Theorem inss1 3427

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3390	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3231	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  inss2  3428  ssinss1  3436  unabs  3438  inssddif  3448  inv1  3531  disjdif  3567  inundifss  3572  relin1  4845  resss  5037  resmpt3  5062  cnvcnvss  5191  funin  5401  funimass2  5408  fnresin1  5447  fnres  5449  fresin  5515  ssimaex  5707  fneqeql2  5756  fnfvimad  5889  isoini2  5959  ofrfval  6243  ofvalg  6244  ofrval  6245  off  6247  ofres  6249  ofco  6253  smores  6457  smores2  6459  tfrlem5  6479  pmresg  6844  unfiin  7117  infidc  7132  sbthlem7  7161  peano5nnnn  8111  peano5nni  9145  rexanuz  11548  nninfdclemcl  13068  nninfdclemp1  13070  fvsetsid  13115  tgvalex  13345  tgval2  14774  eltg3  14780  tgcl  14787  tgdom  14795  tgidm  14797  epttop  14813  ntropn  14840  ntrin  14847  cnptopresti  14961  cnptoprest  14962  txcnmpt  14996  xmetres  15105  metres  15106  blin2  15155  metrest  15229  tgioo  15277  limcresi  15389  2sqlem8  15851  bj-charfun  16402  bj-charfundc  16403  bj-charfundcALT  16404