Theorem trivsubgsnd 13331

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgsnd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgsnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = { 0 })
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13330	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 = 𝐵)
9		velsn 3639	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {𝐵})
11	10	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ {𝐵}))
12	11	ssrdv 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
13	1	subgid 13305	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	snssd 3767	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (SubGrp‘𝐺))
16	12, 15	eqssd 3200	1 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3622  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  0_gc0g 12927  Grpcgrp 13132  SubGrpcsubg 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-subg 13300

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13347