Theorem xaddid1 10281

Description: Extended real version of addrid 8471. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 8332	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 10271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 8318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 8482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
8		0xr 8378	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 8380	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 10266	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +e 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (+∞ +e 0) = +∞
13		oveq1 6095	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 0) = (+∞ +e 0))
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
16		renepnf 8379	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 10268	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +e 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (-∞ +e 0) = -∞
20		oveq1 6095	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 0) = (-∞ +e 0))
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188  +∞cpnf 8363  -∞cmnf 8364  ℝ^*cxr 8365   +_e cxad 10189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-xadd 10192

This theorem is used by:  xaddid2  10282  xaddid1d  10283  xnn0xadd0  10286  xpncan  10290  psmetsym  15555  psmetge0  15557  xmetge0  15591  xmetsym  15594