ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegneg GIF version

Theorem xnegneg 9556
Description: Extended real version of negneg 7976. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegneg (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg
StepHypRef Expression
1 elxr 9503 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 9553 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 xnegeq 9550 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5 renegcl 7987 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 rexneg 9553 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8 recn 7717 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
98negnegd 8028 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
104, 7, 93eqtrd 2152 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11 xnegmnf 9552 . . . 4 -𝑒-∞ = +∞
12 xnegeq 9550 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13 xnegpnf 9551 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1412, 13syl6eq 2164 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15 xnegeq 9550 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17 id 19 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1811, 16, 173eqtr4a 2174 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19 xnegeq 9550 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
2019, 11syl6eq 2164 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21 xnegeq 9550 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
2220, 21syl 14 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2413, 22, 233eqtr4a 2174 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2510, 18, 243jaoi 1264 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
261, 25sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 944   = wceq 1314  wcel 1463  cr 7583  +∞cpnf 7761  -∞cmnf 7762  *cxr 7763  -cneg 7898  -𝑒cxne 9496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-sub 7899  df-neg 7900  df-xneg 9499
This theorem is referenced by:  xneg11  9557  xltneg  9559  xnegdi  9591  xnpcan  9595  xrnegiso  10971  infxrnegsupex  10972  xrnegcon1d  10973  xrminmax  10974  xrmin1inf  10976  xrmin2inf  10977  xrltmininf  10979  xrlemininf  10980  xrminltinf  10981  xrminadd  10984
  Copyright terms: Public domain W3C validator