Theorem inss1 3451

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  inss2  3452  ssinss1  3460  unabs  3462  inssddif  3472  inv1  3559  vvin  3568  disjdif  3596  inundifss  3602  relin1  4890  resss  5082  resmpt3  5107  cnvcnvss  5237  funin  5447  funimass2  5454  fnresin1  5493  fnres  5495  fresin  5563  ssimaex  5758  fneqeql2  5809  fnfvimad  5944  isoini2  6015  ofrfval  6301  ofvalg  6302  ofrval  6303  off  6305  ofres  6307  ofco  6311  smores  6553  smores2  6555  tfrlem5  6575  pmresg  6947  unfiin  7223  infidc  7238  sbthlem7  7270  peano5nnnn  8249  peano5nni  9286  hashfibclem  11260  rexanuz  11732  nninfdclemcl  13317  nninfdclemp1  13319  fvsetsid  13364  tgvalex  13594  tgval2  15075  eltg3  15081  tgcl  15088  tgdom  15096  tgidm  15098  epttop  15114  ntropn  15141  ntrin  15148  cnptopresti  15262  cnptoprest  15263  txcnmpt  15297  xmetres  15406  metres  15407  blin2  15456  metrest  15530  tgioo  15578  limcresi  15690  2sqlem8  16156  bj-charfun  16747  bj-charfundc  16748  bj-charfundcALT  16749