MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddle 25493
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddle.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddle.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cxpaddle.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
cxpaddle.5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cxpaddle.6 (𝜑𝐶 ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddle (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10748 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
61, 2, 4, 5addge0d 11294 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87rpred 12514 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 6, 8recxpcld 25466 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
109adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
1110recnd 10747 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
1211mulid2d 10737 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
131adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
143anim1i 618 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
15 elrp 12474 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
1614, 15sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
1713, 16rerpdivcld 12545 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
182adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918, 16rerpdivcld 12545 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
204adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
213adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
22 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
23 divge0 11587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 838 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
258adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2617, 24, 25recxpcld 25466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
275adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
28 divge0 11587 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 838 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
3019, 29, 25recxpcld 25466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
311, 2addge01d 11306 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
325, 31mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
3332adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
3421recnd 10747 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3534mulid1d 10736 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) · 1) = (𝐴 + 𝐵))
3633, 35breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
37 1red 10720 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
38 ledivmul 11594 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
4036, 39mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
417adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≤ 1)
4342adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ≤ 1)
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 25492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
452, 1addge02d 11307 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
464, 45mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
4746adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
4847, 35breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
49 ledivmul 11594 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
5148, 50mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 25492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 11337 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) ≤ (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)))
5413recnd 10747 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5518recnd 10747 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5616rpne0d 12519 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ≠ 0)
5754, 55, 34, 56divdird 11532 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))))
5834, 56dividd 11492 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = 1)
5957, 58eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) = 1)
608recnd 10747 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6160adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6213, 20, 16, 61divcxpd 25465 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
6318, 27, 16, 61divcxpd 25465 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
6462, 63oveq12d 7188 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
651, 4, 8recxpcld 25466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
6665recnd 10747 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
6766adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
682, 5, 8recxpcld 25466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℝ)
6968recnd 10747 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
7069adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
7116, 25rpcxpcld 25475 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
7271rpne0d 12519 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≠ 0)
7367, 70, 11, 72divdird 11532 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
7464, 73eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
7553, 59, 743brtr3d 5061 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ≤ (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
7665, 68readdcld 10748 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
7776adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
7837, 77, 71lemuldivd 12563 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ↔ 1 ≤ (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
7975, 78mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
8012, 79eqbrtrrd 5054 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
817rpne0d 12519 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
8260, 810cxpd 25453 . . . . 5 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) = 0)
831, 4, 8cxpge0d 25467 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐶))
842, 5, 8cxpge0d 25467 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
8565, 68, 83, 84addge0d 11294 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
8682, 85eqbrtrd 5052 . . . 4 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
87 oveq1 7177 . . . . 5 (0 = (𝐴 + 𝐵) → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
8887breq1d 5040 . . . 4 (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶))))
8986, 88syl5ibcom 248 . . 3 (𝜑 → (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶))))
9089imp 410 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
91 0re 10721 . . . 4 0 ∈ ℝ
92 leloe 10805 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
9391, 3, 92sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
946, 93mpbid 235 . 2 (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵)))
9580, 90, 94mpjaodan 958 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754   / cdiv 11375  +crp 12472  𝑐ccxp 25299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-cxp 25301
This theorem is referenced by:  abvcxp  26351
  Copyright terms: Public domain W3C validator