Theorem inss1 3392

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss1	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem inss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3355	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	simplbi 274	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3196	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2175   ∩ cin 3164   ⊆ wss 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  inss2  3393  ssinss1  3401  unabs  3403  inssddif  3413  inv1  3496  disjdif  3532  inundifss  3537  relin1  4792  resss  4982  resmpt3  5007  cnvcnvss  5136  funin  5344  funimass2  5351  fnresin1  5389  fnres  5391  fresin  5453  ssimaex  5639  fneqeql2  5688  isoini2  5887  ofrfval  6166  ofvalg  6167  ofrval  6168  off  6170  ofres  6172  ofco  6176  smores  6377  smores2  6379  tfrlem5  6399  pmresg  6762  unfiin  7022  infidc  7035  sbthlem7  7064  peano5nnnn  8004  peano5nni  9038  rexanuz  11241  nninfdclemcl  12761  nninfdclemp1  12763  fvsetsid  12808  tgvalex  13037  tgval2  14465  eltg3  14471  tgcl  14478  tgdom  14486  tgidm  14488  epttop  14504  ntropn  14531  ntrin  14538  cnptopresti  14652  cnptoprest  14653  txcnmpt  14687  xmetres  14796  metres  14797  blin2  14846  metrest  14920  tgioo  14968  limcresi  15080  2sqlem8  15542  bj-charfun  15676  bj-charfundc  15677  bj-charfundcALT  15678