MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3 26101
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13373 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11108 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3953 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43sseli 3940 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 cxpcn3.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
6 cnvimass 6033 . . . . . . . 8 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7 ref 14997 . . . . . . . . 9 ℜ:ℂ⟶ℝ
87fdmi 6680 . . . . . . . 8 dom ℜ = ℂ
96, 8sseqtri 3980 . . . . . . 7 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
105, 9eqsstri 3978 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
1110sseli 3940 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
12 cxpcl 26029 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
134, 11, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
1413rgen2 3194 . . 3 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ
15 eqid 2736 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
1615fmpo 8000 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
1714, 16mpbi 229 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1918cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
21 rpge0 12928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2320, 21, 22sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,)+∞))
2423ssriv 3948 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ (0[,)+∞)
2524, 3sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
26 resttopon 22512 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
2719, 25, 26mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
2827toponrestid 22270 . . . . . . . . 9 (𝐽t+) = ((𝐽t+) ↾t+)
2927a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
30 ssid 3966 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
32 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
3319a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
3410a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t+) = (𝐽t+)
3618, 35cxpcn2 26099 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3828, 29, 31, 32, 33, 34, 37cnmpt2res 23028 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
39 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
4039simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
4442, 43elrpd 12954 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
45 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣𝐷)
4644, 45opelxpd 5671 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
47 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
4819, 10, 47mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
4932, 48eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
50 txtopon 22942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
5127, 49, 50mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
5251toponunii 22265 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
5352cncnpi 22629 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
5438, 46, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
55 ssid 3966 . . . . . . . 8 𝐷𝐷
56 resmpo 7476 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)))
5724, 55, 56mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
58 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
59 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
6019, 3, 59mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
6158, 60eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
62 ioorp 13342 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
63 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
6462, 63eqeltrri 2835 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (topGen‘ran (,))
65 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
66 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ∈ V
67 restopnb 22526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6865, 66, 67mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6964, 24, 30, 68mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
7064, 69mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
71 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
7218, 71rerest 24167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
731, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7458, 73eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7570, 74eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . 11 +𝐾
76 toponmax 22275 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷𝐿)
7749, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐷𝐿
78 txrest 22982 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)))
7961, 49, 75, 77, 78mp4an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷))
8058oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾t+) = ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+)
81 restabs 22516 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+))
8219, 24, 66, 81mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+)
8380, 82eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t+) = (𝐽t+)
8449toponunii 22265 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐿
8584restid 17315 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿t 𝐷) = 𝐿)
8649, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐿t 𝐷) = 𝐿
8783, 86oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8879, 87eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8988oveq1i 7367 . . . . . . . 8 (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
9089fveq1i 6843 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
9154, 57, 903eltr4g 2855 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
92 txtopon 22942 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
9361, 49, 92mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
9493topontopi 22264 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
96 xpss1 5652 . . . . . . . 8 (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
9724, 96mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
98 txopn 22953 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
9961, 49, 75, 77, 98mp4an 691 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
100 isopn3i 22433 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
10194, 99, 100mp2an 690 . . . . . . . 8 ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
10246, 101eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
10317a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
10461topontopi 22264 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ Top
10549topontopi 22264 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ Top
10661toponunii 22265 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) = 𝐾
107104, 105, 106, 84txunii 22944 . . . . . . . 8 ((0[,)+∞) × 𝐷) = (𝐾 ×t 𝐿)
10819toponunii 22265 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐽
109107, 108cnprest 22640 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11095, 97, 102, 103, 109syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11191, 110mpbird 256 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
11217a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
113 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
114 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
1155, 18, 58, 32, 113, 114cxpcn3lem 26100 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐷𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
116115ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
117 0e0icopnf 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,)+∞)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
119 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
120118, 119ovresd 7521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
121 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
1223, 119sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124123cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
125121, 122, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
126 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -𝑎 = (0 − 𝑎)
127126fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
128122absnegd 15334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
129127, 128eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
130120, 125, 1293eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
131130breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
132 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣𝐷)
133 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
134132, 133ovresd 7521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
13510, 132sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
13610, 133sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
137123cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
138135, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
139134, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
140139breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑))
141131, 140anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑)))
142 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
143 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0↑𝑐𝑣) ∈ V
144142, 15, 143ovmpoa 7510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
145117, 132, 144sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
1465eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+))
147 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
148 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
1497, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
150146, 149bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
151150simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ)
152150simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
153152rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
154 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
155 re0 15037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ‘0) = 0
156154, 155eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
157156necon3i 2976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
158153, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ≠ 0)
159151, 1580cxpd 26065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
161145, 160eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = 0)
162 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥𝑐𝑦) = (𝑎𝑐𝑏))
163 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎𝑐𝑏) ∈ V
164162, 15, 163ovmpoa 7510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
165164adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
166161, 165oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)))
167122, 136cxpcld 26063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ)
168123cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
169121, 167, 168sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
170 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(𝑎𝑐𝑏) = (0 − (𝑎𝑐𝑏))
171170fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏)))
172167absnegd 15334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
173171, 172eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
174166, 169, 1733eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
175174breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
176141, 175imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
1771762ralbidva 3210 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
178177rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
179178ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
180116, 179mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
181 cnxmet 24136 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
183 xmetres2 23714 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
184182, 3, 183sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
185 xmetres2 23714 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
186182, 10, 185sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
187117a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
188 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷𝑣𝐷)
189 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
19018cnfldtopn 24145 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
192189, 190, 191metrest 23880 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
193181, 3, 192mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
19458, 193eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
195 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
196 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
197195, 190, 196metrest 23880 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
198181, 10, 197mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
19932, 198eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
200194, 199, 190txmetcnp 23903 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
201184, 186, 182, 187, 188, 200syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
202112, 180, 201mpbir2and 711 . . . . . . 7 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
203202ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
204 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
205204opeq1d 4836 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
206205fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
207203, 206eleqtrd 2840 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
20839simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
209208adantr 481 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
210 0re 11157 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
211 leloe 11241 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
212210, 41, 211sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
213209, 212mpbid 231 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
214111, 207, 213mpjaodan 957 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
215214rgen2 3194 . . 3 𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
216 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
217216eleq2d 2823 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
218217ralxp 5797 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219215, 218mpbir 230 . 2 𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
220 cncnp 22631 . . 3 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
22193, 19, 220mp2an 690 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
22217, 219, 221mpbir2an 709 1 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486  cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  cre 14982  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576   ×t ctx 22911  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  resqrtcn  26102
  Copyright terms: Public domain W3C validator