Theorem cxpaddle 24937

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpaddle.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddle.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddle.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cxpaddle.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
cxpaddle.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cxpaddle.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxpaddle	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxpaddle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpaddle.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cxpaddle.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		cxpaddle.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		cxpaddle.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 4, 5	addge0d 10953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7		cxpaddle.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	3, 6, 8	recxpcld 24910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
10	9	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
12	11	mulid2d 10397	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
13	1	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	3	anim1i 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
15		elrp 12143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)))
16	14, 15	sylibr 226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ+)
17	13, 16	rerpdivcld 12216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
18	2	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18, 16	rerpdivcld 12216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
21	3	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
22		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
23		divge0 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
24	13, 20, 21, 22, 23	syl22anc 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)))
25	8	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	17, 24, 25	recxpcld 24910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
27	5	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
28		divge0 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
29	18, 27, 21, 22, 28	syl22anc 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)))
30	19, 29, 25	recxpcld 24910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
31	1, 2	addge01d 10965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
32	5, 31	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
33	32	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵))
34	21	recnd 10407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
35	34	mulid1d 10396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) · 1) = (𝐴 + 𝐵))
36	33, 35	breqtrrd 4916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
37		1red 10379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
38		ledivmul 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
39	13, 37, 21, 22, 38	syl112anc 1442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
40	36, 39	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
41	7	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
42		cxpaddle.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 1)
43	42	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ≤ 1)
44	17, 24, 40, 41, 43	cxpaddlelem 24936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
45	2, 1	addge02d 10966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
46	4, 45	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
47	46	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
48	47, 35	breqtrrd 4916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1))
49		ledivmul 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
50	18, 37, 21, 22, 49	syl112anc 1442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1 ↔ 𝐵 ≤ ((𝐴 + 𝐵) · 1)))
51	48, 50	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ 1)
52	19, 29, 51, 41, 43	cxpaddlelem 24936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 / (𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶))
53	17, 19, 26, 30, 44, 52	le2addd 10996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) ≤ (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)))
54	13	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	18	recnd 10407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
56	16	rpne0d 12190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ≠ 0)
57	54, 55, 34, 56	divdird 11191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))))
58	34, 56	dividd 11151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / (𝐴 + 𝐵)) = 1)
59	57, 58	eqtr3d 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵)) + (𝐵 / (𝐴 + 𝐵))) = 1)
60	8	recnd 10407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
61	60	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
62	13, 20, 16, 61	divcxpd 24909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐴↑𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
63	18, 27, 16, 61	divcxpd 24909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) = ((𝐵↑𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
64	62, 63	oveq12d 6942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴↑𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵↑𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
65	1, 4, 8	recxpcld 24910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
66	65	recnd 10407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
67	66	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
68	2, 5, 8	recxpcld 24910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℝ)
69	68	recnd 10407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
70	69	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
71	16, 25	rpcxpcld 24919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
72	71	rpne0d 12190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≠ 0)
73	67, 70, 11, 72	divdird 11191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) = (((𝐴↑𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) + ((𝐵↑𝑐𝐶) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
74	64, 73	eqtr4d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶) + ((𝐵 / (𝐴 + 𝐵))↑𝑐𝐶)) = (((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
75	53, 59, 74	3brtr3d 4919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 1 ≤ (((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)))
76	65, 68	readdcld 10408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
77	76	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ ℝ)
78	37, 77, 71	lemuldivd 12234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) ↔ 1 ≤ (((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) / ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))))
79	75, 78	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (1 · ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))
80	12, 79	eqbrtrrd 4912	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))
81	7	rpne0d 12190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
82	60, 81	0cxpd 24897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) = 0)
83	1, 4, 8	cxpge0d 24911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐶))
84	2, 5, 8	cxpge0d 24911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵↑𝑐𝐶))
85	65, 68, 83, 84	addge0d 10953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))
86	82, 85	eqbrtrd 4910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))
87		oveq1 6931	. . . . 5 ⊢ (0 = (𝐴 + 𝐵) → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
88	87	breq1d 4898	. . . 4 ⊢ (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((0↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶))))
89	86, 88	syl5ibcom 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶))))
90	89	imp 397	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))
91		0re 10380	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
92		leloe 10465	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
93	91, 3, 92	sylancr 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵))))
94	6, 93	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 + 𝐵) ∨ 0 = (𝐴 + 𝐵)))
95	80, 90, 94	mpjaodan 944	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ≤ ((𝐴↑𝑐𝐶) + (𝐵↑𝑐𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413   ≤ cle 10414   / cdiv 11034  ℝ⁺crp 12141  ↑_𝑐ccxp 24743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206  df-cos 15207  df-pi 15209  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072  df-log 24744  df-cxp 24745

This theorem is referenced by:  abvcxp  25760