Theorem amgm 27057

Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here (𝑀 Σ_g 𝐹) calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements 𝐹(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴 together), and (ℂ_fld Σ_g 𝐹) calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). This is Metamath 100 proof #38. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
amgm	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		cnfldbas 21430	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	1, 2	mgpbas 20193	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
4		cnfld1 21451	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
5	1, 4	ringidval 20235	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
6		cnfldmul 21434	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	1, 6	mgpplusg 20192	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
8		cncrng 21447	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
9	1	crngmgp 20293	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
10	8, 9	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ CMnd)
11		simpl1 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpl3 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
13		rge0ssre 13462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		ax-resscn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
16		fss 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	12, 15, 16	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		1ex 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 1 ∈ V)
20	17, 11, 19	fdmfifsupp 9323	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 1)
21		disjdif 4428	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅)
23		undif2 4433	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐴)
24		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
26		ssequn1 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
28	23, 27	eqtr2id 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})))
29	3, 5, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 28	gsumsplit 19970	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
30	12, 25	feqresmpt 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦)))
31	30	oveq2d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))))
32		cnring 21448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
33	1	ringmgp 20291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ Mnd)
35	17, 24	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
36		fveq2 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	3, 36	gsumsn 19996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
38	34, 24, 35, 37	syl3anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
39		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
40	31, 38, 39	3eqtrd 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = 0)
41	40	oveq1d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
42		diffi 9145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
44		difss 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
45		fssres 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
46	17, 44, 45	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
47	46, 43, 19	fdmfifsupp 9323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})) finSupp 1)
48	3, 5, 10, 43, 46, 47	gsumcl 19957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥}))) ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = 0)
50	29, 41, 49	3eqtrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = 0)
51	50	oveq1d 7413	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
52		simpl2 1207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
53		hashnncl 14381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54	11, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
55	52, 54	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
57	55	nnne0d 12265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
58	56, 57	reccld 11962	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	56, 57	recne0d 11963	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	58, 59	0cxpd 26777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
61	51, 60	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
62		cnfld0 21450	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
63		ringcmn 20334	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64	32, 63	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
65		rege0subm 21477	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67		c0ex 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ∈ V)
69	12, 11, 68	fdmfifsupp 9323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 0)
70	62, 64, 11, 66, 12, 69	gsumsubmcl 19961	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞))
71		elrege0 13460	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
72	70, 71	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
73	55	nnred 12227	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
74	55	nngt0d 12264	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
75		divge0 12063	. . . . 5 ⊢ ((((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐴))) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 847	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
77	61, 76	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
78	77	rexlimdvaa 3166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
79		ralnex 3090	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0)
80		simpl1 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
81		simpl2 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ ∅)
82		simpl3 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
83	82	ffnd 6694	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹 Fn 𝐴)
84		ffvelcdm 7064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
85	84	3ad2antl3 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
86		elrege0 13460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
87	85, 86	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
88	87	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
89		0re 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
90	87	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91		leloe 11271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
92	89, 90, 91	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
93	88, 92	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥)))
94	93	ord 875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → 0 = (𝐹‘𝑥)))
95		eqcom 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
96	94, 95	imbitrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0))
97	96	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → 0 < (𝐹‘𝑥)))
98		elrp 12997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑥)))
99	98	baib 543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
100	90, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
101	97, 100	sylibrd 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
102	101	ralimdva 3176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
103	102	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
104		ffnfv 7102	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
105	83, 103, 104	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
106	1, 80, 81, 105	amgmlem 27056	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
107	106	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
108	79, 107	biimtrrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
109	78, 108	pm2.61d 180	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5651   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Fincfn 8929  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  +∞cpnf 11215   < clt 11218   ≤ cle 11219   / cdiv 11846  ℕcn 12212  ℝ⁺crp 12995  [,)cico 13353  ♯chash 14345   Σ_g cgsu 17471  Mndcmnd 18770  SubMndcsubmnd 18818  CMndccmn 19822  mulGrpcmgp 20188  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286  ℂ_fldccnfld 21426  ↑_𝑐ccxp 26622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-gim 19301  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-drng 20783  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-refld 21659  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-lp 23198  df-perf 23199  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-cmp 23449  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cncf 24942  df-limc 25930  df-dv 25931  df-log 26623  df-cxp 26624

This theorem is referenced by: (None)