ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl GIF version

Theorem xnegcl 9203
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 9156 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 9201 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 renegcl 7664 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2161 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 7458 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xnegeq 9198 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 9199 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 7465 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
97, 8eqeltri 2157 . . . 4 -𝑒+∞ ∈ ℝ*
106, 9syl6eqel 2175 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11 xnegeq 9198 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 9200 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 7461 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1412, 13eqeltri 2157 . . . 4 -𝑒-∞ ∈ ℝ*
1511, 14syl6eqel 2175 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
165, 10, 153jaoi 1237 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
171, 16sylbi 119 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 921   = wceq 1287  wcel 1436  cr 7270  +∞cpnf 7440  -∞cmnf 7441  *cxr 7442  -cneg 7575  -𝑒cxne 9149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-sub 7576  df-neg 7577  df-xneg 9152
This theorem is referenced by:  xltneg  9207  xleneg  9208  xnegcld  9213
  Copyright terms: Public domain W3C validator