MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 27691
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑃,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑞,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
21padicval 27676 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 715 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 7446 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 7531 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 13041 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
9 rpne0 13049 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ 0)
118, 100cxpd 26767 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4550 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13eqtrid 2787 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2939 . . . . . 6 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 16890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
1716adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
1817zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ)
198adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ ℂ)
20 mulneg12 11699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
2219negcld 11605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℂ)
2318, 22mulcomd 11280 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = (𝑃𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 16730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
28 eluz2b2 12961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℕ)
3130nnrpd 13073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
3433zred 12720 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 26794 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 11688 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 26794 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2783 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 12279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
4330nnne0d 12314 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ≠ 0)
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
4542, 44, 33cxpexpzd 26768 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 26790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 13077 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℂ)
5048rpne0d 13080 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ≠ 0)
5149, 50, 17cxpexpzd 26768 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5239, 46, 513eqtr3d 2783 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5352anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5415, 53sylan2br 595 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5554ifeq2da 4563 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
564, 14, 553eqtrd 2779 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5756mpteq2dva 5248 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58 rpre 13041 . . . . 5 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
5947, 58syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60 rpgt0 13045 . . . . 5 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → 0 < (𝑃𝑐-𝑅))
6147, 60syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑃𝑐-𝑅))
62 rpgt0 13045 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
6362adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑅)
647lt0neg2d 11831 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6563, 64mpbid 232 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 < 0)
6629simprd 495 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 1 < 𝑃)
67 0red 11262 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
6840, 66, 36, 67cxpltd 26776 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃𝑐-𝑅) < (𝑃𝑐0)))
6965, 68mpbid 232 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) < (𝑃𝑐0))
7041cxp0d 26762 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐0) = 1)
7169, 70breqtrd 5174 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) < 1)
72 0xr 11306 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
73 1xr 11318 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
74 elioo2 13425 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑐-𝑅) ∧ (𝑃𝑐-𝑅) < 1)))
7572, 73, 74mp2an 692 . . . 4 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑐-𝑅) ∧ (𝑃𝑐-𝑅) < 1))
7659, 61, 71, 75syl3anbrc 1342 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77 qrng.q . . . 4 𝑄 = (ℂflds ℚ)
78 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
79 eqid 2735 . . . 4 (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8077, 78, 79padicabv 27689 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8176, 80syldan 591 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8257, 81eqeltrd 2839 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  cq 12988  +crp 13032  (,)cioo 13384  cexp 14099  cprime 16705   pCnt cpc 16870  s cress 17274  AbsValcabv 20826  fldccnfld 21382  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-abv 20827  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by:  ostth3  27697  ostth  27698
  Copyright terms: Public domain W3C validator