Theorem xaddid1 10004

Description: Extended real version of addrid 8230. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 8092	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 9994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 8078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 8241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8		0xr 8139	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 8141	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 9989	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 0) = +∞
13		oveq1 5964	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2265	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16		renepnf 8140	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 9991	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 0) = -∞
20		oveq1 5964	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2265	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  0cc0 7945   + caddc 7948  +∞cpnf 8124  -∞cmnf 8125  ℝ^*cxr 8126   +_𝑒 cxad 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-xadd 9915

This theorem is referenced by:  xaddid2  10005  xaddid1d  10006  xnn0xadd0  10009  xpncan  10013  psmetsym  14876  psmetge0  14878  xmetge0  14912  xmetsym  14915