Theorem xnegneg 9743

Description: Extended real version of negneg 8129. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 9740	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		xnegeq 9737	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5		renegcl 8140	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 9740	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8		recn 7867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 8181	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
10	4, 7, 9	3eqtrd 2194	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11		xnegmnf 9739	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12		xnegeq 9737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13		xnegpnf 9738	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
14	12, 13	eqtrdi 2206	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15		xnegeq 9737	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
18	11, 16, 17	3eqtr4a 2216	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19		xnegeq 9737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
20	19, 11	eqtrdi 2206	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21		xnegeq 9737	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
24	13, 22, 23	3eqtr4a 2216	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
25	10, 18, 24	3jaoi 1285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
26	1, 25	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 962   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ℝcr 7733  +∞cpnf 7911  -∞cmnf 7912  ℝ^*cxr 7913  -cneg 8051  -_𝑒cxne 9682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-sub 8052  df-neg 8053  df-xneg 9685

This theorem is referenced by:  xneg11  9744  xltneg  9746  xnegdi  9778  xnpcan  9782  xrnegiso  11170  infxrnegsupex  11171  xrnegcon1d  11172  xrminmax  11173  xrmin1inf  11175  xrmin2inf  11176  xrltmininf  11178  xrlemininf  11179  xrminltinf  11180  xrminadd  11183