Theorem inss1 3301

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3264	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 272	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3106	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 1481   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  inss2  3302  ssinss1  3310  unabs  3312  inssddif  3322  inv1  3404  disjdif  3440  inundifss  3445  relin1  4665  resss  4851  resmpt3  4876  cnvcnvss  5001  funin  5202  funimass2  5209  fnresin1  5245  fnres  5247  fresin  5309  ssimaex  5490  fneqeql2  5537  isoini2  5728  ofrfval  5998  ofvalg  5999  ofrval  6000  off  6002  ofres  6004  ofco  6008  smores  6197  smores2  6199  tfrlem5  6219  pmresg  6578  unfiin  6822  sbthlem7  6859  peano5nnnn  7724  peano5nni  8747  rexanuz  10792  fvsetsid  12032  tgvalex  12258  tgval2  12259  eltg3  12265  tgcl  12272  tgdom  12280  tgidm  12282  epttop  12298  ntropn  12325  ntrin  12332  cnptopresti  12446  cnptoprest  12447  txcnmpt  12481  xmetres  12590  metres  12591  blin2  12640  metrest  12714  tgioo  12754  limcresi  12843