Theorem trivsubgsnd 13587

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgsnd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgsnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = { 0 })
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 = 𝐵)
9		velsn 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {𝐵})
11	10	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ {𝐵}))
12	11	ssrdv 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
13	1	subgid 13561	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	snssd 3781	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (SubGrp‘𝐺))
16	12, 15	eqssd 3212	1 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3635  ‘cfv 5277  Basecbs 12882  0_gc0g 13138  Grpcgrp 13382  SubGrpcsubg 13553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-subg 13556

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13603