Theorem cxpcn3lem 26714

Description: Lemma for cxpcn3 26715. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
cxpcn3.u	⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t	⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
2		cxpcn3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
4	3	eleq2i 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
5		ref 15136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6		ffn 6711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7		elpreima 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
9	4, 8	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12		1rp 13017	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		ifcl 4551	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
15	14	rphalfcld 13068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
16	2, 15	eqeltrid 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18	16	rpreccld 13066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13056	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
20	17, 19	rpcxpcld 26699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
21	16, 20	ifcld 4552	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
22	1, 21	eqeltrid 2839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23		elrege0 13476	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24		0red 11243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25		leloe 11326	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
26	24, 25	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27		elrp 13015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
30		cnvimass 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
31	5	fdmi 6722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ℜ = ℂ
32	30, 31	sseqtri 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
33	3, 32	eqsstri 4010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
34	33	sseli 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		abscxp 26658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
37	28, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
38	35	recld 15218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
39	28, 38	rpcxpcld 26699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
43	28, 42	rpcxpcld 26699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
44	43	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
48	9	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	recld 15218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 12493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52		1re 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
53		min1 13210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
54	50, 52, 53	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59		2pos 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61		lediv1 12112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
62	56, 50, 58, 60, 61	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
63	54, 62	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
64	2, 63	eqbrtrid 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
65	50	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66	65	2halvesd 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
67	49, 35	resubd 15240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
68	49, 35	subcld 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑏) ∈ ℂ)
69	68	recld 15218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
70	68	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
71	68	releabsd 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑏)))
72		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)
73	72, 1	breqtrdi 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
74	20	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76		ltmin 13215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
77	70, 42, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
78	73, 77	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
79	78	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
80	69, 70, 42, 71, 79	lelttrd 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
81	69, 42, 51, 80, 64	ltletrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
82	67, 81	eqbrtrrd 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
83	50, 38, 51	ltsubadd2d 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
84	82, 83	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
85	66, 84	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
86	51, 38, 51	ltadd1d 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
87	85, 86	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
88	42, 51, 38, 64, 87	lelttrd 11398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
89	28	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
90	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
91	28	rprege0d 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92		absid 15320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
95	93, 94	eqbrtrrd 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
96	95, 1	breqtrdi 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
97		ltmin 13215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
98	89, 42, 75, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
99	96, 98	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
100	99	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101		rehalfcl 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
102	52, 101	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103		min2 13211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
104	50, 52, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105		lediv1 12112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
106	56, 90, 58, 60, 105	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107	104, 106	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
108	2, 107	eqbrtrid 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109		halflt1 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) < 1
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
111	42, 102, 90, 108, 110	lelttrd 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
112	89, 42, 90, 100, 111	lttrd 11401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
113	28, 42, 112, 38	cxplt3d 26701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈)))
114	88, 113	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈))
115	41	rpcnne0d 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116		recid 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118	117	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎↑𝑐1))
119	41	rpreccld 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120	119	rpcnd 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
121	28, 42, 120	cxpmuld 26703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
122	28	rpcnd 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123	122	cxp1d 26672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐1) = 𝑎)
124	118, 121, 123	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
125	99	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
126	124, 125	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
127	43	rprege0d 13063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)))
128	45	rprege0d 13063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129		cxplt2 26664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
130	127, 128, 119, 129	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
131	126, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸)
132	40, 44, 46, 114, 131	lttrd 11401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
133	37, 132	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
134	133	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
135	134	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
136	135	ralrimiva 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
137	27, 136	sylan2br 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
138	137	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139		elpreima 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
140	5, 6, 139	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141	140	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142	141, 3	eleq2s 2853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143	142	rpne0d 13061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145		re0 15176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
146	144, 145	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147	146	necon3i 2965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148	143, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ≠ 0)
149	34, 148	0cxpd 26676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150	149	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151	150	abs00bd 15315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153	152	rpgt0d 13059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 < 𝐸)
154	151, 153	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
156	155	breq1d 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
157	154, 156	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
158	157	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159	158	ralrimdva 3141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160	138, 159	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
161	26, 160	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162	161	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
163	23, 162	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164	163	ralrimiv 3132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
165		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇))
167	165, 166	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)))
168	167	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
169	168	2ralbidv 3209	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170	169	rspcev 3606	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
171	22, 164, 170	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ifcif 4505   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  +∞cpnf 11271   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  ℝ⁺crp 13013  [,)cico 13369  ℜcre 15121  abscabs 15258   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  ℂ_fldccnfld 21320  ↑_𝑐ccxp 26521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-cxp 26523

This theorem is referenced by:  cxpcn3  26715