Theorem inss1 3451

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  inss2  3452  ssinss1  3460  unabs  3462  inssddif  3472  inv1  3559  vvin  3569  inundifss  3605  relin1  4895  resss  5087  resmpt3  5112  cnvcnvss  5242  funin  5452  funimass2  5459  fnresin1  5498  fnres  5500  fresin  5568  ssimaex  5764  fneqeql2  5818  fnfvimad  5954  isoini2  6025  ofrfval  6311  ofvalg  6312  ofrval  6313  off  6315  ofres  6317  ofco  6321  smores  6563  smores2  6565  tfrlem5  6585  pmresg  6957  unfiin  7233  infidc  7248  sbthlem7  7280  peano5nnnn  8260  peano5nni  9310  hashfibclem  11298  rexanuz  11770  nninfdclemcl  13391  nninfdclemp1  13393  fvsetsid  13438  tgvalex  13670  aspsubrg  15102  tgval2  15243  eltg3  15249  tgcl  15256  tgdom  15264  tgidm  15266  epttop  15282  ntropn  15309  ntrin  15316  cnptopresti  15430  cnptoprest  15431  txcnmpt  15465  xmetres  15574  metres  15575  blin2  15624  metrest  15698  tgioo  15746  limcresi  15858  ppiqsval  16201  ppiqfi  16203  ppiprm  16220  chtprm  16222  chtdif  16225  efchtqdvds  16226  ppidif  16230  prmorcht  16243  ppiqub  16254  2sqlem8  16408  bj-charfun  16999  bj-charfundc  17000  bj-charfundcALT  17001