Theorem xaddid1 10054

Description: Extended real version of addrid 8280. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9968	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 8142	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 10044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 8128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 8291	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8		0xr 8189	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 8191	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 10039	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 0) = +∞
13		oveq1 6007	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2288	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16		renepnf 8190	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 10041	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 0) = -∞
20		oveq1 6007	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2288	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998  +∞cpnf 8174  -∞cmnf 8175  ℝ^*cxr 8176   +_𝑒 cxad 9962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-xadd 9965

This theorem is referenced by:  xaddid2  10055  xaddid1d  10056  xnn0xadd0  10059  xpncan  10063  psmetsym  14997  psmetge0  14999  xmetge0  15033  xmetsym  15036