Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegid GIF version

Theorem xnegid 9741
 Description: Extended real version of negid 8101. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid
StepHypRef Expression
1 elxr 9661 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 9712 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
32oveq2d 5830 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4 renegcl 8115 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5 rexadd 9734 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
64, 5mpdan 418 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7 recn 7844 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
87negidd 8155 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
93, 6, 83eqtrd 2191 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10 id 19 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11 xnegeq 9709 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12 xnegpnf 9710 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1311, 12eqtrdi 2203 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
1410, 13oveq12d 5832 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15 pnfaddmnf 9732 . . . 4 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
1614, 15eqtrdi 2203 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17 id 19 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18 xnegeq 9709 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19 xnegmnf 9711 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2018, 19eqtrdi 2203 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
2117, 20oveq12d 5832 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22 mnfaddpnf 9733 . . . 4 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
2321, 22eqtrdi 2203 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
249, 16, 233jaoi 1282 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
251, 24sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  0cc0 7711   + caddc 7714  +∞cpnf 7888  -∞cmnf 7889  ℝ*cxr 7890  -cneg 8026  -𝑒cxne 9654   +𝑒 cxad 9655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-sub 8027  df-neg 8028  df-xneg 9657  df-xadd 9658 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator