Theorem xaddid1 9789

Description: Extended real version of addid1 8027. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 7890	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 9779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 7877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addid1d 8038	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8		0xr 7936	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 7938	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 9774	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 0) = +∞
13		oveq1 5843	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2223	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16		renepnf 7937	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 9776	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 0) = -∞
20		oveq1 5843	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2223	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 966   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334  (class class class)co 5836  ℝcr 7743  0cc0 7744   + caddc 7747  +∞cpnf 7921  -∞cmnf 7922  ℝ^*cxr 7923   +_𝑒 cxad 9697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1re 7838  ax-addrcl 7841  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-xadd 9700

This theorem is referenced by:  xaddid2  9790  xaddid1d  9791  xnn0xadd0  9794  xpncan  9798  psmetsym  12870  psmetge0  12872  xmetge0  12906  xmetsym  12909