Theorem cxpcn3lem 25440

Description: Lemma for cxpcn3 25441. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
cxpcn3.u	⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t	⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
2		cxpcn3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
4	3	eleq2i 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
5		ref 14524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6		ffn 6502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7		elpreima 6823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
9	4, 8	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	simprbi 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12		1rp 12439	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		ifcl 4468	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
15	14	rphalfcld 12489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
16	2, 15	eqeltrid 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18	16	rpreccld 12487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
20	17, 19	rpcxpcld 25427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
21	16, 20	ifcld 4469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
22	1, 21	eqeltrid 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23		elrege0 12891	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24		0red 10687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25		leloe 10770	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
26	24, 25	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27		elrp 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28		simp2l 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
30		cnvimass 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
31	5	fdmi 6513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ℜ = ℂ
32	30, 31	sseqtri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
33	3, 32	eqsstri 3928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
34	33	sseli 3890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		abscxp 25387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
37	28, 35, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
38	35	recld 14606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
39	28, 38	rpcxpcld 25427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
43	28, 42	rpcxpcld 25427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
44	43	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
48	9	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	recld 14606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 11926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52		1re 10684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
53		min1 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
54	50, 52, 53	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55	14	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57		2re 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59		2pos 11782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61		lediv1 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
62	56, 50, 58, 60, 61	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
63	54, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
64	2, 63	eqbrtrid 5070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
65	50	recnd 10712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66	65	2halvesd 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
67	49, 35	resubd 14628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
68	49, 35	subcld 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑏) ∈ ℂ)
69	68	recld 14606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
70	68	abscld 14849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
71	68	releabsd 14864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑏)))
72		simp3r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)
73	72, 1	breqtrdi 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
74	20	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76		ltmin 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
77	70, 42, 75, 76	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
78	73, 77	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
79	78	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
80	69, 70, 42, 71, 79	lelttrd 10841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
81	69, 42, 51, 80, 64	ltletrd 10843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
82	67, 81	eqbrtrrd 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
83	50, 38, 51	ltsubadd2d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
84	82, 83	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
85	66, 84	eqbrtrd 5057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
86	51, 38, 51	ltadd1d 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
87	85, 86	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
88	42, 51, 38, 64, 87	lelttrd 10841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
89	28	rpred 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
90	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
91	28	rprege0d 12484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92		absid 14709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
95	93, 94	eqbrtrrd 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
96	95, 1	breqtrdi 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
97		ltmin 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
98	89, 42, 75, 97	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
99	96, 98	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
100	99	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101		rehalfcl 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
102	52, 101	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103		min2 12629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
104	50, 52, 103	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105		lediv1 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
106	56, 90, 58, 60, 105	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107	104, 106	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
108	2, 107	eqbrtrid 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109		halflt1 11897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) < 1
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
111	42, 102, 90, 108, 110	lelttrd 10841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
112	89, 42, 90, 100, 111	lttrd 10844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
113	28, 42, 112, 38	cxplt3d 25429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈)))
114	88, 113	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈))
115	41	rpcnne0d 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116		recid 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118	117	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎↑𝑐1))
119	41	rpreccld 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120	119	rpcnd 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
121	28, 42, 120	cxpmuld 25431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
122	28	rpcnd 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123	122	cxp1d 25401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐1) = 𝑎)
124	118, 121, 123	3eqtr3d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
125	99	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
126	124, 125	eqbrtrd 5057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
127	43	rprege0d 12484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)))
128	45	rprege0d 12484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129		cxplt2 25393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
130	127, 128, 119, 129	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
131	126, 130	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸)
132	40, 44, 46, 114, 131	lttrd 10844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
133	37, 132	eqbrtrd 5057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
134	133	3expia 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
135	134	anassrs 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
136	135	ralrimiva 3113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
137	27, 136	sylan2br 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
138	137	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139		elpreima 6823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
140	5, 6, 139	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141	140	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142	141, 3	eleq2s 2870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143	142	rpne0d 12482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144		fveq2 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145		re0 14564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
146	144, 145	eqtrdi 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147	146	necon3i 2983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148	143, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ≠ 0)
149	34, 148	0cxpd 25405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150	149	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151	150	abs00bd 14704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153	152	rpgt0d 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 < 𝐸)
154	151, 153	eqbrtrd 5057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155		fvoveq1 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
156	155	breq1d 5045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
157	154, 156	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
158	157	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159	158	ralrimdva 3118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160	138, 159	jaod 856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
161	26, 160	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162	161	expimpd 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
163	23, 162	syl5bi 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164	163	ralrimiv 3112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
165		breq2 5039	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166		breq2 5039	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇))
167	165, 166	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)))
168	167	imbi1d 345	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
169	168	2ralbidv 3128	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170	169	rspcev 3543	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
171	22, 164, 170	syl2anc 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ifcif 4423   class class class wbr 5035  ^◡ccnv 5526  dom cdm 5527   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585  +∞cpnf 10715   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913   / cdiv 11340  2c2 11734  ℝ⁺crp 12435  [,)cico 12786  ℜcre 14509  abscabs 14646   ↾_t crest 16757  TopOpenctopn 16758  ℂ_fldccnfld 20171  ↑_𝑐ccxp 25251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cxp 25253

This theorem is referenced by:  cxpcn3  25441