Theorem subrngmcl 14500

Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Generalization of subrgmcl 14524. (Revised by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngmcl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrngmcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrngmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrngrng 14493	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
4		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	1	subrngbas 14497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	4, 6	eleqtrd 2317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	8, 6	eleqtrd 2317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	10, 11	rngcl 14226	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		subrngrcl 14494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝑅 ∈ Rng)
15		subrngmcl.p	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 15	ressmulrg 13482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rng) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	14, 16	mpdan 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	17	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19	18	oveqd 6096	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
20	13, 19, 6	3eltr4d 2322	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336  ._rcmulr 13415  Rngcrng 14214  SubRngcsubrng 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-subg 13956  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-subrng 14489

This theorem is referenced by:  issubrng2  14501  subrngintm  14503