Theorem srgrmhm 14406

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 14379	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 14382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	3com23 1240	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1234	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5866	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵)
10		3anrot 1014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
11		3anass 1013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	bitr3i 186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
13		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	4, 13, 5	srgdir 14387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
15	12, 14	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
16	15	anassrs 404	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
17		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
18		oveq1 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
19	4, 13	srgacl 14394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20	19	3expb 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
21	20	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
22		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ SRing)
23		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	4, 5	srgcl 14382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	22, 21, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	17, 18, 21, 25	fvmptd3 5802	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
27		oveq1 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
28		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
29	4, 5	srgcl 14382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30	22, 28, 23, 29	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	17, 27, 28, 30	fvmptd3 5802	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
32		oveq1 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
33		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34	4, 5	srgcl 14382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 · 𝑋) ∈ 𝐵)
35	22, 33, 23, 34	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑏 · 𝑋) ∈ 𝐵)
36	17, 32, 33, 35	fvmptd3 5802	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
37	31, 36	oveq12d 6106	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
38	16, 26, 37	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
39	38	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
40		oveq1 6095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
41		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	4, 41	srg0cl 14389	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
44		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
45		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	4, 5	srgcl 14382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	44, 43, 45, 46	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) ∈ 𝐵)
48	17, 40, 43, 47	fvmptd3 5802	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
49	4, 5, 41	srglz 14397	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
50	48, 49	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
51	9, 39, 50	3jca 1208	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
52	4, 4, 13, 13, 41, 41	ismhm 13828	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
53	3, 51, 52	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  0_gc0g 13670  Mndcmnd 13789   MndHom cmhm 13824  SRingcsrg 14375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mhm 13826  df-cmn 14180  df-mgp 14326  df-srg 14376

This theorem is used by: (None)