Theorem 0xr 8372

Description: Zero is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*

Proof of Theorem 0xr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 8369	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		0re 8326	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	1, 2	sselii 3245	1 ⊢ 0 ∈ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ℝcr 8178  0cc0 8179  ℝ^*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-xr 8364

This theorem is used by:  0lepnf  10194  ge0gtmnf  10227  xlt0neg1  10242  xlt0neg2  10243  xle0neg1  10244  xle0neg2  10245  xaddf  10248  xaddval  10249  xaddid1  10266  xaddid2  10267  xnn0xadd0  10271  xaddge0  10282  xsubge0  10285  xposdif  10286  ioopos  10354  elxrge0  10382  0e0iccpnf  10384  dfrp2  10700  xrmaxadd  12029  xrminrpcl  12042  xrbdtri  12044  fprodge0  12406  ef01bndlem  12525  sin01bnd  12526  cos01bnd  12527  cos1bnd  12528  sinltxirr  12530  sin01gt0  12531  cos01gt0  12532  sin02gt0  12533  sincos1sgn  12534  sincos2sgn  12535  cos12dec  12537  halfleoddlt  12663  psmetge0  15434  isxmet2d  15451  xmetge0  15468  blgt0  15505  xblss2ps  15507  xblss2  15508  xblm  15520  bdxmet  15604  bdmet  15605  bdmopn  15607  xmetxp  15610  cnblcld  15638  blssioo  15656  reeff1oleme  15875  reeff1o  15876  sin0pilem1  15885  sin0pilem2  15886  pilem3  15887  sinhalfpilem  15895  sincosq1lem  15929  sincosq1sgn  15930  sincosq2sgn  15931  sinq12gt0  15934  cosq14gt0  15936  tangtx  15942  sincos4thpi  15944  pigt3  15948  cosordlem  15953  cosq34lt1  15954  cos02pilt1  15955  cos0pilt1  15956  repiecelem  17086  repiecege0  17088  iooref1o  17095  taupi  17135