Theorem xnpcan 10107

Description: Extended real version of npcan 8388. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8225	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 10068	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
5	4	oveq2d 6034	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵))
6		rexneg 10065	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
7		renegcl 8440	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
9		xpncan 10106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = 𝐴)
10	8, 9	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = 𝐴)
11	5, 10	eqtr3d 2266	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  ℝ^*cxr 8213  -cneg 8351  -_𝑒cxne 10004   +_𝑒 cxad 10005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-sub 8352  df-neg 8353  df-xneg 10007  df-xadd 10008

This theorem is referenced by:  xsubge0  10116  xlesubadd  10118  xrmaxaddlem  11825  xblss2ps  15134  xblss2  15135