Theorem inss1 3424

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3387	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3228	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  inss2  3425  ssinss1  3433  unabs  3435  inssddif  3445  inv1  3528  disjdif  3564  inundifss  3569  relin1  4836  resss  5028  resmpt3  5053  cnvcnvss  5182  funin  5391  funimass2  5398  fnresin1  5437  fnres  5439  fresin  5503  ssimaex  5694  fneqeql2  5743  isoini2  5942  ofrfval  6225  ofvalg  6226  ofrval  6227  off  6229  ofres  6231  ofco  6235  smores  6436  smores2  6438  tfrlem5  6458  pmresg  6821  unfiin  7084  infidc  7097  sbthlem7  7126  peano5nnnn  8075  peano5nni  9109  rexanuz  11494  nninfdclemcl  13014  nninfdclemp1  13016  fvsetsid  13061  tgvalex  13291  tgval2  14719  eltg3  14725  tgcl  14732  tgdom  14740  tgidm  14742  epttop  14758  ntropn  14785  ntrin  14792  cnptopresti  14906  cnptoprest  14907  txcnmpt  14941  xmetres  15050  metres  15051  blin2  15100  metrest  15174  tgioo  15222  limcresi  15334  2sqlem8  15796  bj-charfun  16128  bj-charfundc  16129  bj-charfundcALT  16130