Theorem xpdom3m 6929

Description: A set is dominated by its Cartesian product with an inhabited set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom3m	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem xpdom3m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsneng 6917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
2	1	3adant2 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
3	2	ensymd 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}))
4		xpexg 4789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
5	4	3adant3 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
6		simp3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7	6	snssd 3778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8		xpss2 4786	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐵 → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
10		ssdomg 6870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)))
11	5, 9, 10	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵))
12		endomtr 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}) ∧ (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
13	3, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
14	13	3expia 1208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
15	14	exlimdv 1842	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
16	15	3impia 1203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ⊆ wss 3166  {csn 3633   class class class wbr 4044   × cxp 4673   ≈ cen 6825   ≼ cdom 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829

This theorem is referenced by: (None)