MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3lem 24890
Description: Lemma for cxpcn3 24891. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
cxpcn3.u 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
Assertion
Ref Expression
cxpcn3lem ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem
StepHypRef Expression
1 cxpcn3.t . . 3 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
2 cxpcn3.u . . . . 5 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3 cxpcn3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
43eleq2i 2898 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+))
5 ref 14229 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
6 ffn 6278 . . . . . . . . . . 11 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7 elpreima 6586 . . . . . . . . . . 11 (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
94, 8bitri 267 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
109simprbi 492 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
1110adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12 1rp 12116 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
13 ifcl 4350 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13sylancl 580 . . . . . 6 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
1514rphalfcld 12168 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
162, 15syl5eqel 2910 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1816rpreccld 12166 . . . . . 6 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
1918rpred 12156 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
2017, 19rpcxpcld 24877 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
2116, 20ifcld 4351 . . 3 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
221, 21syl5eqel 2910 . 2 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23 elrege0 12568 . . . 4 (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24 0red 10360 . . . . . . 7 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25 leloe 10443 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
2624, 25sylan 575 . . . . . 6 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27 elrp 12114 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28 simp2l 1260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29 simp2r 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏𝐷)
30 cnvimass 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
315fdmi 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ℜ = ℂ
3230, 31sseqtri 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
333, 32eqsstri 3860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 ⊆ ℂ
3433sseli 3823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐷𝑏 ∈ ℂ)
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36 abscxp 24837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) = (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)))
3728, 35, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) = (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)))
3835recld 14311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
3928, 38rpcxpcld 24877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
4039rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41163ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
4241rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
4328, 42rpcxpcld 24877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4443rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45 simp1r 1259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
4645rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47 simp1l 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴𝐷)
489simplbi 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5049recld 14311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 11605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52 1re 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
53 min1 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
5450, 52, 53sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55143ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
5655rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57 2re 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59 2pos 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61 lediv1 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
6256, 50, 58, 60, 61syl112anc 1497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
6354, 62mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
642, 63syl5eqbr 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
6550recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66652halvesd 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
6749, 35resubd 14333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
6849, 35subcld 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴𝑏) ∈ ℂ)
6968recld 14311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ)
7068abscld 14552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ)
7168releabsd 14567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴𝑏)))
72 simp3r 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)
7372, 1syl6breq 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
74203ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
7574rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76 ltmin 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((abs‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
7770, 42, 75, 76syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
7873, 77mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
7978simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈)
8069, 70, 42, 71, 79lelttrd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) < 𝑈)
8169, 42, 51, 80, 64ltletrd 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
8267, 81eqbrtrrd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
8350, 38, 51ltsubadd2d 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
8482, 83mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
8566, 84eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
8651, 38, 51ltadd1d 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
8785, 86mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
8842, 51, 38, 64, 87lelttrd 10514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
8928rpred 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
9052a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
9128rprege0d 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92 absid 14413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94 simp3l 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
9593, 94eqbrtrrd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
9695, 1syl6breq 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
97 ltmin 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
9889, 42, 75, 97syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
9996, 98mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
10099simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101 rehalfcl 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10252, 101mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103 min2 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
10450, 52, 103sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105 lediv1 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
10656, 90, 58, 60, 105syl112anc 1497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107104, 106mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
1082, 107syl5eqbr 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109 halflt1 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) < 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
11142, 102, 90, 108, 110lelttrd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
11289, 42, 90, 100, 111lttrd 10517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
11328, 42, 112, 38cxplt3d 24879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎𝑐𝑈)))
11488, 113mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎𝑐𝑈))
11541rpcnne0d 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116 recid 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118117oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎𝑐1))
11941rpreccld 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120119rpcnd 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
12128, 42, 120cxpmuld 24881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
12228rpcnd 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123122cxp1d 24851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐1) = 𝑎)
124118, 121, 1233eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
12599simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
126124, 125eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
12743rprege0d 12163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎𝑐𝑈)))
12845rprege0d 12163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129 cxplt2 24843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
130127, 128, 119, 129syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
131126, 130mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) < 𝐸)
13240, 44, 46, 114, 131lttrd 10517 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
13337, 132eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)
1341333expia 1154 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
135134anassrs 461 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
136135ralrimiva 3175 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
13727, 136sylan2br 588 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
138137expr 450 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139 elpreima 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
1405, 6, 139mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141140simprbi 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142141, 3eleq2s 2924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143142rpne0d 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145 re0 14269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
146144, 145syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147146necon3i 3031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148143, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐷𝑏 ≠ 0)
14934, 1480cxpd 24855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150149adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151150abs00bd 14408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152 simpllr 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153152rpgt0d 12159 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → 0 < 𝐸)
154151, 153eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155 fvoveq1 6928 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
156155breq1d 4883 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
157154, 156syl5ibcom 237 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
158157a1dd 50 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159158ralrimdva 3178 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160138, 159jaod 890 . . . . . 6 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
16126, 160sylbid 232 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162161expimpd 447 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
16323, 162syl5bi 234 . . 3 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164163ralrimiv 3174 . 2 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
165 breq2 4877 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166 breq2 4877 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇))
167165, 166anbi12d 624 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)))
168167imbi1d 333 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
1691682ralbidv 3198 . . 3 (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170169rspcev 3526 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
17122, 164, 170syl2anc 579 1 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  ifcif 4306   class class class wbr 4873  ccnv 5341  dom cdm 5342  cima 5345   Fn wfn 6118  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  +∞cpnf 10388   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585   / cdiv 11009  2c2 11406  +crp 12112  [,)cico 12465  cre 14214  abscabs 14351  t crest 16434  TopOpenctopn 16435  fldccnfld 20106  𝑐ccxp 24701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-cxp 24703
This theorem is referenced by:  cxpcn3  24891
  Copyright terms: Public domain W3C validator