MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3lem 26597
Description: Lemma for cxpcn3 26598. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
cxpcn3.u 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
Assertion
Ref Expression
cxpcn3lem ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem
StepHypRef Expression
1 cxpcn3.t . . 3 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
2 cxpcn3.u . . . . 5 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3 cxpcn3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
43eleq2i 2824 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+))
5 ref 15066 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
6 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7 elpreima 7059 . . . . . . . . . . 11 (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
94, 8bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
109simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12 1rp 12985 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
13 ifcl 4573 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
1514rphalfcld 13035 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
162, 15eqeltrid 2836 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1816rpreccld 13033 . . . . . 6 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
1918rpred 13023 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
2017, 19rpcxpcld 26582 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
2116, 20ifcld 4574 . . 3 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
221, 21eqeltrid 2836 . 2 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23 elrege0 13438 . . . 4 (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24 0red 11224 . . . . . . 7 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25 leloe 11307 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
2624, 25sylan 579 . . . . . 6 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27 elrp 12983 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏𝐷)
30 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
315fdmi 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ℜ = ℂ
3230, 31sseqtri 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
333, 32eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 ⊆ ℂ
3433sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐷𝑏 ∈ ℂ)
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36 abscxp 26541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) = (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)))
3728, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) = (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)))
3835recld 15148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
3928, 38rpcxpcld 26582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
4039rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
4241rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
4328, 42rpcxpcld 26582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4443rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
4645rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴𝐷)
489simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5049recld 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52 1re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
53 min1 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
5450, 52, 53sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55143ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
5655rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57 2re 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59 2pos 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61 lediv1 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
6256, 50, 58, 60, 61syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
6354, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
642, 63eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
6550recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66652halvesd 12465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
6749, 35resubd 15170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
6849, 35subcld 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴𝑏) ∈ ℂ)
6968recld 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ)
7068abscld 15390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ)
7168releabsd 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴𝑏)))
72 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)
7372, 1breqtrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
74203ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
7574rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76 ltmin 13180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((abs‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
7770, 42, 75, 76syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
7978simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈)
8069, 70, 42, 71, 79lelttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) < 𝑈)
8169, 42, 51, 80, 64ltletrd 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
8267, 81eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
8350, 38, 51ltsubadd2d 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
8482, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
8566, 84eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
8651, 38, 51ltadd1d 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
8785, 86mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
8842, 51, 38, 64, 87lelttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
8928rpred 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
9052a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
9128rprege0d 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92 absid 15250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
9593, 94eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
9695, 1breqtrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
97 ltmin 13180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
9889, 42, 75, 97syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
10099simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101 rehalfcl 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10252, 101mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103 min2 13176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
10450, 52, 103sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105 lediv1 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
10656, 90, 58, 60, 105syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
1082, 107eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109 halflt1 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) < 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
11142, 102, 90, 108, 110lelttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
11289, 42, 90, 100, 111lttrd 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
11328, 42, 112, 38cxplt3d 26584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎𝑐𝑈)))
11488, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎𝑐𝑈))
11541rpcnne0d 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116 recid 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118117oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎𝑐1))
11941rpreccld 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120119rpcnd 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
12128, 42, 120cxpmuld 26586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
12228rpcnd 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123122cxp1d 26555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐1) = 𝑎)
124118, 121, 1233eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
12599simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
126124, 125eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
12743rprege0d 13030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎𝑐𝑈)))
12845rprege0d 13030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129 cxplt2 26547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
130127, 128, 119, 129syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
131126, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) < 𝐸)
13240, 44, 46, 114, 131lttrd 11382 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
13337, 132eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)
1341333expia 1120 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
135134anassrs 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
136135ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
13727, 136sylan2br 594 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
138137expr 456 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
1405, 6, 139mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141140simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142141, 3eleq2s 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143142rpne0d 13028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145 re0 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
146144, 145eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147146necon3i 2972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148143, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐷𝑏 ≠ 0)
14934, 1480cxpd 26559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150149adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151150abs00bd 15245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153152rpgt0d 13026 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → 0 < 𝐸)
154151, 153eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
156155breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
157154, 156syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
158157a1dd 50 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159158ralrimdva 3153 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160138, 159jaod 856 . . . . . 6 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
16126, 160sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162161expimpd 453 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
16323, 162biimtrid 241 . . 3 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164163ralrimiv 3144 . 2 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
165 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇))
167165, 166anbi12d 630 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)))
168167imbi1d 341 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
1691682ralbidv 3217 . . 3 (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170169rspcev 3612 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
17122, 164, 170syl2anc 583 1 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ccnv 5675  dom cdm 5676  cima 5679   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  +crp 12981  [,)cico 13333  cre 15051  abscabs 15188  t crest 17373  TopOpenctopn 17374  fldccnfld 21234  𝑐ccxp 26405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406  df-cxp 26407
This theorem is referenced by:  cxpcn3  26598
  Copyright terms: Public domain W3C validator