![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fprodsplit1f | GIF version |
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplit1f.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodsplit1f.fk | โข (๐ โ โฒ๐๐ท) |
fprodsplit1f.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodsplit1f.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodsplit1f.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ด) |
fprodsplit1f.d | โข ((๐ โง ๐ = ๐ถ) โ ๐ต = ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodsplit1f | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐ถ})๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fprodsplit1f.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
2 | disjdif 3507 | . . . 4 โข ({๐ถ} โฉ (๐ด โ {๐ถ})) = โ | |
3 | 2 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ ({๐ถ} โฉ (๐ด โ {๐ถ})) = โ ) |
4 | fprodsplit1f.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
5 | fprodsplit1f.c | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ด) | |
6 | snfig 6827 | . . . . 5 โข (๐ถ โ ๐ด โ {๐ถ} โ Fin) | |
7 | 5, 6 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ {๐ถ} โ Fin) |
8 | 5 | snssd 3749 | . . . 4 โข (๐ โ {๐ถ} โ ๐ด) |
9 | undiffi 6937 | . . . 4 โข ((๐ด โ Fin โง {๐ถ} โ Fin โง {๐ถ} โ ๐ด) โ ๐ด = ({๐ถ} โช (๐ด โ {๐ถ}))) | |
10 | 4, 7, 8, 9 | syl3anc 1248 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด = ({๐ถ} โช (๐ด โ {๐ถ}))) |
11 | fprodsplit1f.b | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
12 | 1, 3, 10, 4, 11 | fprodsplitf 11653 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = (โ๐ โ {๐ถ}๐ต ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐ถ})๐ต)) |
13 | 5 | ancli 323 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โง ๐ถ โ ๐ด)) |
14 | nfv 1538 | . . . . . . . . 9 โข โฒ๐ ๐ถ โ ๐ด | |
15 | 1, 14 | nfan 1575 | . . . . . . . 8 โข โฒ๐(๐ โง ๐ถ โ ๐ด) |
16 | nfcsb1v 3102 | . . . . . . . . 9 โข โฒ๐โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต | |
17 | 16 | nfel1 2340 | . . . . . . . 8 โข โฒ๐โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ |
18 | 15, 17 | nfim 1582 | . . . . . . 7 โข โฒ๐((๐ โง ๐ถ โ ๐ด) โ โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
19 | eleq1 2250 | . . . . . . . . 9 โข (๐ = ๐ถ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ถ โ ๐ด)) | |
20 | 19 | anbi2d 464 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ถ โ ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ โง ๐ถ โ ๐ด))) |
21 | csbeq1a 3078 | . . . . . . . . 9 โข (๐ = ๐ถ โ ๐ต = โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต) | |
22 | 21 | eleq1d 2256 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ถ โ (๐ต โ โ โ โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
23 | 20, 22 | imbi12d 234 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ถ โ (((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ ((๐ โง ๐ถ โ ๐ด) โ โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ))) |
24 | 18, 23, 11 | vtoclg1f 2808 | . . . . . 6 โข (๐ถ โ ๐ด โ ((๐ โง ๐ถ โ ๐ด) โ โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
25 | 5, 13, 24 | sylc 62 | . . . . 5 โข (๐ โ โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
26 | prodsns 11624 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ ๐ด โง โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต โ โ) โ โ๐ โ {๐ถ}๐ต = โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต) | |
27 | 5, 25, 26 | syl2anc 411 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ถ}๐ต = โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต) |
28 | fprodsplit1f.fk | . . . . 5 โข (๐ โ โฒ๐๐ท) | |
29 | fprodsplit1f.d | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ถ) โ ๐ต = ๐ท) | |
30 | 1, 28, 5, 29 | csbiedf 3109 | . . . 4 โข (๐ โ โฆ๐ถ / ๐โฆ๐ต = ๐ท) |
31 | 27, 30 | eqtrd 2220 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ถ}๐ต = ๐ท) |
32 | 31 | oveq1d 5903 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐ถ}๐ต ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐ถ})๐ต) = (๐ท ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐ถ})๐ต)) |
33 | 12, 32 | eqtrd 2220 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐ถ})๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1363 โฒwnf 1470 โ wcel 2158 โฒwnfc 2316 โฆcsb 3069 โ cdif 3138 โช cun 3139 โฉ cin 3140 โ wss 3141 โ c0 3434 {csn 3604 (class class class)co 5888 Fincfn 6753 โcc 7822 ยท cmul 7829 โcprod 11571 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-frec 6405 df-1o 6430 df-oadd 6434 df-er 6548 df-en 6754 df-dom 6755 df-fin 6756 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-ihash 10769 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-clim 11300 df-proddc 11572 |
This theorem is referenced by: fprodeq0g 11659 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |