Theorem inss1 3451

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  inss2  3452  ssinss1  3460  unabs  3462  inssddif  3472  inv1  3559  vvin  3569  inundifss  3605  relin1  4897  resss  5089  resmpt3  5115  cnvcnvss  5245  funin  5455  funimass2  5462  fnresin1  5501  fnres  5503  fresin  5571  ssimaex  5767  fneqeql2  5821  fnfvimad  5957  isoini2  6028  ofrfval  6315  ofvalg  6316  ofrval  6317  off  6319  ofres  6321  ofco  6325  smores  6568  smores2  6570  tfrlem5  6590  pmresg  6962  unfiin  7239  infidc  7254  sbthlem7  7287  funisfsuppdc  7298  peano5nnnn  8265  peano5nni  9316  hashfibclem  11303  rexanuz  11775  nninfdclemcl  13396  nninfdclemp1  13398  fvsetsid  13443  tgvalex  13675  aspsubrg  15126  tgval2  15294  eltg3  15300  tgcl  15307  tgdom  15315  tgidm  15317  epttop  15333  ntropn  15360  ntrin  15367  cnptopresti  15481  cnptoprest  15482  txcnmpt  15516  xmetres  15625  metres  15626  blin2  15675  metrest  15749  tgioo  15797  limcresi  15909  ppiqsval  16257  ppiqfi  16259  ppiprm  16276  chtprm  16278  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  ppidif  16286  prmorcht  16299  ppiqub  16310  2sqlem8  16464  bj-charfun  17055  bj-charfundc  17056  bj-charfundcALT  17057