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Theorem xaddcom 9656
Description: The extended real addition operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
xaddcom ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem xaddcom
StepHypRef Expression
1 elxr 9575 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 9575 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 7765 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 7765 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 addcom 7911 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
63, 4, 5syl2an 287 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7 rexadd 9647 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
8 rexadd 9647 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
98ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
106, 7, 93eqtr4d 2182 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
11 oveq2 5782 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
12 rexr 7823 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13 renemnf 7826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
14 xaddpnf1 9641 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
1512, 13, 14syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
1611, 15sylan9eqr 2194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
17 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 𝐴))
18 xaddpnf2 9642 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
1912, 13, 18syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
2017, 19sylan9eqr 2194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = +∞)
2116, 20eqtr4d 2175 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
22 oveq2 5782 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
23 renepnf 7825 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
24 xaddmnf1 9643 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2512, 23, 24syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
2622, 25sylan9eqr 2194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
27 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
28 xaddmnf2 9644 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
2912, 23, 28syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
3027, 29sylan9eqr 2194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = -∞)
3126, 30eqtr4d 2175 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
3210, 21, 313jaodan 1284 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
332, 32sylan2b 285 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
34 pnfaddmnf 9645 . . . . . . . 8 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
35 mnfaddpnf 9646 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
3634, 35eqtr4i 2163 . . . . . . 7 (+∞ +𝑒 -∞) = (-∞ +𝑒 +∞)
37 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
3837oveq2d 5790 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
3937oveq1d 5789 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = (-∞ +𝑒 +∞))
4036, 38, 393eqtr4a 2198 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
41 xaddpnf2 9642 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
42 xaddpnf1 9641 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4341, 42eqtr4d 2175 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
44 xrmnfdc 9638 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ*DECID 𝐵 = -∞)
45 exmiddc 821 . . . . . . . 8 (DECID 𝐵 = -∞ → (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
4644, 45syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
47 df-ne 2309 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐵 = -∞)
4847orbi2i 751 . . . . . . 7 ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 = -∞ ∨ ¬ 𝐵 = -∞))
4946, 48sylibr 133 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ≠ -∞))
5040, 43, 49mpjaodan 787 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
5150adantl 275 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 +∞))
52 simpl 108 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
5352oveq1d 5789 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
5452oveq2d 5790 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 +∞))
5551, 53, 543eqtr4d 2182 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
5635, 34eqtr4i 2163 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 +∞) = (+∞ +𝑒 -∞)
57 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5857oveq2d 5790 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
5957oveq1d 5789 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
6056, 58, 593eqtr4a 2198 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
61 xaddmnf2 9644 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
62 xaddmnf1 9643 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
6361, 62eqtr4d 2175 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
64 xrpnfdc 9637 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ*DECID 𝐵 = +∞)
65 exmiddc 821 . . . . . . . 8 (DECID 𝐵 = +∞ → (𝐵 = +∞ ∨ ¬ 𝐵 = +∞))
6664, 65syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ∨ ¬ 𝐵 = +∞))
67 df-ne 2309 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐵 = +∞)
6867orbi2i 751 . . . . . . 7 ((𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 = +∞ ∨ ¬ 𝐵 = +∞))
6966, 68sylibr 133 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ≠ +∞))
7060, 63, 69mpjaodan 787 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
7170adantl 275 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
72 simpl 108 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
7372oveq1d 5789 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
7472oveq2d 5790 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 -∞))
7571, 73, 743eqtr4d 2182 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
7633, 55, 753jaoian 1283 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
771, 76sylanb 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635  +∞cpnf 7809  -∞cmnf 7810  *cxr 7811   +𝑒 cxad 9569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1re 7726  ax-addrcl 7729  ax-addcom 7732  ax-rnegex 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-xadd 9572
This theorem is referenced by:  xaddid2  9658  xleadd2a  9669  xltadd2  9672  xadd4d  9680  xrmaxaddlem  11041
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