MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddle 26496
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
cxpaddle.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
cxpaddle.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
cxpaddle.4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
cxpaddle.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
cxpaddle.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddle (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
61, 2, 4, 5addge0d 11794 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
87rpred 13020 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
93, 6, 8recxpcld 26467 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
109adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1211mullidd 11236 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))
131adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
143anim1i 613 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)))
15 elrp 12980 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+)
1713, 16rerpdivcld 13051 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
182adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1918, 16rerpdivcld 13051 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
204adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
213adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
22 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
23 divge0 12087 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ด + ๐ต)))
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 835 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ด + ๐ต)))
258adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2617, 24, 25recxpcld 26467 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
275adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
28 divge0 12087 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / (๐ด + ๐ต)))
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 835 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / (๐ด + ๐ต)))
3019, 29, 25recxpcld 26467 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
311, 2addge01d 11806 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
325, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต))
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต))
3421recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3534mulridd 11235 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท 1) = (๐ด + ๐ต))
3633, 35breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1))
37 1red 11219 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
38 ledivmul 12094 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
4036, 39mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1)
417adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
4342adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 26495 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ))
452, 1addge02d 11807 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
464, 45mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
4746adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
4847, 35breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1))
49 ledivmul 12094 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
5148, 50mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1)
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 26495 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ))
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 11837 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))) โ‰ค (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)))
5413recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5518recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5616rpne0d 13025 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰  0)
5754, 55, 34, 56divdird 12032 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))))
5834, 56dividd 11992 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / (๐ด + ๐ต)) = 1)
5957, 58eqtr3d 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))) = 1)
608recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6160adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6213, 20, 16, 61divcxpd 26466 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
6318, 27, 16, 61divcxpd 26466 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
6462, 63oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
651, 4, 8recxpcld 26467 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
6665recnd 11246 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
682, 5, 8recxpcld 26467 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
6968recnd 11246 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7069adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7116, 25rpcxpcld 26477 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„+)
7271rpne0d 13025 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰  0)
7367, 70, 11, 72divdird 12032 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
7464, 73eqtr4d 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
7553, 59, 743brtr3d 5178 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 1 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
7665, 68readdcld 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7776adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7837, 77, 71lemuldivd 13069 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โ†” 1 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
7975, 78mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
8012, 79eqbrtrrd 5171 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
817rpne0d 13025 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
8260, 810cxpd 26454 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) = 0)
831, 4, 8cxpge0d 26468 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ถ))
842, 5, 8cxpge0d 26468 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))
8565, 68, 83, 84addge0d 11794 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
8682, 85eqbrtrd 5169 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
87 oveq1 7418 . . . . 5 (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))
8887breq1d 5157 . . . 4 (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ ((0โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))))
8986, 88syl5ibcom 244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))))
9089imp 405 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
91 0re 11220 . . . 4 0 โˆˆ โ„
92 leloe 11304 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต))))
9391, 3, 92sylancr 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต))))
946, 93mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต)))
9580, 90, 94mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„+crp 12978  โ†‘๐‘ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  abvcxp  27354
  Copyright terms: Public domain W3C validator