MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddle 26260
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
cxpaddle.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
cxpaddle.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
cxpaddle.4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
cxpaddle.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
cxpaddle.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddle (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
61, 2, 4, 5addge0d 11790 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
87rpred 13016 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
93, 6, 8recxpcld 26231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
1110recnd 11242 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1211mullidd 11232 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))
131adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
143anim1i 616 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)))
15 elrp 12976 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+)
1713, 16rerpdivcld 13047 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
182adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1918, 16rerpdivcld 13047 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
204adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
213adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
22 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
23 divge0 12083 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ด + ๐ต)))
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 838 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ด + ๐ต)))
258adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2617, 24, 25recxpcld 26231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
275adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
28 divge0 12083 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / (๐ด + ๐ต)))
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 838 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / (๐ด + ๐ต)))
3019, 29, 25recxpcld 26231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
311, 2addge01d 11802 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
325, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต))
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต))
3421recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3534mulridd 11231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท 1) = (๐ด + ๐ต))
3633, 35breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1))
37 1red 11215 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
38 ledivmul 12090 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
4036, 39mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1)
417adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
4342adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 26259 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ))
452, 1addge02d 11803 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
464, 45mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
4847, 35breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1))
49 ledivmul 12090 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
5148, 50mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1)
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 26259 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ))
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 11833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))) โ‰ค (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)))
5413recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5518recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5616rpne0d 13021 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰  0)
5754, 55, 34, 56divdird 12028 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))))
5834, 56dividd 11988 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / (๐ด + ๐ต)) = 1)
5957, 58eqtr3d 2775 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))) = 1)
608recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6160adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6213, 20, 16, 61divcxpd 26230 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
6318, 27, 16, 61divcxpd 26230 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
6462, 63oveq12d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
651, 4, 8recxpcld 26231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
6665recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6766adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
682, 5, 8recxpcld 26231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
6968recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7069adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7116, 25rpcxpcld 26241 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„+)
7271rpne0d 13021 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰  0)
7367, 70, 11, 72divdird 12028 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
7464, 73eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
7553, 59, 743brtr3d 5180 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 1 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
7665, 68readdcld 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7776adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7837, 77, 71lemuldivd 13065 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โ†” 1 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
7975, 78mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
8012, 79eqbrtrrd 5173 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
817rpne0d 13021 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
8260, 810cxpd 26218 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) = 0)
831, 4, 8cxpge0d 26232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ถ))
842, 5, 8cxpge0d 26232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))
8565, 68, 83, 84addge0d 11790 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
8682, 85eqbrtrd 5171 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
87 oveq1 7416 . . . . 5 (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))
8887breq1d 5159 . . . 4 (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ ((0โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))))
8986, 88syl5ibcom 244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))))
9089imp 408 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
91 0re 11216 . . . 4 0 โˆˆ โ„
92 leloe 11300 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต))))
9391, 3, 92sylancr 588 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต))))
946, 93mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต)))
9580, 90, 94mpjaodan 958 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„+crp 12974  โ†‘๐‘ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  abvcxp  27118
  Copyright terms: Public domain W3C validator