Theorem inss1 3384

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3347	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3188	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  inss2  3385  ssinss1  3393  unabs  3395  inssddif  3405  inv1  3488  disjdif  3524  inundifss  3529  relin1  4782  resss  4971  resmpt3  4996  cnvcnvss  5125  funin  5330  funimass2  5337  fnresin1  5375  fnres  5377  fresin  5439  ssimaex  5625  fneqeql2  5674  isoini2  5869  ofrfval  6148  ofvalg  6149  ofrval  6150  off  6152  ofres  6154  ofco  6158  smores  6359  smores2  6361  tfrlem5  6381  pmresg  6744  unfiin  6996  infidc  7009  sbthlem7  7038  peano5nnnn  7976  peano5nni  9010  rexanuz  11170  nninfdclemcl  12690  nninfdclemp1  12692  fvsetsid  12737  tgvalex  12965  tgval2  14371  eltg3  14377  tgcl  14384  tgdom  14392  tgidm  14394  epttop  14410  ntropn  14437  ntrin  14444  cnptopresti  14558  cnptoprest  14559  txcnmpt  14593  xmetres  14702  metres  14703  blin2  14752  metrest  14826  tgioo  14874  limcresi  14986  2sqlem8  15448  bj-charfun  15537  bj-charfundc  15538  bj-charfundcALT  15539