Theorem 0cxpd 26584

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
0cxpd	⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		0cxp 26540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107  ↑_𝑐ccxp 26429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-cxp 26431

This theorem is referenced by:  cxpcn3lem  26622  cxpcn3  26623  cxpaddle  26627  cxpeq  26632  amgm  26863  abvcxp  27488  padicabvcxp  27505