Theorem xnegid 9855

Description: Extended real version of negid 8200. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Proof of Theorem xnegid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 9826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3	2	oveq2d 5888	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (𝐴 +𝑒 -𝐴))
4		renegcl 8214	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
5		rexadd 9848	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
6	4, 5	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝐴) = (𝐴 + -𝐴))
7		recn 7941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	negidd 8254	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2214	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
10		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
11		xnegeq 9823	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
12		xnegpnf 9824	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
13	11, 12	eqtrdi 2226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
14	10, 13	oveq12d 5890	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (+∞ +𝑒 -∞))
15		pnfaddmnf 9846	. . . 4 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2226	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
17		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18		xnegeq 9823	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
19		xnegmnf 9825	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	18, 19	eqtrdi 2226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21	17, 20	oveq12d 5890	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = (-∞ +𝑒 +∞))
22		mnfaddpnf 9847	. . . 4 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2226	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
24	9, 16, 23	3jaoi 1303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)
25	1, 24	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5872  ℝcr 7807  0cc0 7808   + caddc 7811  +∞cpnf 7985  -∞cmnf 7986  ℝ^*cxr 7987  -cneg 8125  -_𝑒cxne 9765   +_𝑒 cxad 9766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-sub 8126  df-neg 8127  df-xneg 9768  df-xadd 9769

This theorem is referenced by: (None)