Theorem cxpcn3 25901

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13188	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 10928	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3930	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
6		cnvimass 5989	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7		ref 14823	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
8	7	fdmi 6612	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℜ = ℂ
9	6, 8	sseqtri 3957	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
10	5, 9	eqsstri 3955	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
11	10	sseli 3917	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
12		cxpcl 25829	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ)
13	4, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ)
14	13	rgen2 3120	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))
16	15	fmpo 7908	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
17	14, 16	mpbi 229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
19	18	cnfldtopon 23946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20		rpre 12738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
21		rpge0 12743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22		elrege0 13186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
23	20, 21, 22	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
24	23	ssriv 3925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
25	24, 3	sstri 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
26		resttopon 22312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
27	19, 25, 26	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
28	27	toponrestid 22070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ↾t ℝ+)
29	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
30		ssid 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ+
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
32		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
33	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
34	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
35		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
36	18, 35	cxpcn2 25899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
38	28, 29, 31, 32, 33, 34, 37	cnmpt2res 22828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
39		elrege0 13186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
40	39	simplbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
43		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
44	42, 43	elrpd 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
45		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐷)
46	44, 45	opelxpd 5627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
47		resttopon 22312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
48	19, 10, 47	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
49	32, 48	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
50		txtopon 22742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
51	27, 49, 50	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
52	51	toponunii 22065	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ × 𝐷) = ∪ ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
53	52	cncnpi 22429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
54	38, 46, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
55		ssid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐷
56		resmpo 7394	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)))
57	24, 55, 56	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))
58		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
59		resttopon 22312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
60	19, 3, 59	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
61	58, 60	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
62		ioorp 13157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
63		iooretop 23929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
64	62, 63	eqeltrri 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,))
65		retop 23925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
66		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
67		restopnb 22326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
68	65, 66, 67	mpanl12 699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
69	64, 24, 30, 68	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
70	64, 69	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
71		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
72	18, 71	rerest 23967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
73	1, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
74	58, 73	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
75	70, 74	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ∈ 𝐾
76		toponmax 22075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷 ∈ 𝐿)
77	49, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐿
78		txrest 22782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+ ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷)))
79	61, 49, 75, 77, 78	mp4an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷))
80	58	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ+) = ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+)
81		restabs 22316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+))
82	19, 24, 66, 81	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
83	80, 82	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
84	49	toponunii 22065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝐿
85	84	restid 17144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿 ↾t 𝐷) = 𝐿)
86	49, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ↾t 𝐷) = 𝐿
87	83, 86	oveq12i 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷)) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
88	79, 87	eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
89	88	oveq1i 7285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
90	89	fveq1i 6775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
91	54, 57, 90	3eltr4g 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
92		txtopon 22742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
93	61, 49, 92	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
94	93	topontopi 22064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
96		xpss1 5608	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
97	24, 96	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
98		txopn 22753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+ ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
99	61, 49, 75, 77, 98	mp4an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
100		isopn3i 22233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
101	94, 99, 100	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
102	46, 101	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
103	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
104	61	topontopi 22064	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ Top
105	49	topontopi 22064	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ Top
106	61	toponunii 22065	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) = ∪ 𝐾
107	104, 105, 106, 84	txunii 22744	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,)+∞) × 𝐷) = ∪ (𝐾 ×t 𝐿)
108	19	toponunii 22065	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
109	107, 108	cnprest 22440	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
110	95, 97, 102, 103, 109	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
111	91, 110	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
112	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
113		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
114		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
115	5, 18, 58, 32, 113, 114	cxpcn3lem 25900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
116	115	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
117		0e0icopnf 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
119		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
120	118, 119	ovresd 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
121		0cn 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
122	3, 119	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124	123	cnmetdval 23934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
125	121, 122, 124	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
126		df-neg 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -𝑎 = (0 − 𝑎)
127	126	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
128	122	absnegd 15161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
129	127, 128	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
130	120, 125, 129	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
131	130	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
132		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝐷)
133		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
134	132, 133	ovresd 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
135	10, 132	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
136	10, 133	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
137	123	cnmetdval 23934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
138	135, 136, 137	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
139	134, 138	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
140	139	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑))
141	131, 140	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑)))
142		oveq12 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥↑𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
143		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0↑𝑐𝑣) ∈ V
144	142, 15, 143	ovmpoa 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
145	117, 132, 144	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
146	5	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 ↔ 𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
147		ffn 6600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
148		elpreima 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
149	7, 147, 148	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
150	146, 149	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
151	150	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)
152	150	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
153	152	rpne0d 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
154		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
155		re0 14863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ‘0) = 0
156	154, 155	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
157	156	necon3i 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
158	153, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ≠ 0)
159	151, 158	0cxpd 25865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
161	145, 160	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = 0)
162		oveq12 7284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥↑𝑐𝑦) = (𝑎↑𝑐𝑏))
163		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ V
164	162, 15, 163	ovmpoa 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
166	161, 165	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)))
167	122, 136	cxpcld 25863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℂ)
168	123	cnmetdval 23934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))))
169	121, 167, 168	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))))
170		df-neg 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(𝑎↑𝑐𝑏) = (0 − (𝑎↑𝑐𝑏))
171	170	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘-(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏)))
172	167	absnegd 15161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘-(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
173	171, 172	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
174	166, 169, 173	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
175	174	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
176	141, 175	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
177	176	2ralbidva 3128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
178	177	rexbidv 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
179	178	ralbidv 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
180	116, 179	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
181		cnxmet 23936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
183		xmetres2 23514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
184	182, 3, 183	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
185		xmetres2 23514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
186	182, 10, 185	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
187	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
188		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ 𝐷)
189		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
190	18	cnfldtopn 23945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
192	189, 190, 191	metrest 23680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
193	181, 3, 192	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
194	58, 193	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
195		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
196		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
197	195, 190, 196	metrest 23680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
198	181, 10, 197	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
199	32, 198	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
200	194, 199, 190	txmetcnp 23703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
201	184, 186, 182, 187, 188, 200	syl32anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
202	112, 180, 201	mpbir2and 710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
203	202	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
204		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
205	204	opeq1d 4810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
206	205	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
207	203, 206	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
208	39	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
209	208	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
210		0re 10977	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
211		leloe 11061	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
212	210, 41, 211	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
213	209, 212	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
214	111, 207, 213	mpjaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
215	214	rgen2 3120	. . 3 ⊢ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
216		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
217	216	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
218	217	ralxp 5750	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219	215, 218	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
220		cncnp 22431	. . 3 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
221	93, 19, 220	mp2an 689	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
222	17, 219, 221	mpbir2an 708	1 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  +∞cpnf 11006   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  ℜcre 14808  abscabs 14945   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587  ℂ_fldccnfld 20597  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  intcnt 22168   Cn ccn 22375   CnP ccnp 22376   ×_t ctx 22711  ↑_𝑐ccxp 25711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713

This theorem is referenced by:  resqrtcn  25902