Theorem 0cxpd 26144

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
0cxpd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		0cxp 26100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7392  ℂcc 11089  0cc0 11091  ↑_𝑐ccxp 25990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pr 5419  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-mulcl 11153  ax-i2m1 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5141  df-opab 5203  df-id 5566  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-cxp 25992

This theorem is referenced by:  cxpcn3lem  26179  cxpcn3  26180  cxpaddle  26184  cxpeq  26189  amgm  26419  abvcxp  27042  padicabvcxp  27059