ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegid GIF version

Theorem xnegid 9861
Description: Extended real version of negid 8206. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid
StepHypRef Expression
1 elxr 9778 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 9832 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
32oveq2d 5893 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4 renegcl 8220 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5 rexadd 9854 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
64, 5mpdan 421 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7 recn 7946 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
87negidd 8260 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
93, 6, 83eqtrd 2214 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10 id 19 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11 xnegeq 9829 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12 xnegpnf 9830 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1311, 12eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
1410, 13oveq12d 5895 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15 pnfaddmnf 9852 . . . 4 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
1614, 15eqtrdi 2226 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17 id 19 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18 xnegeq 9829 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 9831 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2117, 20oveq12d 5895 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22 mnfaddpnf 9853 . . . 4 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
2321, 22eqtrdi 2226 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
249, 16, 233jaoi 1303 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
251, 24sylbi 121 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5877  cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816  +∞cpnf 7991  -∞cmnf 7992  *cxr 7993  -cneg 8131  -𝑒cxne 9771   +𝑒 cxad 9772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-sub 8132  df-neg 8133  df-xneg 9774  df-xadd 9775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator