Theorem inss1 3427

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3390	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3231	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  inss2  3428  ssinss1  3436  unabs  3438  inssddif  3448  inv1  3531  disjdif  3567  inundifss  3572  relin1  4845  resss  5037  resmpt3  5062  cnvcnvss  5191  funin  5401  funimass2  5408  fnresin1  5447  fnres  5449  fresin  5515  ssimaex  5707  fneqeql2  5756  fnfvimad  5890  isoini2  5960  ofrfval  6244  ofvalg  6245  ofrval  6246  off  6248  ofres  6250  ofco  6254  smores  6458  smores2  6460  tfrlem5  6480  pmresg  6845  unfiin  7118  infidc  7133  sbthlem7  7162  peano5nnnn  8112  peano5nni  9146  rexanuz  11553  nninfdclemcl  13074  nninfdclemp1  13076  fvsetsid  13121  tgvalex  13351  tgval2  14781  eltg3  14787  tgcl  14794  tgdom  14802  tgidm  14804  epttop  14820  ntropn  14847  ntrin  14854  cnptopresti  14968  cnptoprest  14969  txcnmpt  15003  xmetres  15112  metres  15113  blin2  15162  metrest  15236  tgioo  15284  limcresi  15396  2sqlem8  15858  bj-charfun  16428  bj-charfundc  16429  bj-charfundcALT  16430