MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddle 25905
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddle.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddle.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddle.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cxpaddle.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
cxpaddle.5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cxpaddle.6 (𝜑𝐶 ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddle (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxpaddle
StepHypRef Expression
1 cxpaddle.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cxpaddle.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11004 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 cxpaddle.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5 cxpaddle.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
61, 2, 4, 5addge0d 11551 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7 cxpaddle.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
87rpred 12772 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 6, 8recxpcld 25878 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
1110recnd 11003 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
1211mulid2d 10993 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
131adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
143anim1i 615 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
15 elrp 12732 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
1713, 16rerpdivcld 12803 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
182adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918, 16rerpdivcld 12803 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
204adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
213adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
22 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
23 divge0 11844 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
2413, 20, 21, 22, 23syl22anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
258adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2617, 24, 25recxpcld 25878 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
275adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
28 divge0 11844 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
2918, 27, 21, 22, 28syl22anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
3019, 29, 25recxpcld 25878 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
311, 2addge01d 11563 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
325, 31mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
3421recnd 11003 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
3534mulid1d 10992 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) · 1) = (𝐴 + 𝐵))
3633, 35breqtrrd 5102 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
37 1red 10976 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
38 ledivmul 11851 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
3913, 37, 21, 22, 38syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
4036, 39mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
417adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42 cxpaddle.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≤ 1)
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ≤ 1)
4417, 24, 40, 41, 43cxpaddlelem 25904 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
452, 1addge02d 11564 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
464, 45mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
4847, 35breqtrrd 5102 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
49 ledivmul 11851 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
5018, 37, 21, 22, 49syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
5148, 50mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
5219, 29, 51, 41, 43cxpaddlelem 25904 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
5317, 19, 26, 30, 44, 52le2addd 11594 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) ≤ (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)))
5413recnd 11003 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5518recnd 11003 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5616rpne0d 12777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ≠ 0)
5754, 55, 34, 56divdird 11789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))))
5834, 56dividd 11749 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = 1)
5957, 58eqtr3d 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) = 1)
608recnd 11003 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6160adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6213, 20, 16, 61divcxpd 25877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
6318, 27, 16, 61divcxpd 25877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
6462, 63oveq12d 7293 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
651, 4, 8recxpcld 25878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
6665recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
6766adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
682, 5, 8recxpcld 25878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℝ)
6968recnd 11003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
7069adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
7116, 25rpcxpcld 25887 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
7271rpne0d 12777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≠ 0)
7367, 70, 11, 72divdird 11789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
7464, 73eqtr4d 2781 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
7553, 59, 743brtr3d 5105 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ≤ (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
7665, 68readdcld 11004 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
7776adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
7837, 77, 71lemuldivd 12821 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ↔ 1 ≤ (((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
7975, 78mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
8012, 79eqbrtrrd 5098 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
817rpne0d 12777 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
8260, 810cxpd 25865 . . . . 5 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) = 0)
831, 4, 8cxpge0d 25879 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐶))
842, 5, 8cxpge0d 25879 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
8565, 68, 83, 84addge0d 11551 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
8682, 85eqbrtrd 5096 . . . 4 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
87 oveq1 7282 . . . . 5 (0 = (𝐴 + 𝐵) → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
8887breq1d 5084 . . . 4 (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶))))
8986, 88syl5ibcom 244 . . 3 (𝜑 → (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶))))
9089imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
91 0re 10977 . . . 4 0 ∈ ℝ
92 leloe 11061 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
9391, 3, 92sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
946, 93mpbid 231 . 2 (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵)))
9580, 90, 94mpjaodan 956 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴𝑐𝐶) + (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010   / cdiv 11632  +crp 12730  𝑐ccxp 25711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713
This theorem is referenced by:  abvcxp  26763
  Copyright terms: Public domain W3C validator