Theorem inss1 3397

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3360	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3201	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   ∩ cin 3169   ⊆ wss 3170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-in 3176  df-ss 3183

This theorem is referenced by:  inss2  3398  ssinss1  3406  unabs  3408  inssddif  3418  inv1  3501  disjdif  3537  inundifss  3542  relin1  4806  resss  4997  resmpt3  5022  cnvcnvss  5151  funin  5359  funimass2  5366  fnresin1  5405  fnres  5407  fresin  5471  ssimaex  5658  fneqeql2  5707  isoini2  5906  ofrfval  6185  ofvalg  6186  ofrval  6187  off  6189  ofres  6191  ofco  6195  smores  6396  smores2  6398  tfrlem5  6418  pmresg  6781  unfiin  7044  infidc  7057  sbthlem7  7086  peano5nnnn  8035  peano5nni  9069  rexanuz  11384  nninfdclemcl  12904  nninfdclemp1  12906  fvsetsid  12951  tgvalex  13180  tgval2  14608  eltg3  14614  tgcl  14621  tgdom  14629  tgidm  14631  epttop  14647  ntropn  14674  ntrin  14681  cnptopresti  14795  cnptoprest  14796  txcnmpt  14830  xmetres  14939  metres  14940  blin2  14989  metrest  15063  tgioo  15111  limcresi  15223  2sqlem8  15685  bj-charfun  15912  bj-charfundc  15913  bj-charfundcALT  15914