Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpdom3m GIF version

Theorem xpdom3m 6728
 Description: A set is dominated by its Cartesian product with an inhabited set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
xpdom3m ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem xpdom3m
StepHypRef Expression
1 xpsneng 6716 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
213adant2 1000 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
32ensymd 6677 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}))
4 xpexg 4653 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
543adant3 1001 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
6 simp3 983 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
76snssd 3665 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
8 xpss2 4650 . . . . . . 7 ({𝑥} ⊆ 𝐵 → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
97, 8syl 14 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
10 ssdomg 6672 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)))
115, 9, 10sylc 62 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵))
12 endomtr 6684 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}) ∧ (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
133, 11, 12syl2anc 408 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
14133expia 1183 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
1514exlimdv 1791 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
16153impia 1178 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537   ≈ cen 6632   ≼ cdom 6633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator