Theorem amgm 26955

Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here (𝑀 Σ_g 𝐹) calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements 𝐹(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴 together), and (ℂ_fld Σ_g 𝐹) calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). This is Metamath 100 proof #38. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
amgm	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		cnfldbas 21311	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	1, 2	mgpbas 20078	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
4		cnfld1 21346	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
5	1, 4	ringidval 20116	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
6		cnfldmul 21315	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
7	1, 6	mgpplusg 20077	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
8		cncrng 21341	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ CRing
9	1	crngmgp 20174	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
10	8, 9	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ CMnd)
11		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ Fin)
12		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
13		rge0ssre 13370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14		ax-resscn 11081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstri 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
16		fss 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
17	12, 15, 16	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18		1ex 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 1 ∈ V)
20	17, 11, 19	fdmfifsupp 9276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 1)
21		disjdif 4422	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅)
23		undif2 4427	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐴)
24		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	snssd 4763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
26		ssequn1 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
28	23, 27	eqtr2id 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})))
29	3, 5, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 28	gsumsplit 19855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
30	12, 25	feqresmpt 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦)))
31	30	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))))
32		cnring 21343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
33	1	ringmgp 20172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ Mnd)
35	17, 24	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
36		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	3, 36	gsumsn 19881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
38	34, 24, 35, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑥))
39		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
40	31, 38, 39	3eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = 0)
41	40	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
42		diffi 9097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
44		difss 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
45		fssres 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
46	17, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
47	46, 43, 19	fdmfifsupp 9276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})) finSupp 1)
48	3, 5, 10, 43, 46, 47	gsumcl 19842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥}))) ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = 0)
50	29, 41, 49	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = 0)
51	50	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
52		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
53		hashnncl 14287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54	11, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
55	52, 54	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
56	55	nncnd 12159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
57	55	nnne0d 12193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
58	56, 57	reccld 11908	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	56, 57	recne0d 11909	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	58, 59	0cxpd 26673	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
61	51, 60	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
62		cnfld0 21345	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
63		ringcmn 20215	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64	32, 63	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
65		rege0subm 21376	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67		c0ex 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ∈ V)
69	12, 11, 68	fdmfifsupp 9276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 0)
70	62, 64, 11, 66, 12, 69	gsumsubmcl 19846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞))
71		elrege0 13368	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
72	70, 71	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
73	55	nnred 12158	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
74	55	nngt0d 12192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
75		divge0 12009	. . . . 5 ⊢ ((((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐴))) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
77	61, 76	eqbrtrd 5118	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
78	77	rexlimdvaa 3136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
79		ralnex 3060	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0)
80		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
81		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ ∅)
82		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
83	82	ffnd 6661	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹 Fn 𝐴)
84		ffvelcdm 7024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
85	84	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
86		elrege0 13368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
87	85, 86	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
88	87	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
89		0re 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
90	87	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91		leloe 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
92	89, 90, 91	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥))))
93	88, 92	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 < (𝐹‘𝑥) ∨ 0 = (𝐹‘𝑥)))
94	93	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → 0 = (𝐹‘𝑥)))
95		eqcom 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
96	94, 95	imbitrdi 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 0 < (𝐹‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0))
97	96	con1d 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → 0 < (𝐹‘𝑥)))
98		elrp 12905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹‘𝑥)))
99	98	baib 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
100	90, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹‘𝑥)))
101	97, 100	sylibrd 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
102	101	ralimdva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
104		ffnfv 7062	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ+ ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+))
105	83, 103, 104	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
106	1, 80, 81, 105	amgmlem 26954	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
107	106	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
108	79, 107	biimtrrid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
109	78, 108	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   ↾ cres 5624   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   · cmul 11029  +∞cpnf 11161   < clt 11164   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℝ⁺crp 12903  [,)cico 13261  ♯chash 14251   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  SubMndcsubmnd 18705  CMndccmn 19707  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167  ℂ_fldccnfld 21307  ↑_𝑐ccxp 26518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-refld 21558  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-cxp 26520

This theorem is referenced by: (None)