ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f GIF version

Theorem fprodsplit1f 11655
Description: Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodsplit1f.fk (๐œ‘ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ท)
fprodsplit1f.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodsplit1f.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodsplit1f.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
fprodsplit1f.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
2 disjdif 3507 . . . 4 ({๐ถ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐ถ})) = โˆ…
32a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐ถ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐ถ})) = โˆ…)
4 fprodsplit1f.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
5 fprodsplit1f.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
6 snfig 6827 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ ๐ด โ†’ {๐ถ} โˆˆ Fin)
75, 6syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐ถ} โˆˆ Fin)
85snssd 3749 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐ถ} โІ ๐ด)
9 undiffi 6937 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง {๐ถ} โˆˆ Fin โˆง {๐ถ} โІ ๐ด) โ†’ ๐ด = ({๐ถ} โˆช (๐ด โˆ– {๐ถ})))
104, 7, 8, 9syl3anc 1248 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ({๐ถ} โˆช (๐ด โˆ– {๐ถ})))
11 fprodsplit1f.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
121, 3, 10, 4, 11fprodsplitf 11653 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
135ancli 323 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด))
14 nfv 1538 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜ ๐ถ โˆˆ ๐ด
151, 14nfan 1575 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด)
16 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
1716nfel1 2340 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
1815, 17nfim 1582 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
19 eleq1 2250 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐ถ โˆˆ ๐ด))
2019anbi2d 464 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด)))
21 csbeq1a 3078 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2221eleq1d 2256 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
2320, 22imbi12d 234 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
2418, 23, 11vtoclg1f 2808 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
255, 13, 24sylc 62 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
26 prodsns 11624 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ ๐ด โˆง โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต = โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
275, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต = โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
28 fprodsplit1f.fk . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ท)
29 fprodsplit1f.d . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ท)
301, 28, 5, 29csbiedf 3109 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐ถ / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ท)
3127, 30eqtrd 2220 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต = ๐ท)
3231oveq1d 5903 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต) = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
3312, 32eqtrd 2220 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363  โ„ฒwnf 1470   โˆˆ wcel 2158  โ„ฒwnfc 2316  โฆ‹csb 3069   โˆ– cdif 3138   โˆช cun 3139   โˆฉ cin 3140   โІ wss 3141  โˆ…c0 3434  {csn 3604  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  โ„‚cc 7822   ยท cmul 7829  โˆcprod 11571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-proddc 11572
This theorem is referenced by:  fprodeq0g  11659
  Copyright terms: Public domain W3C validator