Theorem cxpcn3 26656

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13359	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11066	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
6		cnvimass 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7		ref 15019	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
8	7	fdmi 6663	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℜ = ℂ
9	6, 8	sseqtri 3984	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
10	5, 9	eqsstri 3982	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
11	10	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
12		cxpcl 26581	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ)
13	4, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ)
14	13	rgen2 3169	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))
16	15	fmpo 8003	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
17	14, 16	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
19	18	cnfldtopon 24668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20		rpre 12902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
21		rpge0 12907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22		elrege0 13357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
23	20, 21, 22	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
24	23	ssriv 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
25	24, 3	sstri 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
26		resttopon 23046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
27	19, 25, 26	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
28	27	toponrestid 22806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ↾t ℝ+)
29	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
30		ssid 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ+
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
32		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
33	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
34	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
36	18, 35	cxpcn2 26654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
38	28, 29, 31, 32, 33, 34, 37	cnmpt2res 23562	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
39		elrege0 13357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
40	39	simplbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
44	42, 43	elrpd 12934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
45		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐷)
46	44, 45	opelxpd 5658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
47		resttopon 23046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
48	19, 10, 47	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
49	32, 48	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
50		txtopon 23476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
51	27, 49, 50	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
52	51	toponunii 22801	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ × 𝐷) = ∪ ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
53	52	cncnpi 23163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
54	38, 46, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
55		ssid 3958	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐷
56		resmpo 7469	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)))
57	24, 55, 56	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))
58		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
59		resttopon 23046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
60	19, 3, 59	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
61	58, 60	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
62		ioorp 13328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
63		iooretop 24651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
64	62, 63	eqeltrri 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,))
65		retop 24647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
66		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
67		restopnb 23060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
68	65, 66, 67	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
69	64, 24, 30, 68	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
70	64, 69	mpbi 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
71		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
72	18, 71	rerest 24690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
73	1, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
74	58, 73	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
75	70, 74	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ∈ 𝐾
76		toponmax 22811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷 ∈ 𝐿)
77	49, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐿
78		txrest 23516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+ ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷)))
79	61, 49, 75, 77, 78	mp4an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷))
80	58	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ+) = ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+)
81		restabs 23050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+))
82	19, 24, 66, 81	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
83	80, 82	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
84	49	toponunii 22801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝐿
85	84	restid 17337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿 ↾t 𝐷) = 𝐿)
86	49, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ↾t 𝐷) = 𝐿
87	83, 86	oveq12i 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷)) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
88	79, 87	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
89	88	oveq1i 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
90	89	fveq1i 6823	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
91	54, 57, 90	3eltr4g 2845	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
92		txtopon 23476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
93	61, 49, 92	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
94	93	topontopi 22800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
96		xpss1 5638	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
97	24, 96	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
98		txopn 23487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+ ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
99	61, 49, 75, 77, 98	mp4an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
100		isopn3i 22967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
101	94, 99, 100	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
102	46, 101	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
103	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
104	61	topontopi 22800	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ Top
105	49	topontopi 22800	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ Top
106	61	toponunii 22801	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) = ∪ 𝐾
107	104, 105, 106, 84	txunii 23478	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,)+∞) × 𝐷) = ∪ (𝐾 ×t 𝐿)
108	19	toponunii 22801	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
109	107, 108	cnprest 23174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
110	95, 97, 102, 103, 109	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
111	91, 110	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
112	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
113		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
114		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
115	5, 18, 58, 32, 113, 114	cxpcn3lem 26655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
116	115	ralrimiva 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
117		0e0icopnf 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
119		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
120	118, 119	ovresd 7516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
121		0cn 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
122	3, 119	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
124	123	cnmetdval 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
125	121, 122, 124	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
126		df-neg 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -𝑎 = (0 − 𝑎)
127	126	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
128	122	absnegd 15359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
129	127, 128	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
130	120, 125, 129	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
131	130	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
132		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝐷)
133		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
134	132, 133	ovresd 7516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
135	10, 132	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
136	10, 133	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
137	123	cnmetdval 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
138	135, 136, 137	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
139	134, 138	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
140	139	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑))
141	131, 140	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑)))
142		oveq12 7358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥↑𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
143		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0↑𝑐𝑣) ∈ V
144	142, 15, 143	ovmpoa 7504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
145	117, 132, 144	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
146	5	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 ↔ 𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
147		ffn 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
148		elpreima 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
149	7, 147, 148	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
150	146, 149	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
151	150	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)
152	150	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
153	152	rpne0d 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
154		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
155		re0 15059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ‘0) = 0
156	154, 155	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
157	156	necon3i 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
158	153, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ≠ 0)
159	151, 158	0cxpd 26617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
161	145, 160	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = 0)
162		oveq12 7358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥↑𝑐𝑦) = (𝑎↑𝑐𝑏))
163		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ V
164	162, 15, 163	ovmpoa 7504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
166	161, 165	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)))
167	122, 136	cxpcld 26615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℂ)
168	123	cnmetdval 24656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))))
169	121, 167, 168	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))))
170		df-neg 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(𝑎↑𝑐𝑏) = (0 − (𝑎↑𝑐𝑏))
171	170	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘-(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏)))
172	167	absnegd 15359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘-(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
173	171, 172	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
174	166, 169, 173	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
175	174	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
176	141, 175	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
177	176	2ralbidva 3191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
178	177	rexbidv 3153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
179	178	ralbidv 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
180	116, 179	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
181		cnxmet 24658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
183		xmetres2 24247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
184	182, 3, 183	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
185		xmetres2 24247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
186	182, 10, 185	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
187	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
188		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ 𝐷)
189		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
190	18	cnfldtopn 24667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
192	189, 190, 191	metrest 24410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
193	181, 3, 192	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
194	58, 193	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
195		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
196		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
197	195, 190, 196	metrest 24410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
198	181, 10, 197	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
199	32, 198	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
200	194, 199, 190	txmetcnp 24433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
201	184, 186, 182, 187, 188, 200	syl32anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
202	112, 180, 201	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
203	202	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
204		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
205	204	opeq1d 4830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
206	205	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
207	203, 206	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
208	39	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
209	208	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
210		0re 11117	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
211		leloe 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
212	210, 41, 211	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
213	209, 212	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
214	111, 207, 213	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
215	214	rgen2 3169	. . 3 ⊢ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
216		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
217	216	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
218	217	ralxp 5784	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219	215, 218	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
220		cncnp 23165	. . 3 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
221	93, 19, 220	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
222	17, 219, 221	mpbir2an 711	1 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ifcif 4476  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11146   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  ℜcre 15004  abscabs 15141   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  ∞Metcxmet 21246  MetOpencmopn 21251  ℂ_fldccnfld 21261  Topctop 22778  TopOnctopon 22795  intcnt 22902   Cn ccn 23109   CnP ccnp 23110   ×_t ctx 23445  ↑_𝑐ccxp 26462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463  df-cxp 26464

This theorem is referenced by:  resqrtcn  26657