Theorem subrngrng 14280

Description: A subring is a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngrng.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrngrng	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ∈ Rng)

Proof of Theorem subrngrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	issubrng 14277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)))
4		subrngrng.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	eleq1i 2297	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Rng ↔ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
6	1, 3, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑆 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145   ↾_s cress 13146  Rngcrng 14009  SubRngcsubrng 14275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-subrng 14276

This theorem is referenced by:  subrngsubg  14282  subrngmcl  14287  subsubrng  14292