MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3 25341
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12838 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10587 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3927 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43sseli 3914 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 cxpcn3.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
6 cnvimass 5920 . . . . . . . 8 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7 ref 14467 . . . . . . . . 9 ℜ:ℂ⟶ℝ
87fdmi 6502 . . . . . . . 8 dom ℜ = ℂ
96, 8sseqtri 3954 . . . . . . 7 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
105, 9eqsstri 3952 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
1110sseli 3914 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
12 cxpcl 25269 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
134, 11, 12syl2an 598 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ)
1413rgen2 3171 . . 3 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ
15 eqid 2801 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
1615fmpo 7752 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦𝐷 (𝑥𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
1714, 16mpbi 233 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1918cnfldtopon 23392 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
21 rpge0 12394 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22 elrege0 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2320, 21, 22sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,)+∞))
2423ssriv 3922 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ (0[,)+∞)
2524, 3sstri 3927 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
26 resttopon 21770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
2719, 25, 26mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
2827toponrestid 21530 . . . . . . . . 9 (𝐽t+) = ((𝐽t+) ↾t+)
2927a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
30 ssid 3940 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ+
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
32 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
3319a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
3410a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
35 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t+) = (𝐽t+)
3618, 35cxpcn2 25339 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3828, 29, 31, 32, 33, 34, 37cnmpt2res 22286 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
39 elrege0 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
4039simplbi 501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
4241adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
43 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
4442, 43elrpd 12420 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
45 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣𝐷)
4644, 45opelxpd 5561 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
47 resttopon 21770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
4819, 10, 47mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
4932, 48eqeltri 2889 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
50 txtopon 22200 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
5127, 49, 50mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
5251toponunii 21525 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
5352cncnpi 21887 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
5438, 46, 53syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
55 ssid 3940 . . . . . . . 8 𝐷𝐷
56 resmpo 7255 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)))
5724, 55, 56mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))
58 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
59 resttopon 21770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
6019, 3, 59mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
6158, 60eqeltri 2889 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
62 ioorp 12807 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
63 iooretop 23375 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
6462, 63eqeltrri 2890 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (topGen‘ran (,))
65 retop 23371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
66 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ∈ V
67 restopnb 21784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6865, 66, 67mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
6964, 24, 30, 68mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
7064, 69mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
71 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
7218, 71rerest 23413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
731, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7458, 73eqtri 2824 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
7570, 74eleqtrri 2892 . . . . . . . . . . 11 +𝐾
76 toponmax 21535 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷𝐿)
7749, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐷𝐿
78 txrest 22240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)))
7961, 49, 75, 77, 78mp4an 692 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷))
8058oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾t+) = ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+)
81 restabs 21774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+))
8219, 24, 66, 81mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t (0[,)+∞)) ↾t+) = (𝐽t+)
8380, 82eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t+) = (𝐽t+)
8449toponunii 21525 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐿
8584restid 16703 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿t 𝐷) = 𝐿)
8649, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐿t 𝐷) = 𝐿
8783, 86oveq12i 7151 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t+) ×t (𝐿t 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8879, 87eqtri 2824 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽t+) ×t 𝐿)
8988oveq1i 7149 . . . . . . . 8 (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
9089fveq1i 6650 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽t+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
9154, 57, 903eltr4g 2910 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
92 txtopon 22200 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
9361, 49, 92mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
9493topontopi 21524 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
96 xpss1 5542 . . . . . . . 8 (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
9724, 96mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
98 txopn 22211 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+𝐾𝐷𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
9961, 49, 75, 77, 98mp4an 692 . . . . . . . . 9 (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
100 isopn3i 21691 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
10194, 99, 100mp2an 691 . . . . . . . 8 ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
10246, 101eleqtrrdi 2904 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
10317a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
10461topontopi 21524 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ Top
10549topontopi 21524 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ Top
10661toponunii 21525 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) = 𝐾
107104, 105, 106, 84txunii 22202 . . . . . . . 8 ((0[,)+∞) × 𝐷) = (𝐾 ×t 𝐿)
10819toponunii 21525 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐽
109107, 108cnprest 21898 . . . . . . 7 ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11095, 97, 102, 103, 109syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
11191, 110mpbird 260 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
11217a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
113 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
114 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
1155, 18, 58, 32, 113, 114cxpcn3lem 25340 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐷𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
116115ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
117 0e0icopnf 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,)+∞)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
119 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
120118, 119ovresd 7299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
121 0cn 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℂ
1223, 119sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124123cnmetdval 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
125121, 122, 124sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
126 df-neg 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -𝑎 = (0 − 𝑎)
127126fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
128122absnegd 14805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
129127, 128syl5eqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
130120, 125, 1293eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
131130breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
132 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣𝐷)
133 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
134132, 133ovresd 7299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
13510, 132sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
13610, 133sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
137123cnmetdval 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
138135, 136, 137syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
139134, 138eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣𝑏)))
140139breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑))
141131, 140anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑)))
142 oveq12 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
143 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0↑𝑐𝑣) ∈ V
144142, 15, 143ovmpoa 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
145117, 132, 144sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
1465eleq2i 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+))
147 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
148 elpreima 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
1497, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
150146, 149bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
151150simplbi 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ)
152150simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
153152rpne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
154 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
155 re0 14507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℜ‘0) = 0
156154, 155eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
157156necon3i 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
158153, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝐷𝑣 ≠ 0)
159151, 1580cxpd 25305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
160159adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
161145, 160eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣) = 0)
162 oveq12 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥𝑐𝑦) = (𝑎𝑐𝑏))
163 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎𝑐𝑏) ∈ V
164162, 15, 163ovmpoa 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
165164adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎𝑐𝑏))
166161, 165oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)))
167122, 136cxpcld 25303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ)
168123cnmetdval 23380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
169121, 167, 168sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))))
170 df-neg 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(𝑎𝑐𝑏) = (0 − (𝑎𝑐𝑏))
171170fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏)))
172167absnegd 14805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘-(𝑎𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
173171, 172syl5eqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
174166, 169, 1733eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
175174breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒))
176141, 175imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
1771762ralbidva 3166 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
178177rexbidv 3259 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
179178ralbidv 3165 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝑒)))
180116, 179mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
181 cnxmet 23382 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
183 xmetres2 22972 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
184182, 3, 183sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
185 xmetres2 22972 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
186182, 10, 185sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
187117a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
188 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐷𝑣𝐷)
189 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
19018cnfldtopn 23391 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
192189, 190, 191metrest 23135 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
193181, 3, 192mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
19458, 193eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
195 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
196 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
197195, 190, 196metrest 23135 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
198181, 10, 197mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
19932, 198eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
200194, 199, 190txmetcnp 23158 . . . . . . . . 9 (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
201184, 186, 182, 187, 188, 200syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (𝑣𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
202112, 180, 201mpbir2and 712 . . . . . . 7 (𝑣𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
203202ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
204 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
205204opeq1d 4774 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
206205fveq2d 6653 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
207203, 206eleqtrd 2895 . . . . 5 (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
20839simprbi 500 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
209208adantr 484 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
210 0re 10636 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
211 leloe 10720 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
212210, 41, 211sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
213209, 212mpbid 235 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
214111, 207, 213mpjaodan 956 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
215214rgen2 3171 . . 3 𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
216 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
217216eleq2d 2878 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
218217ralxp 5680 . . 3 (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219215, 218mpbir 234 . 2 𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
220 cncnp 21889 . . 3 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
22193, 19, 220mp2an 691 . 2 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
22217, 219, 221mpbir2an 710 1 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  wss 3884  ifcif 4428  cop 4534   class class class wbr 5033   × cxp 5521  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  cima 5526  ccom 5527   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  +∞cpnf 10665   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  +crp 12381  (,)cioo 12730  [,)cico 12732  cre 14452  abscabs 14589  t crest 16690  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  ∞Metcxmet 20080  MetOpencmopn 20085  fldccnfld 20095  Topctop 21502  TopOnctopon 21519  intcnt 21626   Cn ccn 21833   CnP ccnp 21834   ×t ctx 22169  𝑐ccxp 25151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-tan 15421  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153
This theorem is referenced by:  resqrtcn  25342
  Copyright terms: Public domain W3C validator