Theorem cxpcn3lem 25900

Description: Lemma for cxpcn3 25901. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
cxpcn3.u	⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t	⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
2		cxpcn3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
4	3	eleq2i 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
5		ref 14823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6		ffn 6600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7		elpreima 6935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
9	4, 8	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12		1rp 12734	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		ifcl 4504	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
15	14	rphalfcld 12784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
16	2, 15	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18	16	rpreccld 12782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
20	17, 19	rpcxpcld 25887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
21	16, 20	ifcld 4505	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
22	1, 21	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23		elrege0 13186	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24		0red 10978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25		leloe 11061	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
26	24, 25	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27		elrp 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
30		cnvimass 5989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
31	5	fdmi 6612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ℜ = ℂ
32	30, 31	sseqtri 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
33	3, 32	eqsstri 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
34	33	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		abscxp 25847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
37	28, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
38	35	recld 14905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
39	28, 38	rpcxpcld 25887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
43	28, 42	rpcxpcld 25887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
44	43	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45		simp1r 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		simp1l 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
48	9	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	recld 14905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 12220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52		1re 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
53		min1 12923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
54	50, 52, 53	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55	14	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61		lediv1 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
62	56, 50, 58, 60, 61	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
63	54, 62	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
64	2, 63	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
65	50	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66	65	2halvesd 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
67	49, 35	resubd 14927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
68	49, 35	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑏) ∈ ℂ)
69	68	recld 14905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
70	68	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
71	68	releabsd 15163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑏)))
72		simp3r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)
73	72, 1	breqtrdi 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
74	20	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76		ltmin 12928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
77	70, 42, 75, 76	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
78	73, 77	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
79	78	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
80	69, 70, 42, 71, 79	lelttrd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
81	69, 42, 51, 80, 64	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
82	67, 81	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
83	50, 38, 51	ltsubadd2d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
84	82, 83	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
85	66, 84	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
86	51, 38, 51	ltadd1d 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
87	85, 86	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
88	42, 51, 38, 64, 87	lelttrd 11133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
89	28	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
90	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
91	28	rprege0d 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92		absid 15008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94		simp3l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
95	93, 94	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
96	95, 1	breqtrdi 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
97		ltmin 12928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
98	89, 42, 75, 97	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
99	96, 98	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
100	99	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101		rehalfcl 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
102	52, 101	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103		min2 12924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
104	50, 52, 103	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105		lediv1 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
106	56, 90, 58, 60, 105	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107	104, 106	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
108	2, 107	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109		halflt1 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) < 1
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
111	42, 102, 90, 108, 110	lelttrd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
112	89, 42, 90, 100, 111	lttrd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
113	28, 42, 112, 38	cxplt3d 25889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈)))
114	88, 113	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈))
115	41	rpcnne0d 12781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116		recid 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118	117	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎↑𝑐1))
119	41	rpreccld 12782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120	119	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
121	28, 42, 120	cxpmuld 25891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
122	28	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123	122	cxp1d 25861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐1) = 𝑎)
124	118, 121, 123	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
125	99	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
126	124, 125	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
127	43	rprege0d 12779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)))
128	45	rprege0d 12779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129		cxplt2 25853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
130	127, 128, 119, 129	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
131	126, 130	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸)
132	40, 44, 46, 114, 131	lttrd 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
133	37, 132	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
134	133	3expia 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
135	134	anassrs 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
136	135	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
137	27, 136	sylan2br 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
138	137	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139		elpreima 6935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
140	5, 6, 139	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141	140	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142	141, 3	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143	142	rpne0d 12777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145		re0 14863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
146	144, 145	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147	146	necon3i 2976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148	143, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ≠ 0)
149	34, 148	0cxpd 25865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151	150	abs00bd 15003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152		simpllr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153	152	rpgt0d 12775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 < 𝐸)
154	151, 153	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
156	155	breq1d 5084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
157	154, 156	syl5ibcom 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
158	157	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159	158	ralrimdva 3106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160	138, 159	jaod 856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
161	26, 160	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162	161	expimpd 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
163	23, 162	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164	163	ralrimiv 3102	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
165		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇))
167	165, 166	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)))
168	167	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
169	168	2ralbidv 3129	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170	169	rspcev 3561	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
171	22, 164, 170	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  ℜcre 14808  abscabs 14945   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  ↑_𝑐ccxp 25711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713

This theorem is referenced by:  cxpcn3  25901