Theorem amgm 26901

Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here (𝑀 Σ_g 𝐹) calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements 𝐹(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴 together), and (ℂ_fld Σ_g 𝐹) calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). This is Metamath 100 proof #38. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
amgm	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		cnfldbas 21268	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	1, 2	mgpbas 20054	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
4		cnfld1 21305	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
5	1, 4	ringidval 20092	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
6		cnfldmul 21272	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	1, 6	mgpplusg 20053	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
8		cncrng 21300	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
9	1	crngmgp 20150	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
10	8, 9	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ CMnd)
11		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
13		rge0ssre 13417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
16		fss 6704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	12, 15, 16	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		1ex 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 1 ∈ V)
20	17, 11, 19	fdmfifsupp 9326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 1)
21		disjdif 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅)
23		undif2 4440	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐴)
24		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	snssd 4773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
26		ssequn1 4149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
28	23, 27	eqtr2id 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})))
29	3, 5, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 28	gsumsplit 19858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
30	12, 25	feqresmpt 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦)))
31	30	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))))
32		cnring 21302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
33	1	ringmgp 20148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ Mnd)
35	17, 24	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
36		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	3, 36	gsumsn 19884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
38	34, 24, 35, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
39		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
40	31, 38, 39	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = 0)
41	40	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
42		diffi 9139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
44		difss 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
45		fssres 6726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
46	17, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
47	46, 43, 19	fdmfifsupp 9326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})) finSupp 1)
48	3, 5, 10, 43, 46, 47	gsumcl 19845	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥}))) ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = 0)
50	29, 41, 49	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = 0)
51	50	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
52		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
53		hashnncl 14331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54	11, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
55	52, 54	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
57	55	nnne0d 12236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
58	56, 57	reccld 11951	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	56, 57	recne0d 11952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	58, 59	0cxpd 26619	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
61	51, 60	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
62		cnfld0 21304	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
63		ringcmn 20191	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64	32, 63	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
65		rege0subm 21340	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67		c0ex 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ∈ V)
69	12, 11, 68	fdmfifsupp 9326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 0)
70	62, 64, 11, 66, 12, 69	gsumsubmcl 19849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞))
71		elrege0 13415	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
72	70, 71	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
73	55	nnred 12201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
74	55	nngt0d 12235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
75		divge0 12052	. . . . 5 ⊢ ((((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐴))) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
77	61, 76	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
78	77	rexlimdvaa 3135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
79		ralnex 3055	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0)
80		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
81		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ ∅)
82		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
83	82	ffnd 6689	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹 Fn 𝐴)
84		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
85	84	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
86		elrege0 13415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
87	85, 86	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
88	87	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
89		0re 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
90	87	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91		leloe 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
92	89, 90, 91	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
93	88, 92	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥)))
94	93	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → 0 = (𝐹‘𝑥)))
95		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
96	94, 95	imbitrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0))
97	96	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → 0 < (𝐹‘𝑥)))
98		elrp 12953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑥)))
99	98	baib 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
100	90, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
101	97, 100	sylibrd 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
102	101	ralimdva 3145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
104		ffnfv 7091	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
105	83, 103, 104	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
106	1, 80, 81, 105	amgmlem 26900	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
107	106	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
108	79, 107	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
109	78, 108	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  +∞cpnf 11205   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℝ⁺crp 12951  [,)cico 13308  ♯chash 14295   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  CMndccmn 19710  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  ℂ_fldccnfld 21264  ↑_𝑐ccxp 26464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-gim 19191  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-refld 21514  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466

This theorem is referenced by: (None)