MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cxpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cxpd 26144
Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxp0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
0cxpd (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd
StepHypRef Expression
1 cxp0d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cxpefd.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 0cxp 26100 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  (class class class)co 7392  cc 11089  0cc0 11091  𝑐ccxp 25990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pr 5419  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-mulcl 11153  ax-i2m1 11159
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5141  df-opab 5203  df-id 5566  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-cxp 25992
This theorem is referenced by:  cxpcn3lem  26179  cxpcn3  26180  cxpaddle  26184  cxpeq  26189  amgm  26419  abvcxp  27042  padicabvcxp  27059
  Copyright terms: Public domain W3C validator