Theorem xaddid1 9931

Description: Extended real version of addrid 8159. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9845	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 8021	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 9921	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 8007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 8170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8		0xr 8068	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 8070	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 9916	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 0) = +∞
13		oveq1 5926	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2252	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16		renepnf 8069	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 9918	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 0) = -∞
20		oveq1 5926	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2252	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   + caddc 7877  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055   +_𝑒 cxad 9839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-xadd 9842

This theorem is referenced by:  xaddid2  9932  xaddid1d  9933  xnn0xadd0  9936  xpncan  9940  psmetsym  14508  psmetge0  14510  xmetge0  14544  xmetsym  14547