ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddid1 GIF version

Theorem xaddid1 9668
Description: Extended real version of addid1 7919. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 9586 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 0re 7785 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 rexadd 9658 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
42, 3mpan2 421 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5 recn 7772 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
65addid1d 7930 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
74, 6eqtrd 2172 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8 0xr 7831 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 renemnf 7833 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
102, 9ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ -∞
11 xaddpnf2 9653 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
128, 10, 11mp2an 422 . . . 4 (+∞ +𝑒 0) = +∞
13 oveq1 5784 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14 id 19 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1512, 13, 143eqtr4a 2198 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16 renepnf 7832 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
172, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ +∞
18 xaddmnf2 9655 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
198, 17, 18mp2an 422 . . . 4 (-∞ +𝑒 0) = -∞
20 oveq1 5784 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2219, 20, 213eqtr4a 2198 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
237, 15, 223jaoi 1281 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
241, 23sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  (class class class)co 5777  cr 7638  0cc0 7639   + caddc 7642  +∞cpnf 7816  -∞cmnf 7817  *cxr 7818   +𝑒 cxad 9580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1re 7733  ax-addrcl 7736  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-xadd 9583
This theorem is referenced by:  xaddid2  9669  xaddid1d  9670  xnn0xadd0  9673  xpncan  9677  psmetsym  12524  psmetge0  12526  xmetge0  12560  xmetsym  12563
  Copyright terms: Public domain W3C validator