MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3 26791
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13496 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11212 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3993 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43sseli 3979 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 cxpcn3.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
6 cnvimass 6100 . . . . . . . 8 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7 ref 15151 . . . . . . . . 9 ℜ:ℂ⟶ℝ
87fdmi 6747 . . . . . . . 8 dom ℜ = ℂ
96, 8sseqtri 4032 . . . . . . 7 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
105, 9eqsstri 4030 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
1110sseli 3979 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
12 cxpcl 26716 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
134, 11, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
1413rgen2 3199 . . 3 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ
15 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
1615fmpo 8093 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
1714, 16mpbi 230 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1918cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
21 rpge0 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2320, 21, 22sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,)+∞))
2423ssriv 3987 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ (0[,)+∞)
2524, 3sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
26 resttopon 23169 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
2719, 25, 26mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
2827toponrestid 22927 . . . . . . . . 9 (𝐽t+) = ((𝐽t+) ↾t+)
2927a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
30 ssid 4006 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
32 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
3319a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
3410a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t+) = (𝐽t+)
3618, 35cxpcn2 26789 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3828, 29, 31, 32, 33, 34, 37cnmpt2res 23685 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
39 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
4039simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
43 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
4442, 43elrpd 13074 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
45 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣𝐷)
4644, 45opelxpd 5724 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
47 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
4819, 10, 47mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
4932, 48eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
50 txtopon 23599 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
5127, 49, 50mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
5251toponunii 22922 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
5352cncnpi 23286 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
5438, 46, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
55 ssid 4006 . . . . . . . 8 𝐷𝐷
56 resmpo 7553 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)))
5724, 55, 56mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
58 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
59 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
6019, 3, 59mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
6158, 60eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
62 ioorp 13465 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
63 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
6462, 63eqeltrri 2838 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (topGen‘ran (,))
65 retop 24782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
66 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ∈ V
67 restopnb 23183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6865, 66, 67mpanl12 702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6964, 24, 30, 68mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
7064, 69mpbi 230 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
71 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
7218, 71rerest 24825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
731, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7458, 73eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7570, 74eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . 11 +𝐾
76 toponmax 22932 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷𝐿)
7749, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐷𝐿
78 txrest 23639 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)))
7961, 49, 75, 77, 78mp4an 693 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷))
8058oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾t+) = ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+)
81 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+))
8219, 24, 66, 81mp3an 1463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+)
8380, 82eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t+) = (𝐽t+)
8449toponunii 22922 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐿
8584restid 17478 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿t 𝐷) = 𝐿)
8649, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐿t 𝐷) = 𝐿
8783, 86oveq12i 7443 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8879, 87eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8988oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
9089fveq1i 6907 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
9154, 57, 903eltr4g 2858 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
92 txtopon 23599 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
9361, 49, 92mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
9493topontopi 22921 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
96 xpss1 5704 . . . . . . . 8 (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
9724, 96mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
98 txopn 23610 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
9961, 49, 75, 77, 98mp4an 693 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
100 isopn3i 23090 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
10194, 99, 100mp2an 692 . . . . . . . 8 ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
10246, 101eleqtrrdi 2852 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
10317a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
10461topontopi 22921 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ Top
10549topontopi 22921 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ Top
10661toponunii 22922 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) = 𝐾
107104, 105, 106, 84txunii 23601 . . . . . . . 8 ((0[,)+∞) × 𝐷) = (𝐾 ×t 𝐿)
10819toponunii 22922 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐽
109107, 108cnprest 23297 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11095, 97, 102, 103, 109syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11191, 110mpbird 257 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
11217a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
113 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
114 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
1155, 18, 58, 32, 113, 114cxpcn3lem 26790 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐷𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
116115ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
117 0e0icopnf 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,)+∞)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
119 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
120118, 119ovresd 7600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
121 0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
1223, 119sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124123cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
125121, 122, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
126 df-neg 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -𝑎 = (0 − 𝑎)
127126fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
128122absnegd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
129127, 128eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
130120, 125, 1293eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
131130breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
132 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣𝐷)
133 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
134132, 133ovresd 7600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
13510, 132sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
13610, 133sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
137123cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
138135, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
139134, 138eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
140139breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑))
141131, 140anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑)))
142 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
143 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0↑𝑐𝑣) ∈ V
144142, 15, 143ovmpoa 7588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
145117, 132, 144sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
1465eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+))
147 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
148 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
1497, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
150146, 149bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
151150simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ)
152150simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
153152rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
154 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
155 re0 15191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ‘0) = 0
156154, 155eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
157156necon3i 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
158153, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ≠ 0)
159151, 1580cxpd 26752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
161145, 160eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = 0)
162 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥𝑐𝑦) = (𝑎𝑐𝑏))
163 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎𝑐𝑏) ∈ V
164162, 15, 163ovmpoa 7588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
165164adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
166161, 165oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)))
167122, 136cxpcld 26750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ)
168123cnmetdval 24791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
169121, 167, 168sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
170 df-neg 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(𝑎𝑐𝑏) = (0 − (𝑎𝑐𝑏))
171170fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏)))
172167absnegd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
173171, 172eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
174166, 169, 1733eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
175174breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
176141, 175imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
1771762ralbidva 3219 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
178177rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
179178ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
180116, 179mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
181 cnxmet 24793 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
183 xmetres2 24371 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
184182, 3, 183sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
185 xmetres2 24371 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
186182, 10, 185sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
187117a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
188 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷𝑣𝐷)
189 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
19018cnfldtopn 24802 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
192189, 190, 191metrest 24537 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
193181, 3, 192mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
19458, 193eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
195 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
196 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
197195, 190, 196metrest 24537 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
198181, 10, 197mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
19932, 198eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
200194, 199, 190txmetcnp 24560 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
201184, 186, 182, 187, 188, 200syl32anc 1380 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
202112, 180, 201mpbir2and 713 . . . . . . 7 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
203202ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
204 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
205204opeq1d 4879 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
206205fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
207203, 206eleqtrd 2843 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
20839simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
209208adantr 480 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
210 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
211 leloe 11347 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
212210, 41, 211sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
213209, 212mpbid 232 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
214111, 207, 213mpjaodan 961 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
215214rgen2 3199 . . 3 𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
216 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
217216eleq2d 2827 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
218217ralxp 5852 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219215, 218mpbir 231 . 2 𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
220 cncnp 23288 . . 3 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
22193, 19, 220mp2an 692 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
22217, 219, 221mpbir2an 711 1 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  ifcif 4525  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  cre 15136  abscabs 15273  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233   ×t ctx 23568  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  resqrtcn  26792
  Copyright terms: Public domain W3C validator