Theorem inss1 3451

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  inss2  3452  ssinss1  3460  unabs  3462  inssddif  3472  inv1  3559  vvin  3569  inundifss  3605  relin1  4895  resss  5087  resmpt3  5112  cnvcnvss  5242  funin  5452  funimass2  5459  fnresin1  5498  fnres  5500  fresin  5568  ssimaex  5764  fneqeql2  5818  fnfvimad  5954  isoini2  6025  ofrfval  6311  ofvalg  6312  ofrval  6313  off  6315  ofres  6317  ofco  6321  smores  6563  smores2  6565  tfrlem5  6585  pmresg  6957  unfiin  7233  infidc  7248  sbthlem7  7280  peano5nnnn  8259  peano5nni  9309  hashfibclem  11296  rexanuz  11768  nninfdclemcl  13388  nninfdclemp1  13390  fvsetsid  13435  tgvalex  13666  aspsubrg  15067  tgval2  15201  eltg3  15207  tgcl  15214  tgdom  15222  tgidm  15224  epttop  15240  ntropn  15267  ntrin  15274  cnptopresti  15388  cnptoprest  15389  txcnmpt  15423  xmetres  15532  metres  15533  blin2  15582  metrest  15656  tgioo  15704  limcresi  15816  ppiqsval  16156  ppiqfi  16158  ppiprm  16170  ppidif  16175  ppiqub  16194  2sqlem8  16340  bj-charfun  16931  bj-charfundc  16932  bj-charfundcALT  16933