Theorem xnpcan 9843

Description: Extended real version of npcan 8140. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7977	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 9804	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
5	4	oveq2d 5881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵))
6		rexneg 9801	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
7		renegcl 8192	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2252	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
9		xpncan 9842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = 𝐴)
10	8, 9	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = 𝐴)
11	5, 10	eqtr3d 2210	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  ℝ^*cxr 7965  -cneg 8103  -_𝑒cxne 9740   +_𝑒 cxad 9741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-sub 8104  df-neg 8105  df-xneg 9743  df-xadd 9744

This theorem is referenced by:  xsubge0  9852  xlesubadd  9854  xrmaxaddlem  11236  xblss2ps  13475  xblss2  13476