ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumge1 GIF version

Theorem fsumge1 11411
Description: A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumge1.4 (𝑘 = 𝑀𝐵 = 𝐶)
fsumge1.5 (𝜑𝑀𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumge1 (𝜑𝐶 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge1
StepHypRef Expression
1 fsumge1.5 . . 3 (𝜑𝑀𝐴)
2 fsumge1.4 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀𝐵 = 𝐶)
32eleq1d 2239 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
4 fsumge0.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54recnd 7935 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65ralrimiva 2543 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
73, 6, 1rspcdva 2839 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
82sumsn 11361 . . 3 ((𝑀𝐴𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐵 = 𝐶)
91, 7, 8syl2anc 409 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐵 = 𝐶)
10 fsumge0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fsumge0.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
121snssd 3723 . . 3 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
13 snfig 6788 . . . 4 (𝑀𝐴 → {𝑀} ∈ Fin)
141, 13syl 14 . . 3 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
1510, 4, 11, 12, 14fsumlessfi 11410 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
169, 15eqbrtrrd 4011 1 (𝜑𝐶 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  {csn 3581   class class class wbr 3987  Fincfn 6714  cc 7759  cr 7760  0cc0 7761  cle 7942  Σcsu 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304
This theorem is referenced by:  mertenslemub  11484
  Copyright terms: Public domain W3C validator