Theorem xnegid 10094

Description: Extended real version of negid 8426. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 10065	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4		renegcl 8440	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 10087	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 8165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 8480	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2268	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 10062	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12		xnegpnf 10063	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 6036	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15		pnfaddmnf 10085	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 10062	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 10064	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 6036	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22		mnfaddpnf 10086	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032   + caddc 8035  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213  -cneg 8351  -_𝑒cxne 10004   +_𝑒 cxad 10005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-sub 8352  df-neg 8353  df-xneg 10007  df-xadd 10008

This theorem is referenced by: (None)