MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 27142
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝑃,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘ž,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
21padicval 27127 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 713 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 7426 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 7508 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 12984 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 11244 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9 rpne0 12992 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 β‰  0)
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 β‰  0)
118, 100cxpd 26225 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 481 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4547 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13eqtrid 2784 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2941 . . . . . 6 (𝑦 β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 16791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1716adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1817zcnd 12669 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚)
198adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
20 mulneg12 11654 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2219negcld 11560 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ β„‚)
2318, 22mulcomd 11237 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
28 eluz2b2 12907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3130nnrpd 13016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 12670 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
3433zred 12668 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 26252 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 26252 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 12229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4330nnne0d 12264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 β‰  0)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 β‰  0)
4542, 44, 33cxpexpzd 26226 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 26248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 13020 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ β„‚)
5048rpne0d 13023 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) β‰  0)
5149, 50, 17cxpexpzd 26226 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5239, 46, 513eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5352anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5415, 53sylan2br 595 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ Β¬ 𝑦 = 0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5554ifeq2da 4560 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
564, 14, 553eqtrd 2776 . . 3 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5756mpteq2dva 5248 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58 rpre 12984 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
5947, 58syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60 rpgt0 12988 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
6147, 60syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
62 rpgt0 12988 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝑅)
647lt0neg2d 11786 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6563, 64mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 < 0)
6629simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 1 < 𝑃)
67 0red 11219 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
6840, 66, 36, 67cxpltd 26234 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0)))
6965, 68mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0))
7041cxp0d 26220 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐0) = 1)
7169, 70breqtrd 5174 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)
72 0xr 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
73 1xr 11275 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
74 elioo2 13367 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)))
7572, 73, 74mp2an 690 . . . 4 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1))
7659, 61, 71, 75syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77 qrng.q . . . 4 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
78 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
79 eqid 2732 . . . 4 (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8077, 78, 79padicabv 27140 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8176, 80syldan 591 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8257, 81eqeltrd 2833 1 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250  -cneg 11447  β„•cn 12214  2c2 12269  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„šcq 12934  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  β†‘cexp 14029  β„™cprime 16610   pCnt cpc 16771   β†Ύs cress 17175  AbsValcabv 20428  β„‚fldccnfld 20950  β†‘𝑐ccxp 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-abv 20429  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  ostth3  27148  ostth  27149
  Copyright terms: Public domain W3C validator