Theorem inss1 3380

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3343	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3184	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167

This theorem is referenced by:  inss2  3381  ssinss1  3389  unabs  3391  inssddif  3401  inv1  3484  disjdif  3520  inundifss  3525  relin1  4778  resss  4967  resmpt3  4992  cnvcnvss  5121  funin  5326  funimass2  5333  fnresin1  5369  fnres  5371  fresin  5433  ssimaex  5619  fneqeql2  5668  isoini2  5863  ofrfval  6141  ofvalg  6142  ofrval  6143  off  6145  ofres  6147  ofco  6151  smores  6347  smores2  6349  tfrlem5  6369  pmresg  6732  unfiin  6984  infidc  6995  sbthlem7  7024  peano5nnnn  7954  peano5nni  8987  rexanuz  11135  nninfdclemcl  12608  nninfdclemp1  12610  fvsetsid  12655  tgvalex  12877  tgval2  14230  eltg3  14236  tgcl  14243  tgdom  14251  tgidm  14253  epttop  14269  ntropn  14296  ntrin  14303  cnptopresti  14417  cnptoprest  14418  txcnmpt  14452  xmetres  14561  metres  14562  blin2  14611  metrest  14685  tgioo  14733  limcresi  14845  2sqlem8  15280  bj-charfun  15369  bj-charfundc  15370  bj-charfundcALT  15371