Theorem inss1 3424

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3387	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3228	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  inss2  3425  ssinss1  3433  unabs  3435  inssddif  3445  inv1  3528  disjdif  3564  inundifss  3569  relin1  4837  resss  5029  resmpt3  5054  cnvcnvss  5183  funin  5392  funimass2  5399  fnresin1  5438  fnres  5440  fresin  5506  ssimaex  5697  fneqeql2  5746  fnfvimad  5879  isoini2  5949  ofrfval  6233  ofvalg  6234  ofrval  6235  off  6237  ofres  6239  ofco  6243  smores  6444  smores2  6446  tfrlem5  6466  pmresg  6831  unfiin  7099  infidc  7112  sbthlem7  7141  peano5nnnn  8090  peano5nni  9124  rexanuz  11514  nninfdclemcl  13034  nninfdclemp1  13036  fvsetsid  13081  tgvalex  13311  tgval2  14740  eltg3  14746  tgcl  14753  tgdom  14761  tgidm  14763  epttop  14779  ntropn  14806  ntrin  14813  cnptopresti  14927  cnptoprest  14928  txcnmpt  14962  xmetres  15071  metres  15072  blin2  15121  metrest  15195  tgioo  15243  limcresi  15355  2sqlem8  15817  bj-charfun  16225  bj-charfundc  16226  bj-charfundcALT  16227