Theorem amgm 26961

Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here (𝑀 Σ_g 𝐹) calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements 𝐹(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴 together), and (ℂ_fld Σ_g 𝐹) calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). This is Metamath 100 proof #38. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
amgm	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		cnfldbas 21317	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	1, 2	mgpbas 20084	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
4		cnfld1 21352	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
5	1, 4	ringidval 20122	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
6		cnfldmul 21321	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	1, 6	mgpplusg 20083	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
8		cncrng 21347	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
9	1	crngmgp 20180	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
10	8, 9	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ CMnd)
11		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
13		rge0ssre 13376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		ax-resscn 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
16		fss 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	12, 15, 16	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		1ex 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 1 ∈ V)
20	17, 11, 19	fdmfifsupp 9282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 1)
21		disjdif 4425	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅)
23		undif2 4430	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐴)
24		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	snssd 4766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
26		ssequn1 4139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
28	23, 27	eqtr2id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})))
29	3, 5, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 28	gsumsplit 19861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
30	12, 25	feqresmpt 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦)))
31	30	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))))
32		cnring 21349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
33	1	ringmgp 20178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ Mnd)
35	17, 24	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
36		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	3, 36	gsumsn 19887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
38	34, 24, 35, 37	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
39		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
40	31, 38, 39	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = 0)
41	40	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
42		diffi 9103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
44		difss 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
45		fssres 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
46	17, 44, 45	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
47	46, 43, 19	fdmfifsupp 9282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})) finSupp 1)
48	3, 5, 10, 43, 46, 47	gsumcl 19848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥}))) ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11335	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = 0)
50	29, 41, 49	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = 0)
51	50	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
52		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
53		hashnncl 14293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54	11, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
55	52, 54	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
57	55	nnne0d 12199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
58	56, 57	reccld 11914	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	56, 57	recne0d 11915	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	58, 59	0cxpd 26679	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
61	51, 60	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
62		cnfld0 21351	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
63		ringcmn 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64	32, 63	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
65		rege0subm 21382	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67		c0ex 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ∈ V)
69	12, 11, 68	fdmfifsupp 9282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 0)
70	62, 64, 11, 66, 12, 69	gsumsubmcl 19852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞))
71		elrege0 13374	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
72	70, 71	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
73	55	nnred 12164	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
74	55	nngt0d 12198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
75		divge0 12015	. . . . 5 ⊢ ((((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐴))) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
77	61, 76	eqbrtrd 5121	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
78	77	rexlimdvaa 3139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
79		ralnex 3063	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0)
80		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
81		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ ∅)
82		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
83	82	ffnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹 Fn 𝐴)
84		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
85	84	3ad2antl3 1189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
86		elrege0 13374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
87	85, 86	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
88	87	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
89		0re 11138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
90	87	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91		leloe 11223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
92	89, 90, 91	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
93	88, 92	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥)))
94	93	ord 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → 0 = (𝐹‘𝑥)))
95		eqcom 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
96	94, 95	imbitrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0))
97	96	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → 0 < (𝐹‘𝑥)))
98		elrp 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑥)))
99	98	baib 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
100	90, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
101	97, 100	sylibrd 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
102	101	ralimdva 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
104		ffnfv 7066	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
105	83, 103, 104	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
106	1, 80, 81, 105	amgmlem 26960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
107	106	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
108	79, 107	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
109	78, 108	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035  +∞cpnf 11167   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℝ⁺crp 12909  [,)cico 13267  ♯chash 14257   Σ_g cgsu 17364  Mndcmnd 18663  SubMndcsubmnd 18711  CMndccmn 19713  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  ℂ_fldccnfld 21313  ↑_𝑐ccxp 26524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-refld 21564  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525  df-cxp 26526

This theorem is referenced by: (None)