Theorem xnegneg 9955

Description: Extended real version of negneg 8322. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 9952	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		xnegeq 9949	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5		renegcl 8333	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 9952	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8		recn 8058	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 8374	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
10	4, 7, 9	3eqtrd 2242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11		xnegmnf 9951	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12		xnegeq 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13		xnegpnf 9950	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
14	12, 13	eqtrdi 2254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15		xnegeq 9949	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
18	11, 16, 17	3eqtr4a 2264	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19		xnegeq 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
20	19, 11	eqtrdi 2254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21		xnegeq 9949	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
24	13, 22, 23	3eqtr4a 2264	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
25	10, 18, 24	3jaoi 1316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
26	1, 25	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ℝcr 7924  +∞cpnf 8104  -∞cmnf 8105  ℝ^*cxr 8106  -cneg 8244  -_𝑒cxne 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-sub 8245  df-neg 8246  df-xneg 9894

This theorem is referenced by:  xneg11  9956  xltneg  9958  xnegdi  9990  xnpcan  9994  xrnegiso  11573  infxrnegsupex  11574  xrnegcon1d  11575  xrminmax  11576  xrmin1inf  11578  xrmin2inf  11579  xrltmininf  11581  xrlemininf  11582  xrminltinf  11583  xrminadd  11586