ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl GIF version

Theorem xnegcl 9789
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 9733 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 9787 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 renegcl 8180 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2247 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 7969 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xnegeq 9784 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 9785 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 7976 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
97, 8eqeltri 2243 . . . 4 -𝑒+∞ ∈ ℝ*
106, 9eqeltrdi 2261 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11 xnegeq 9784 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 9786 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 7972 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1412, 13eqeltri 2243 . . . 4 -𝑒-∞ ∈ ℝ*
1511, 14eqeltrdi 2261 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
165, 10, 153jaoi 1298 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
171, 16sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 972   = wceq 1348  wcel 2141  cr 7773  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  *cxr 7953  -cneg 8091  -𝑒cxne 9726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-sub 8092  df-neg 8093  df-xneg 9729
This theorem is referenced by:  xltneg  9793  xleneg  9794  xnegcld  9812  xnegdi  9825  xaddass2  9827  xleadd1  9832  xsubge0  9838  xrnegiso  11225  xrminmax  11228  xrmincl  11229  xrmin1inf  11230  xrmin2inf  11231  xrlemininf  11234  xrminltinf  11235
  Copyright terms: Public domain W3C validator