MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 27132
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝑃,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘ž,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
21padicval 27117 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 713 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 7423 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 7505 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 12981 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 11241 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9 rpne0 12989 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 β‰  0)
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 β‰  0)
118, 100cxpd 26217 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 481 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4547 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13eqtrid 2784 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2941 . . . . . 6 (𝑦 β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 16788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1716adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1817zcnd 12666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚)
198adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
20 mulneg12 11651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2219negcld 11557 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ β„‚)
2318, 22mulcomd 11234 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 16632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
28 eluz2b2 12904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3130nnrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 12667 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
3433zred 12665 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 26243 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 11640 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 26243 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 12226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 11241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4330nnne0d 12261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 β‰  0)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 β‰  0)
4542, 44, 33cxpexpzd 26218 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 26239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 13017 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ β„‚)
5048rpne0d 13020 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) β‰  0)
5149, 50, 17cxpexpzd 26218 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5239, 46, 513eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5352anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5415, 53sylan2br 595 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ Β¬ 𝑦 = 0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5554ifeq2da 4560 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
564, 14, 553eqtrd 2776 . . 3 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5756mpteq2dva 5248 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58 rpre 12981 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
5947, 58syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60 rpgt0 12985 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
6147, 60syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
62 rpgt0 12985 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝑅)
647lt0neg2d 11783 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6563, 64mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 < 0)
6629simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 1 < 𝑃)
67 0red 11216 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
6840, 66, 36, 67cxpltd 26226 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0)))
6965, 68mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0))
7041cxp0d 26212 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐0) = 1)
7169, 70breqtrd 5174 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)
72 0xr 11260 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
73 1xr 11272 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
74 elioo2 13364 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)))
7572, 73, 74mp2an 690 . . . 4 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1))
7659, 61, 71, 75syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77 qrng.q . . . 4 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
78 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
79 eqid 2732 . . . 4 (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8077, 78, 79padicabv 27130 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8176, 80syldan 591 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8257, 81eqeltrd 2833 1 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247  -cneg 11444  β„•cn 12211  2c2 12266  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„šcq 12931  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  β†‘cexp 14026  β„™cprime 16607   pCnt cpc 16768   β†Ύs cress 17172  AbsValcabv 20423  β„‚fldccnfld 20943  β†‘𝑐ccxp 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-abv 20424  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065
This theorem is referenced by:  ostth3  27138  ostth  27139
  Copyright terms: Public domain W3C validator