Theorem fprodsplit1f 12160

Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit1f.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fprodsplit1f.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit1f	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit1f.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		disjdif 3564	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4		fprodsplit1f.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fprodsplit1f.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		snfig 6975	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → {𝐶} ∈ Fin)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
8	5	snssd 3813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
9		undiffi 7098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐶} ⊆ 𝐴) → 𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
11		fprodsplit1f.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 3, 10, 4, 11	fprodsplitf 12158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
13	5	ancli 323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
14		nfv 1574	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
15	1, 14	nfan 1611	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
16		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
17	16	nfel1 2383	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
18	15, 17	nfim 1618	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
19		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
20	19	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
21		csbeq1a 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
22	21	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
23	20, 22	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
24	18, 23, 11	vtoclg1f 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
25	5, 13, 24	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
26		prodsns 12129	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27	5, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
28		fprodsplit1f.fk	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
29		fprodsplit1f.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
30	1, 28, 5, 29	csbiedf 3165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
31	27, 30	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
32	31	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
33	12, 32	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  Ⅎwnf 1506   ∈ wcel 2200  Ⅎwnfc 2359  ⦋csb 3124   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  ℂcc 8008   · cmul 8015  ∏cprod 12076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-proddc 12077

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  12164