Theorem fsumge1 10916

Description: A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumge1.4	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐶)
fsumge1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumge1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
2		fsumge1.4	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eleq1d 2157	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
4		fsumge0.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	recnd 7577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	ralrimiva 2447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 6, 1	rspcdva 2728	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	sumsn 10866	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐵 = 𝐶)
9	1, 7, 8	syl2anc 404	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐵 = 𝐶)
10		fsumge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fsumge0.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
12	1	snssd 3588	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
13		snfig 6585	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐴 → {𝑀} ∈ Fin)
14	1, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
15	10, 4, 11, 12, 14	fsumlessfi 10915	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
16	9, 15	eqbrtrrd 3873	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  {csn 3450   class class class wbr 3851  Fincfn 6511  ℂcc 7409  ℝcr 7410  0cc0 7411   ≤ cle 7584  Σcsu 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-ico 9373  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804

This theorem is referenced by:  mertenslemub  10989