Theorem 0cxpd 26643

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
0cxpd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		0cxp 26599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  0cc0 11138  ↑_𝑐ccxp 26488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-mulcl 11200  ax-i2m1 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-cxp 26490

This theorem is referenced by:  cxpcn3lem  26681  cxpcn3  26682  cxpaddle  26686  cxpeq  26691  amgm  26922  abvcxp  27547  padicabvcxp  27564