Theorem inss1 3425

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3388	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3229	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  inss2  3426  ssinss1  3434  unabs  3436  inssddif  3446  inv1  3529  disjdif  3565  inundifss  3570  relin1  4843  resss  5035  resmpt3  5060  cnvcnvss  5189  funin  5398  funimass2  5405  fnresin1  5444  fnres  5446  fresin  5512  ssimaex  5703  fneqeql2  5752  fnfvimad  5885  isoini2  5955  ofrfval  6239  ofvalg  6240  ofrval  6241  off  6243  ofres  6245  ofco  6249  smores  6453  smores2  6455  tfrlem5  6475  pmresg  6840  unfiin  7111  infidc  7124  sbthlem7  7153  peano5nnnn  8102  peano5nni  9136  rexanuz  11539  nninfdclemcl  13059  nninfdclemp1  13061  fvsetsid  13106  tgvalex  13336  tgval2  14765  eltg3  14771  tgcl  14778  tgdom  14786  tgidm  14788  epttop  14804  ntropn  14831  ntrin  14838  cnptopresti  14952  cnptoprest  14953  txcnmpt  14987  xmetres  15096  metres  15097  blin2  15146  metrest  15220  tgioo  15268  limcresi  15380  2sqlem8  15842  bj-charfun  16338  bj-charfundc  16339  bj-charfundcALT  16340