ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f GIF version

Theorem fprodsplit1f 11662
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodsplit1f.fk (๐œ‘ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ท)
fprodsplit1f.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodsplit1f.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodsplit1f.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
fprodsplit1f.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 disjdif 3510 . . . 4 ({๐ถ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐ถ})) = โˆ…
32a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐ถ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐ถ})) = โˆ…)
4 fprodsplit1f.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
5 fprodsplit1f.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
6 snfig 6833 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ ๐ด โ†’ {๐ถ} โˆˆ Fin)
75, 6syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐ถ} โˆˆ Fin)
85snssd 3752 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐ถ} โІ ๐ด)
9 undiffi 6943 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐ถ} โˆˆ Fin โˆง {๐ถ} โІ ๐ด) โ†’ ๐ด = ({๐ถ} โˆช (๐ด โˆ– {๐ถ})))
104, 7, 8, 9syl3anc 1249 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ({๐ถ} โˆช (๐ด โˆ– {๐ถ})))
11 fprodsplit1f.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
121, 3, 10, 4, 11fprodsplitf 11660 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
135ancli 323 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด))
14 nfv 1539 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜ ๐ถ โˆˆ ๐ด
151, 14nfan 1576 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด)
16 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
1716nfel1 2343 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
1815, 17nfim 1583 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
19 eleq1 2252 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐ถ โˆˆ ๐ด))
2019anbi2d 464 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด)))
21 csbeq1a 3081 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2221eleq1d 2258 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
2320, 22imbi12d 234 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
2418, 23, 11vtoclg1f 2811 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
255, 13, 24sylc 62 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
26 prodsns 11631 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต = โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
275, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต = โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
28 fprodsplit1f.fk . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ท)
29 fprodsplit1f.d . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
301, 28, 5, 29csbiedf 3112 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ท)
3127, 30eqtrd 2222 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต = ๐ท)
3231oveq1d 5907 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต) = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
3312, 32eqtrd 2222 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1364  โ„ฒwnf 1471   โˆˆ wcel 2160  โ„ฒwnfc 2319  โฆ‹csb 3072   โˆ– cdif 3141   โˆช cun 3142   โˆฉ cin 3143   โІ wss 3144  โˆ…c0 3437  {csn 3607  (class class class)co 5892  Fincfn 6759  โ„‚cc 7829   ยท cmul 7836  โˆcprod 11578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6760  df-dom 6761  df-fin 6762  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-ihash 10776  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-clim 11307  df-proddc 11579
This theorem is referenced by:  fprodeq0g  11666
  Copyright terms: Public domain W3C validator