ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f GIF version

Theorem fprodsplit1f 11531
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph 𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk (𝜑𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c (𝜑𝐶𝐴)
fprodsplit1f.d ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 disjdif 3466 . . . 4 ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
32a1i 9 . . 3 (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4 fprodsplit1f.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprodsplit1f.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
6 snfig 6759 . . . . 5 (𝐶𝐴 → {𝐶} ∈ Fin)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐶} ∈ Fin)
85snssd 3701 . . . 4 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
9 undiffi 6869 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐶} ⊆ 𝐴) → 𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
104, 7, 8, 9syl3anc 1220 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
11 fprodsplit1f.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3, 10, 4, 11fprodsplitf 11529 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
135ancli 321 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
14 nfv 1508 . . . . . . . . 9 𝑘 𝐶𝐴
151, 14nfan 1545 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
16 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . 9 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
1716nfel1 2310 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1815, 17nfim 1552 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
19 eleq1 2220 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
2019anbi2d 460 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
21 csbeq1a 3040 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
2221eleq1d 2226 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2320, 22imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
2418, 23, 11vtoclg1f 2771 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
255, 13, 24sylc 62 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
26 prodsns 11500 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
275, 25, 26syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
28 fprodsplit1f.fk . . . . 5 (𝜑𝑘𝐷)
29 fprodsplit1f.d . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
301, 28, 5, 29csbiedf 3071 . . . 4 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
3127, 30eqtrd 2190 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
3231oveq1d 5839 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
3312, 32eqtrd 2190 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wnf 1440  wcel 2128  wnfc 2286  csb 3031  cdif 3099  cun 3100  cin 3101  wss 3102  c0 3394  {csn 3560  (class class class)co 5824  Fincfn 6685  cc 7730   · cmul 7737  cprod 11447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-proddc 11448
This theorem is referenced by:  fprodeq0g  11535
  Copyright terms: Public domain W3C validator