Theorem inss1 3445

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3406	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3246	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  inss2  3446  ssinss1  3454  unabs  3456  inssddif  3466  inv1  3549  disjdif  3585  inundifss  3591  relin1  4875  resss  5067  resmpt3  5092  cnvcnvss  5222  funin  5432  funimass2  5439  fnresin1  5478  fnres  5480  fresin  5548  ssimaex  5743  fneqeql2  5792  fnfvimad  5927  isoini2  5998  ofrfval  6284  ofvalg  6285  ofrval  6286  off  6288  ofres  6290  ofco  6294  smores  6536  smores2  6538  tfrlem5  6558  pmresg  6923  unfiin  7199  infidc  7214  sbthlem7  7246  peano5nnnn  8223  peano5nni  9257  hashfibclem  11231  rexanuz  11698  nninfdclemcl  13283  nninfdclemp1  13285  fvsetsid  13330  tgvalex  13560  tgval2  15042  eltg3  15048  tgcl  15055  tgdom  15063  tgidm  15065  epttop  15081  ntropn  15108  ntrin  15115  cnptopresti  15229  cnptoprest  15230  txcnmpt  15264  xmetres  15373  metres  15374  blin2  15423  metrest  15497  tgioo  15545  limcresi  15657  2sqlem8  16122  bj-charfun  16703  bj-charfundc  16704  bj-charfundcALT  16705