Theorem cxpcn3lem 26799

Description: Lemma for cxpcn3 26800. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
cxpcn3.u	⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t	⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
2		cxpcn3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
4	3	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
5		ref 15129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6		ffn 6685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7		elpreima 7033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
9	4, 8	bitri 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	simprbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12		1rp 12990	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		ifcl 4523	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
15	14	rphalfcld 13042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
16	2, 15	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18	16	rpreccld 13040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13030	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
20	17, 19	rpcxpcld 26785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
21	16, 20	ifcld 4524	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
22	1, 21	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23		elrege0 13451	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24		0red 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25		leloe 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
26	24, 25	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27		elrp 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28		simp2l 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29		simp2r 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
30		cnvimass 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
31	5	fdmi 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ℜ = ℂ
32	30, 31	sseqtri 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
33	3, 32	eqsstri 3980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
34	33	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		abscxp 26744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
37	28, 35, 36	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
38	35	recld 15211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
39	28, 38	rpcxpcld 26785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41	16	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
43	28, 42	rpcxpcld 26785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
44	43	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45		simp1r 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		simp1l 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
48	9	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	recld 15211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 12461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52		1re 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
53		min1 13185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
54	50, 52, 53	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55	14	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57		2re 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59		2pos 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61		lediv1 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
62	56, 50, 58, 60, 61	syl112anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
63	54, 62	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
64	2, 63	eqbrtrid 5132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
65	50	recnd 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66	65	2halvesd 12460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
67	49, 35	resubd 15233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
68	49, 35	subcld 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑏) ∈ ℂ)
69	68	recld 15211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
70	68	abscld 15456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
71	68	releabsd 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑏)))
72		simp3r 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)
73	72, 1	breqtrdi 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
74	20	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76		ltmin 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
77	70, 42, 75, 76	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
78	73, 77	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
79	78	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
80	69, 70, 42, 71, 79	lelttrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
81	69, 42, 51, 80, 64	ltletrd 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
82	67, 81	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
83	50, 38, 51	ltsubadd2d 11778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
84	82, 83	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
85	66, 84	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
86	51, 38, 51	ltadd1d 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
87	85, 86	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
88	42, 51, 38, 64, 87	lelttrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
89	28	rpred 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
90	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
91	28	rprege0d 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92		absid 15313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94		simp3l 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
95	93, 94	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
96	95, 1	breqtrdi 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
97		ltmin 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
98	89, 42, 75, 97	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
99	96, 98	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
100	99	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101		rehalfcl 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
102	52, 101	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103		min2 13186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
104	50, 52, 103	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105		lediv1 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
106	56, 90, 58, 60, 105	syl112anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107	104, 106	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
108	2, 107	eqbrtrid 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109		halflt1 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) < 1
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
111	42, 102, 90, 108, 110	lelttrd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
112	89, 42, 90, 100, 111	lttrd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
113	28, 42, 112, 38	cxplt3d 26787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈)))
114	88, 113	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈))
115	41	rpcnne0d 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116		recid 11852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118	117	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎↑𝑐1))
119	41	rpreccld 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120	119	rpcnd 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
121	28, 42, 120	cxpmuld 26789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
122	28	rpcnd 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123	122	cxp1d 26758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐1) = 𝑎)
124	118, 121, 123	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
125	99	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
126	124, 125	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
127	43	rprege0d 13037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)))
128	45	rprege0d 13037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129		cxplt2 26750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
130	127, 128, 119, 129	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
131	126, 130	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸)
132	40, 44, 46, 114, 131	lttrd 11337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
133	37, 132	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
134	133	3expia 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
135	134	anassrs 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
136	135	ralrimiva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
137	27, 136	sylan2br 604	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
138	137	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139		elpreima 7033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
140	5, 6, 139	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141	140	simprbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142	141, 3	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143	142	rpne0d 13035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145		re0 15169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
146	144, 145	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147	146	necon3i 2988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148	143, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ≠ 0)
149	34, 148	0cxpd 26762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150	149	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151	150	abs00bd 15308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153	152	rpgt0d 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 < 𝐸)
154	151, 153	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
156	155	breq1d 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
157	154, 156	syl5ibcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
158	157	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159	158	ralrimdva 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160	138, 159	jaod 870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
161	26, 160	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162	161	expimpd 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
163	23, 162	biimtrid 244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164	163	ralrimiv 3152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
165		breq2 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166		breq2 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇))
167	165, 166	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)))
168	167	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
169	168	2ralbidv 3225	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170	169	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
171	22, 164, 170	syl2anc 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643   “ cima 5646   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071  +∞cpnf 11206   < clt 11209   ≤ cle 11210   − cmin 11407   / cdiv 11837  2c2 12265  ℝ⁺crp 12986  [,)cico 13344  ℜcre 15114  abscabs 15251   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  ℂ_fldccnfld 21411  ↑_𝑐ccxp 26607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-cxp 26609

This theorem is referenced by:  cxpcn3  26800