MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm 24937
Description: Inequality of arithmetic and geometric means. Here (𝑀 Σg 𝐹) calculates the group sum within the multiplicative monoid of the complex numbers (or in other words, it multiplies the elements 𝐹(𝑥), 𝑥𝐴 together), and (ℂfld Σg 𝐹) calculates the group sum in the additive group (i.e. the sum of the elements). This is Metamath 100 proof #38. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
amgm.1 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
amgm ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgm.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 cnfldbas 19964 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
31, 2mgpbas 18702 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘𝑀)
4 cnfld1 19985 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℂfld)
51, 4ringidval 18710 . . . . . . . 8 1 = (0g𝑀)
6 cnfldmul 19966 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
71, 6mgpplusg 18700 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
8 cncrng 19981 . . . . . . . . 9 fld ∈ CRing
91crngmgp 18762 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
108, 9mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ CMnd)
11 simpl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ Fin)
12 simpl3 1231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
13 rge0ssre 12486 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
14 ax-resscn 10198 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3761 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
16 fss 6197 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1712, 15, 16sylancl 574 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18 1ex 10240 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 1 ∈ V)
2017, 11, 19fdmfifsupp 8444 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 1)
21 disjdif 4183 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅)
23 undif2 4187 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐴)
24 simprl 754 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝑥𝐴)
2524snssd 4476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
26 ssequn1 3934 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
2725, 26sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ({𝑥} ∪ 𝐴) = 𝐴)
2823, 27syl5req 2818 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐴 = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})))
293, 5, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 28gsumsplit 18534 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
3012, 25feqresmpt 6394 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹𝑦)))
3130oveq2d 6811 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹𝑦))))
32 cnring 19982 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
331ringmgp 18760 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3432, 33mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝑀 ∈ Mnd)
3517, 24ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
36 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
373, 36gsumsn 18560 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℂ) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹𝑦))) = (𝐹𝑥))
3834, 24, 35, 37syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝐹𝑦))) = (𝐹𝑥))
39 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = 0)
4031, 38, 393eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) = 0)
4140oveq1d 6810 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ {𝑥})) · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))))
42 diffi 8351 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4311, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
44 difss 3888 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
45 fssres 6211 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
4617, 44, 45sylancl 574 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})):(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
4746, 43, 19fdmfifsupp 8444 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})) finSupp 1)
483, 5, 10, 43, 46, 47gsumcl 18522 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥}))) ∈ ℂ)
4948mul02d 10439 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (0 · (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝑥})))) = 0)
5029, 41, 493eqtrd 2809 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (𝑀 Σg 𝐹) = 0)
5150oveq1d 6810 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
52 simpl2 1229 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
53 hashnncl 13358 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5411, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5552, 54mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
5655nncnd 11241 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
5755nnne0d 11270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
5856, 57reccld 10999 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
5956, 57recne0d 11000 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (1 / (♯‘𝐴)) ≠ 0)
6058, 590cxpd 24676 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (0↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
6151, 60eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = 0)
62 cnfld0 19984 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
63 ringcmn 18788 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
6432, 63mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
65 rege0subm 20016 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
6665a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67 c0ex 10239 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 0 ∈ V)
6912, 11, 68fdmfifsupp 8444 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 𝐹 finSupp 0)
7062, 64, 11, 66, 12, 69gsumsubmcl 18525 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞))
71 elrege0 12484 . . . . . 6 ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
7270, 71sylib 208 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)))
7355nnred 11240 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7455nngt0d 11269 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
75 divge0 11097 . . . . 5 ((((ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℂfld Σg 𝐹)) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐴))) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
7672, 73, 74, 75syl12anc 1474 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → 0 ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
7761, 76eqbrtrd 4809 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
7877rexlimdvaa 3180 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
79 ralnex 3141 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 0)
80 simpl1 1227 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
81 simpl2 1229 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐴 ≠ ∅)
82 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞))
8382ffnd 6185 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐹 Fn 𝐴)
84 ffvelrn 6502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
85843ad2antl3 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
86 elrege0 12484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
8785, 86sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
8887simprd 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
89 0re 10245 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
9087simpld 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
91 leloe 10329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (0 < (𝐹𝑥) ∨ 0 = (𝐹𝑥))))
9289, 90, 91sylancr 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (0 < (𝐹𝑥) ∨ 0 = (𝐹𝑥))))
9388, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (0 < (𝐹𝑥) ∨ 0 = (𝐹𝑥)))
9493ord 853 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 0 < (𝐹𝑥) → 0 = (𝐹𝑥)))
95 eqcom 2778 . . . . . . . . . . 11 (0 = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = 0)
9694, 95syl6ib 241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 0 < (𝐹𝑥) → (𝐹𝑥) = 0))
9796con1d 141 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐹𝑥) = 0 → 0 < (𝐹𝑥)))
98 elrp 12036 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑥)))
9998baib 525 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹𝑥)))
10090, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐹𝑥)))
10197, 100sylibrd 249 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐹𝑥) = 0 → (𝐹𝑥) ∈ ℝ+))
102101ralimdva 3111 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℝ+))
103102imp 393 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℝ+)
104 ffnfv 6532 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ+ ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℝ+))
10583, 103, 104sylanbrc 572 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
1061, 80, 81, 105amgmlem 24936 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
107106ex 397 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 ¬ (𝐹𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
10879, 107syl5bir 233 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → (¬ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 0 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
10978, 108pm2.61d 171 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴⟶(0[,)+∞)) → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cres 5252   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  Fincfn 8112  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   · cmul 10146  +∞cpnf 10276   < clt 10279  cle 10280   / cdiv 10889  cn 11225  +crp 12034  [,)cico 12381  chash 13320   Σg cgsu 16308  Mndcmnd 17501  SubMndcsubmnd 17541  CMndccmn 18399  mulGrpcmgp 18696  Ringcrg 18754  CRingccrg 18755  fldccnfld 19960  𝑐ccxp 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-tpos 7507  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-gim 17908  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-subrg 18987  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator