Theorem xaddid1 10214

Description: Extended real version of addrid 8427. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddid1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		0re 8290	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		rexadd 10204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5		recn 8276	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 8438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	4, 6	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8		0xr 8336	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		renemnf 8338	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ -∞
11		xaddpnf2 10199	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
12	8, 10, 11	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 0) = +∞
13		oveq1 6065	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
15	12, 13, 14	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16		renepnf 8337	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ +∞
18		xaddmnf2 10201	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
19	8, 17, 18	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 0) = -∞
20		oveq1 6065	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	7, 15, 22	3jaoi 1340	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	1, 23	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143   + caddc 8146  +∞cpnf 8321  -∞cmnf 8322  ℝ^*cxr 8323   +_𝑒 cxad 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-xadd 10125

This theorem is referenced by:  xaddid2  10215  xaddid1d  10216  xnn0xadd0  10219  xpncan  10223  psmetsym  15320  psmetge0  15322  xmetge0  15356  xmetsym  15359