Theorem padicabvcxp 27550

Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicabvcxp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑃,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvcxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padic.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
2	1	padicval 27535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
3	2	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
4	3	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5		ovif 7490	. . . . 5 ⊢ (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6		rpre 12967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
9		rpne0 12975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ≠ 0)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ 0)
11	8, 10	0cxpd 26626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
13	12	ifeq1d 4511	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
14	5, 13	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15		df-ne 2927	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
16		pcqcl 16834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ)
19	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ ℂ)
20		mulneg12 11623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
22	19	negcld 11527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℂ)
23	18, 22	mulcomd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
24	21, 23	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
25	24	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = (𝑃↑𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))))
26		prmuz2 16673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28		eluz2b2 12887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
30	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℕ)
31	30	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ+)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
33	17	znegcld 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
34	33	zred 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
35	32, 34, 19	cxpmuld 26653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
36	7	renegcld 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℝ)
38	32, 37, 18	cxpmuld 26653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
39	25, 35, 38	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
40	30	nnred 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
43	30	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ≠ 0)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
45	42, 44, 33	cxpexpzd 26627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
46	45	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
47	31, 36	rpcxpcld 26649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
49	48	rpcnd 13004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℂ)
50	48	rpne0d 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ≠ 0)
51	49, 50, 17	cxpexpzd 26627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
52	39, 46, 51	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
53	52	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
54	15, 53	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
55	54	ifeq2da 4524	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
56	4, 14, 55	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
57	56	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58		rpre 12967	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
59	47, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60		rpgt0 12971	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
61	47, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
62		rpgt0 12971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
63	62	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑅)
64	7	lt0neg2d 11755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
65	63, 64	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 < 0)
66	29	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 1 < 𝑃)
67		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
68	40, 66, 36, 67	cxpltd 26635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0)))
69	65, 68	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0))
70	41	cxp0d 26621	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐0) = 1)
71	69, 70	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)
72		0xr 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
73		1xr 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
74		elioo2 13354	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)))
75	72, 73, 74	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1))
76	59, 61, 71, 75	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77		qrng.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
78		qabsabv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
79		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
80	77, 78, 79	padicabv 27548	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
81	76, 80	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
82	57, 81	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  -cneg 11413  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℚcq 12914  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  ↑cexp 14033  ℙcprime 16648   pCnt cpc 16814   ↾_s cress 17207  AbsValcabv 20724  ℂ_fldccnfld 21271  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-abv 20725  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  ostth3  27556  ostth  27557