Theorem trivsubgsnd 13724

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgsnd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgsnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = { 0 })
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 = 𝐵)
9		velsn 3683	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {𝐵})
11	10	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ {𝐵}))
12	11	ssrdv 3230	. 2 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
13	1	subgid 13698	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	snssd 3812	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (SubGrp‘𝐺))
16	12, 15	eqssd 3241	1 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666  ‘cfv 5314  Basecbs 13018  0_gc0g 13275  Grpcgrp 13519  SubGrpcsubg 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-subg 13693

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13740