Theorem xnegcl 10251

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 10249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 = -𝐴)
3		renegcl 8594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 8381	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
6		xnegeq 10246	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 = -e+∞)
7		xnegpnf 10247	. . . . 5 ⊢ -e+∞ = -∞
8		mnfxr 8388	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9	7, 8	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ -e+∞ ∈ ℝ*
10	6, 9	eqeltrdi 2329	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
11		xnegeq 10246	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 = -e-∞)
12		xnegmnf 10248	. . . . 5 ⊢ -e-∞ = +∞
13		pnfxr 8384	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	12, 13	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ -e-∞ ∈ ℝ*
15	11, 14	eqeltrdi 2329	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -e𝐴 ∈ ℝ*)
16	5, 10, 15	3jaoi 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -e𝐴 ∈ ℝ*)
17	1, 16	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℝcr 8184  +∞cpnf 8363  -∞cmnf 8364  ℝ^*cxr 8365   -cneg 8505  -_ecxne 10188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-sub 8506  df-neg 8507  df-xneg 10191

This theorem is used by:  xltneg  10255  xleneg  10256  xnegcld  10274  xnegdi  10287  xaddass2  10289  xleadd1  10294  xsubge0  10300  xrnegiso  12053  xrminmax  12056  xrmincl  12057  xrmin1inf  12058  xrmin2inf  12059  xrlemininf  12062  xrminltinf  12063