  9618  xpncan  9622  psmetsym  12425  psmetge0  12427  xmetge0  12461  xmetsym  12464
  Copyright terms: Public domain W3C validator