MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn3lem 26100
Description: Lemma for cxpcn3 26101. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
cxpcn3.l 𝐿 = (𝐽t 𝐷)
cxpcn3.u 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
Assertion
Ref Expression
cxpcn3lem ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem
StepHypRef Expression
1 cxpcn3.t . . 3 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
2 cxpcn3.u . . . . 5 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3 cxpcn3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℜ “ ℝ+)
43eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+))
5 ref 14997 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
6 ffn 6668 . . . . . . . . . . 11 (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7 elpreima 7008 . . . . . . . . . . 11 (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
94, 8bitri 274 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
109simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12 1rp 12919 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
13 ifcl 4531 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
1514rphalfcld 12969 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
162, 15eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1816rpreccld 12967 . . . . . 6 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
1918rpred 12957 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
2017, 19rpcxpcld 26087 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
2116, 20ifcld 4532 . . 3 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
221, 21eqeltrid 2842 . 2 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23 elrege0 13371 . . . 4 (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24 0red 11158 . . . . . . 7 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25 leloe 11241 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
2624, 25sylan 580 . . . . . 6 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27 elrp 12917 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏𝐷)
30 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
315fdmi 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ℜ = ℂ
3230, 31sseqtri 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
333, 32eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 ⊆ ℂ
3433sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐷𝑏 ∈ ℂ)
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36 abscxp 26047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) = (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)))
3728, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) = (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)))
3835recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
3928, 38rpcxpcld 26087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
4039rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
4241rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
4328, 42rpcxpcld 26087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4443rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
4645rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴𝐷)
489simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5049recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
53 min1 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
5450, 52, 53sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
5655rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61 lediv1 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
6256, 50, 58, 60, 61syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
6354, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
642, 63eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
6550recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66652halvesd 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
6749, 35resubd 15101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
6849, 35subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴𝑏) ∈ ℂ)
6968recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ)
7068abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ)
7168releabsd 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴𝑏)))
72 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)
7372, 1breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
74203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
7574rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76 ltmin 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((abs‘(𝐴𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
7770, 42, 75, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
7873, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
7978simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑈)
8069, 70, 42, 71, 79lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) < 𝑈)
8169, 42, 51, 80, 64ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
8267, 81eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
8350, 38, 51ltsubadd2d 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
8482, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
8566, 84eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
8651, 38, 51ltadd1d 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
8785, 86mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
8842, 51, 38, 64, 87lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
8928rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
9052a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
9128rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92 absid 15181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
9593, 94eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
9695, 1breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
97 ltmin 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
9889, 42, 75, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
10099simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101 rehalfcl 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
10252, 101mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103 min2 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
10450, 52, 103sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105 lediv1 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
10656, 90, 58, 60, 105syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
1082, 107eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109 halflt1 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) < 1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
11142, 102, 90, 108, 110lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
11289, 42, 90, 100, 111lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
11328, 42, 112, 38cxplt3d 26089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎𝑐𝑈)))
11488, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎𝑐𝑈))
11541rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116 recid 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118117oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎𝑐1))
11941rpreccld 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120119rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
12128, 42, 120cxpmuld 26091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
12228rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123122cxp1d 26061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐1) = 𝑎)
124118, 121, 1233eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
12599simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
126124, 125eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈)))
12743rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎𝑐𝑈)))
12845rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129 cxplt2 26053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
130127, 128, 119, 129syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸𝑐(1 / 𝑈))))
131126, 130mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐𝑈) < 𝐸)
13240, 44, 46, 114, 131lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
13337, 132eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)
1341333expia 1121 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
135134anassrs 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
136135ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
13727, 136sylan2br 595 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
138137expr 457 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
1405, 6, 139mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141140simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142141, 3eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143142rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145 re0 15037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℜ‘0) = 0
146144, 145eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147146necon3i 2976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148143, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐷𝑏 ≠ 0)
14934, 1480cxpd 26065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150149adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151150abs00bd 15176 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153152rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → 0 < 𝐸)
154151, 153eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎𝑐𝑏)))
156155breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
157154, 156syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
158157a1dd 50 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
159158ralrimdva 3151 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160138, 159jaod 857 . . . . . 6 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
16126, 160sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162161expimpd 454 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
16323, 162biimtrid 241 . . 3 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164163ralrimiv 3142 . 2 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
165 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
166 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇))
167165, 166anbi12d 631 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇)))
168167imbi1d 341 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
1691682ralbidv 3212 . . 3 (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170169rspcev 3581 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
17122, 164, 170syl2anc 584 1 ((𝐴𝐷𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎𝑐𝑏)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  [,)cico 13266  cre 14982  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  cxpcn3  26101
  Copyright terms: Public domain W3C validator