Theorem xnegid 10240

Description: Extended real version of negid 8563. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 10211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4		renegcl 8577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 10233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 8302	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 8617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 10208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12		xnegpnf 10209	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 6093	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15		pnfaddmnf 10231	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 10208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 10210	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 6093	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22		mnfaddpnf 10232	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169   + caddc 8172  +∞cpnf 8347  -∞cmnf 8348  ℝ^*cxr 8349  -cneg 8488  -_𝑒cxne 10150   +_𝑒 cxad 10151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-sub 8489  df-neg 8490  df-xneg 10153  df-xadd 10154

This theorem is referenced by: (None)