Theorem amgm 27019

Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here (𝑀 Σ_g 𝐹) calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements 𝐹(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴 together), and (ℂ_fld Σ_g 𝐹) calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). This is Metamath 100 proof #38. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
amgm	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		cnfldbas 21347	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	1, 2	mgpbas 20123	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
4		cnfld1 21385	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
5	1, 4	ringidval 20166	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
6		cnfldmul 21351	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	1, 6	mgpplusg 20121	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
8		cncrng 21380	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
9	1	crngmgp 20224	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
10	8, 9	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ CMnd)
11		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
13		rge0ssre 13487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		ax-resscn 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
16		fss 6744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	12, 15, 16	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		1ex 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 1 ∈ V)
20	17, 11, 19	fdmfifsupp 9418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 1)
21		disjdif 4476	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅)
23		undif2 4481	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐴)
24		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	snssd 4818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
26		ssequn1 4181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
28	23, 27	eqtr2id 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})))
29	3, 5, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 28	gsumsplit 19926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
30	12, 25	feqresmpt 6972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦)))
31	30	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))))
32		cnring 21382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
33	1	ringmgp 20222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ Mnd)
35	17, 24	ffvelcdmd 7099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
36		fveq2 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	3, 36	gsumsn 19952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
38	34, 24, 35, 37	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
39		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
40	31, 38, 39	3eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = 0)
41	40	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
42		diffi 9213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
44		difss 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
45		fssres 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
46	17, 44, 45	sylancl 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
47	46, 43, 19	fdmfifsupp 9418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})) finSupp 1)
48	3, 5, 10, 43, 46, 47	gsumcl 19913	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥}))) ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = 0)
50	29, 41, 49	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = 0)
51	50	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
52		simpl2 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
53		hashnncl 14383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54	11, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
55	52, 54	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
57	55	nnne0d 12314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
58	56, 57	reccld 12034	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	56, 57	recne0d 12035	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	58, 59	0cxpd 26737	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
61	51, 60	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
62		cnfld0 21384	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
63		ringcmn 20261	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64	32, 63	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
65		rege0subm 21420	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67		c0ex 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ∈ V)
69	12, 11, 68	fdmfifsupp 9418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 0)
70	62, 64, 11, 66, 12, 69	gsumsubmcl 19917	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞))
71		elrege0 13485	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
72	70, 71	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
73	55	nnred 12279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
74	55	nngt0d 12313	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
75		divge0 12135	. . . . 5 ⊢ ((((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐴))) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
77	61, 76	eqbrtrd 5175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
78	77	rexlimdvaa 3146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
79		ralnex 3062	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0)
80		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
81		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ ∅)
82		simpl3 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
83	82	ffnd 6729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹 Fn 𝐴)
84		ffvelcdm 7095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
85	84	3ad2antl3 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
86		elrege0 13485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
87	85, 86	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
88	87	simprd 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
89		0re 11266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
90	87	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91		leloe 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
92	89, 90, 91	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
93	88, 92	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥)))
94	93	ord 862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → 0 = (𝐹‘𝑥)))
95		eqcom 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
96	94, 95	imbitrdi 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0))
97	96	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → 0 < (𝐹‘𝑥)))
98		elrp 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑥)))
99	98	baib 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
100	90, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
101	97, 100	sylibrd 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
102	101	ralimdva 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
103	102	imp 405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
104		ffnfv 7133	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
105	83, 103, 104	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
106	1, 80, 81, 105	amgmlem 27018	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
107	106	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
108	79, 107	biimtrrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
109	78, 108	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  {csn 4633   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236   ↾ cres 5684   Fn wfn 6549  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  ℂcc 11156  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163  +∞cpnf 11295   < clt 11298   ≤ cle 11299   / cdiv 11921  ℕcn 12264  ℝ⁺crp 13028  [,)cico 13380  ♯chash 14347   Σ_g cgsu 17455  Mndcmnd 18727  SubMndcsubmnd 18772  CMndccmn 19778  mulGrpcmgp 20117  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  ℂ_fldccnfld 21343  ↑_𝑐ccxp 26582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-gim 19253  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-refld 21601  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584

This theorem is referenced by: (None)