MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3 26138
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13383 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11117 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3956 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43sseli 3943 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 cxpcn3.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
6 cnvimass 6038 . . . . . . . 8 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7 ref 15009 . . . . . . . . 9 ℜ:ℂ⟶ℝ
87fdmi 6685 . . . . . . . 8 dom ℜ = ℂ
96, 8sseqtri 3983 . . . . . . 7 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
105, 9eqsstri 3981 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
1110sseli 3943 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
12 cxpcl 26066 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
134, 11, 12syl2an 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
1413rgen2 3190 . . 3 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ
15 eqid 2731 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
1615fmpo 8005 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
1714, 16mpbi 229 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1918cnfldtopon 24183 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 rpre 12932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
21 rpge0 12937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22 elrege0 13381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2320, 21, 22sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,)+∞))
2423ssriv 3951 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ (0[,)+∞)
2524, 3sstri 3956 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
26 resttopon 22549 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
2719, 25, 26mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
2827toponrestid 22307 . . . . . . . . 9 (𝐽t+) = ((𝐽t+) ↾t+)
2927a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
30 ssid 3969 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
32 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
3319a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
3410a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
35 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t+) = (𝐽t+)
3618, 35cxpcn2 26136 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3828, 29, 31, 32, 33, 34, 37cnmpt2res 23065 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
39 elrege0 13381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
4039simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
4442, 43elrpd 12963 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
45 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣𝐷)
4644, 45opelxpd 5676 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
47 resttopon 22549 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
4819, 10, 47mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
4932, 48eqeltri 2828 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
50 txtopon 22979 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
5127, 49, 50mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
5251toponunii 22302 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
5352cncnpi 22666 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
5438, 46, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
55 ssid 3969 . . . . . . . 8 𝐷𝐷
56 resmpo 7481 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)))
5724, 55, 56mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
58 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
59 resttopon 22549 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
6019, 3, 59mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
6158, 60eqeltri 2828 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
62 ioorp 13352 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
63 iooretop 24166 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
6462, 63eqeltrri 2829 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (topGen‘ran (,))
65 retop 24162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
66 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ∈ V
67 restopnb 22563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6865, 66, 67mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6964, 24, 30, 68mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
7064, 69mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
71 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
7218, 71rerest 24204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
731, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7458, 73eqtri 2759 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7570, 74eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . 11 +𝐾
76 toponmax 22312 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷𝐿)
7749, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐷𝐿
78 txrest 23019 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)))
7961, 49, 75, 77, 78mp4an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷))
8058oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾t+) = ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+)
81 restabs 22553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+))
8219, 24, 66, 81mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+)
8380, 82eqtri 2759 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t+) = (𝐽t+)
8449toponunii 22302 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐿
8584restid 17329 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿t 𝐷) = 𝐿)
8649, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐿t 𝐷) = 𝐿
8783, 86oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8879, 87eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8988oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
9089fveq1i 6848 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
9154, 57, 903eltr4g 2849 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
92 txtopon 22979 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
9361, 49, 92mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
9493topontopi 22301 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
96 xpss1 5657 . . . . . . . 8 (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
9724, 96mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
98 txopn 22990 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
9961, 49, 75, 77, 98mp4an 691 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
100 isopn3i 22470 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
10194, 99, 100mp2an 690 . . . . . . . 8 ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
10246, 101eleqtrrdi 2843 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
10317a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
10461topontopi 22301 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ Top
10549topontopi 22301 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ Top
10661toponunii 22302 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) = 𝐾
107104, 105, 106, 84txunii 22981 . . . . . . . 8 ((0[,)+∞) × 𝐷) = (𝐾 ×t 𝐿)
10819toponunii 22302 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐽
109107, 108cnprest 22677 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11095, 97, 102, 103, 109syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11191, 110mpbird 256 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
11217a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
113 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
114 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
1155, 18, 58, 32, 113, 114cxpcn3lem 26137 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐷𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
116115ralrimiva 3139 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
117 0e0icopnf 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,)+∞)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
119 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
120118, 119ovresd 7526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
121 0cn 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
1223, 119sselid 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124123cnmetdval 24171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
125121, 122, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
126 df-neg 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -𝑎 = (0 − 𝑎)
127126fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
128122absnegd 15346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
129127, 128eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
130120, 125, 1293eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
131130breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
132 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣𝐷)
133 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
134132, 133ovresd 7526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
13510, 132sselid 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
13610, 133sselid 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
137123cnmetdval 24171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
138135, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
139134, 138eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
140139breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑))
141131, 140anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑)))
142 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
143 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0↑𝑐𝑣) ∈ V
144142, 15, 143ovmpoa 7515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
145117, 132, 144sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
1465eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+))
147 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
148 elpreima 7013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
1497, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
150146, 149bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
151150simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ)
152150simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
153152rpne0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
154 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
155 re0 15049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ‘0) = 0
156154, 155eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
157156necon3i 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
158153, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ≠ 0)
159151, 1580cxpd 26102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
161145, 160eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = 0)
162 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥𝑐𝑦) = (𝑎𝑐𝑏))
163 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎𝑐𝑏) ∈ V
164162, 15, 163ovmpoa 7515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
165164adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
166161, 165oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)))
167122, 136cxpcld 26100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ)
168123cnmetdval 24171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
169121, 167, 168sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
170 df-neg 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(𝑎𝑐𝑏) = (0 − (𝑎𝑐𝑏))
171170fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏)))
172167absnegd 15346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
173171, 172eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
174166, 169, 1733eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
175174breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
176141, 175imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
1771762ralbidva 3206 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
178177rexbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
179178ralbidv 3170 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
180116, 179mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
181 cnxmet 24173 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
183 xmetres2 23751 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
184182, 3, 183sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
185 xmetres2 23751 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
186182, 10, 185sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
187117a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
188 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷𝑣𝐷)
189 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
19018cnfldtopn 24182 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
192189, 190, 191metrest 23917 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
193181, 3, 192mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
19458, 193eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
195 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
196 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
197195, 190, 196metrest 23917 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
198181, 10, 197mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
19932, 198eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
200194, 199, 190txmetcnp 23940 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
201184, 186, 182, 187, 188, 200syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
202112, 180, 201mpbir2and 711 . . . . . . 7 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
203202ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
204 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
205204opeq1d 4841 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
206205fveq2d 6851 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
207203, 206eleqtrd 2834 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
20839simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
209208adantr 481 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
210 0re 11166 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
211 leloe 11250 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
212210, 41, 211sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
213209, 212mpbid 231 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
214111, 207, 213mpjaodan 957 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
215214rgen2 3190 . . 3 𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
216 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
217216eleq2d 2818 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
218217ralxp 5802 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219215, 218mpbir 230 . 2 𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
220 cncnp 22668 . . 3 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
22193, 19, 220mp2an 690 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
22217, 219, 221mpbir2an 709 1 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3446  wss 3913  ifcif 4491  cop 4597   class class class wbr 5110   × cxp 5636  ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  cres 5640  cima 5641  ccom 5642   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  cmpo 7364  cc 11058  cr 11059  0cc0 11060  1c1 11061  +∞cpnf 11195   < clt 11198  cle 11199  cmin 11394  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  +crp 12924  (,)cioo 13274  [,)cico 13276  cre 14994  abscabs 15131  t crest 17316  TopOpenctopn 17317  topGenctg 17333  ∞Metcxmet 20818  MetOpencmopn 20823  fldccnfld 20833  Topctop 22279  TopOnctopon 22296  intcnt 22405   Cn ccn 22612   CnP ccnp 22613   ×t ctx 22948  𝑐ccxp 25948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-tan 15965  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-cmp 22775  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268  df-log 25949  df-cxp 25950
This theorem is referenced by:  resqrtcn  26139
  Copyright terms: Public domain W3C validator