MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddle 26715
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
cxpaddle.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
cxpaddle.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
cxpaddle.4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
cxpaddle.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
cxpaddle.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddle (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2readdcld 11283 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
61, 2, 4, 5addge0d 11830 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
87rpred 13058 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
93, 6, 8recxpcld 26685 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
109adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
1110recnd 11282 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1211mullidd 11272 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))
131adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
143anim1i 613 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)))
15 elrp 13018 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+)
1713, 16rerpdivcld 13089 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
182adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1918, 16rerpdivcld 13089 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
204adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
213adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
22 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
23 divge0 12123 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ด + ๐ต)))
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 837 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ด + ๐ต)))
258adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2617, 24, 25recxpcld 26685 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
275adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
28 divge0 12123 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / (๐ด + ๐ต)))
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 837 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต / (๐ด + ๐ต)))
3019, 29, 25recxpcld 26685 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
311, 2addge01d 11842 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
325, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต))
3332adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต))
3421recnd 11282 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3534mulridd 11271 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท 1) = (๐ด + ๐ต))
3633, 35breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1))
37 1red 11255 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
38 ledivmul 12130 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
4036, 39mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1)
417adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
4342adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โ‰ค 1)
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 26714 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ))
452, 1addge02d 11843 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
464, 45mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
4746adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ด + ๐ต))
4847, 35breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1))
49 ledivmul 12130 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต))) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ๐ต โ‰ค ((๐ด + ๐ต) ยท 1)))
5148, 50mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค 1)
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 26714 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ต / (๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ))
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 11873 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))) โ‰ค (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)))
5413recnd 11282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5518recnd 11282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5616rpne0d 13063 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰  0)
5754, 55, 34, 56divdird 12068 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))))
5834, 56dividd 12028 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / (๐ด + ๐ต)) = 1)
5957, 58eqtr3d 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต)) + (๐ต / (๐ด + ๐ต))) = 1)
608recnd 11282 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6160adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6213, 20, 16, 61divcxpd 26684 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
6318, 27, 16, 61divcxpd 26684 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
6462, 63oveq12d 7444 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
651, 4, 8recxpcld 26685 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
6665recnd 11282 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
682, 5, 8recxpcld 26685 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„)
6968recnd 11282 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7069adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7116, 25rpcxpcld 26695 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โˆˆ โ„+)
7271rpne0d 13063 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰  0)
7367, 70, 11, 72divdird 12068 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) + ((๐ตโ†‘๐‘๐ถ) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
7464, 73eqtr4d 2771 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ) + ((๐ต / (๐ด + ๐ต))โ†‘๐‘๐ถ)) = (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
7553, 59, 743brtr3d 5183 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ 1 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)))
7665, 68readdcld 11283 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7776adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โˆˆ โ„)
7837, 77, 71lemuldivd 13107 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โ†” 1 โ‰ค (((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) / ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))))
7975, 78mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (1 ยท ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ)) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
8012, 79eqbrtrrd 5176 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
817rpne0d 13063 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
8260, 810cxpd 26672 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) = 0)
831, 4, 8cxpge0d 26686 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ถ))
842, 5, 8cxpge0d 26686 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))
8565, 68, 83, 84addge0d 11830 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
8682, 85eqbrtrd 5174 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
87 oveq1 7433 . . . . 5 (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ))
8887breq1d 5162 . . . 4 (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ ((0โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)) โ†” ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))))
8986, 88syl5ibcom 244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 = (๐ด + ๐ต) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ))))
9089imp 405 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = (๐ด + ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
91 0re 11256 . . . 4 0 โˆˆ โ„
92 leloe 11340 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต))))
9391, 3, 92sylancr 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต))))
946, 93mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < (๐ด + ๐ต) โˆจ 0 = (๐ด + ๐ต)))
9580, 90, 94mpjaodan 956 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘๐ถ) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘๐ถ) + (๐ตโ†‘๐‘๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911  โ„+crp 13016  โ†‘๐‘ccxp 26517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-cxp 26519
This theorem is referenced by:  abvcxp  27576
  Copyright terms: Public domain W3C validator