Theorem srgrmhm 14010

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgrmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srgrmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13983	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 13986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	3com23 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1229	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5802	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵)
10		3anrot 1009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
11		3anass 1008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	bitr3i 186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
13		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	4, 13, 5	srgdir 13991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
15	12, 14	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
16	15	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
17		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
18		oveq1 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
19	4, 13	srgacl 13998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20	19	3expb 1230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
21	20	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
22		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ SRing)
23		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	4, 5	srgcl 13986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ 𝐵)
25	22, 21, 23, 24	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	17, 18, 21, 25	fvmptd3 5740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) · 𝑋))
27		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑎 · 𝑋))
28		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
29	4, 5	srgcl 13986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30	22, 28, 23, 29	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	17, 27, 28, 30	fvmptd3 5740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎) = (𝑎 · 𝑋))
32		oveq1 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑏 · 𝑋))
33		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
34	4, 5	srgcl 13986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑏 · 𝑋) ∈ 𝐵)
35	22, 33, 23, 34	syl3anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑏 · 𝑋) ∈ 𝐵)
36	17, 32, 33, 35	fvmptd3 5740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏) = (𝑏 · 𝑋))
37	31, 36	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) = ((𝑎 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑏 · 𝑋)))
38	16, 26, 37	3eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
39	38	ralrimivva 2614	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)))
40		oveq1 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑥 · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
41		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	4, 41	srg0cl 13993	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
44		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
45		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	4, 5	srgcl 13986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	44, 43, 45, 46	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) ∈ 𝐵)
48	17, 40, 43, 47	fvmptd3 5740	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
49	4, 5, 41	srglz 14001	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
50	48, 49	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
51	9, 39, 50	3jca 1203	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
52	4, 4, 13, 13, 41, 41	ismhm 13546	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
53	3, 51, 52	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  ._rcmulr 13163  0_gc0g 13341  Mndcmnd 13501   MndHom cmhm 13542  SRingcsrg 13979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-mhm 13544  df-cmn 13875  df-mgp 13937  df-srg 13980

This theorem is referenced by: (None)