Theorem 0cxpd 27095

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
0cxpd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		0cxp 27051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  ↑_𝑐ccxp 26940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-cxp 26942

This theorem is used by:  cxpcn3lem  27132  cxpcn3  27133  cxpaddle  27137  cxpeq  27142  amgm  27375  abvcxp  27999  padicabvcxp  28016