ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl GIF version

Theorem xnegcl 9627
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 9575 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 9625 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 renegcl 8035 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2216 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 7827 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xnegeq 9622 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 9623 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 7834 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
97, 8eqeltri 2212 . . . 4 -𝑒+∞ ∈ ℝ*
106, 9eqeltrdi 2230 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11 xnegeq 9622 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 9624 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 7830 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1412, 13eqeltri 2212 . . . 4 -𝑒-∞ ∈ ℝ*
1511, 14eqeltrdi 2230 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
165, 10, 153jaoi 1281 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
171, 16sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  cr 7631  +∞cpnf 7809  -∞cmnf 7810  *cxr 7811  -cneg 7946  -𝑒cxne 9568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-sub 7947  df-neg 7948  df-xneg 9571
This theorem is referenced by:  xltneg  9631  xleneg  9632  xnegcld  9650  xnegdi  9663  xaddass2  9665  xleadd1  9670  xsubge0  9676  xrnegiso  11043  xrminmax  11046  xrmincl  11047  xrmin1inf  11048  xrmin2inf  11049  xrlemininf  11052  xrminltinf  11053
  Copyright terms: Public domain W3C validator