Theorem 0cxpd 26837

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
0cxpd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		0cxp 26793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  ↑_𝑐ccxp 26682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-mulcl 11158  ax-i2m1 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-cxp 26684

This theorem is referenced by:  cxpcn3lem  26874  cxpcn3  26875  cxpaddle  26879  cxpeq  26884  amgm  27117  abvcxp  27741  padicabvcxp  27758