Theorem padicabvcxp 27599

Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicabvcxp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑃,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvcxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padic.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
2	1	padicval 27584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
3	2	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
4	3	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5		ovif 7456	. . . . 5 ⊢ (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6		rpre 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
9		rpne0 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ≠ 0)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ 0)
11	8, 10	0cxpd 26675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
13	12	ifeq1d 4499	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
14	5, 13	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15		df-ne 2933	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
16		pcqcl 16784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ)
19	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ ℂ)
20		mulneg12 11575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
22	19	negcld 11479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℂ)
23	18, 22	mulcomd 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
24	21, 23	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
25	24	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = (𝑃↑𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))))
26		prmuz2 16623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28		eluz2b2 12834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
30	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℕ)
31	30	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ+)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
33	17	znegcld 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
34	33	zred 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
35	32, 34, 19	cxpmuld 26702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
36	7	renegcld 11564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℝ)
38	32, 37, 18	cxpmuld 26702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
39	25, 35, 38	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
40	30	nnred 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ)
41	40	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
43	30	nnne0d 12195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ≠ 0)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
45	42, 44, 33	cxpexpzd 26676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
46	45	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
47	31, 36	rpcxpcld 26698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
49	48	rpcnd 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℂ)
50	48	rpne0d 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ≠ 0)
51	49, 50, 17	cxpexpzd 26676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
52	39, 46, 51	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
53	52	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
54	15, 53	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
55	54	ifeq2da 4512	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
56	4, 14, 55	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
57	56	mpteq2dva 5191	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58		rpre 12914	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
59	47, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60		rpgt0 12918	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
61	47, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
62		rpgt0 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
63	62	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑅)
64	7	lt0neg2d 11707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
65	63, 64	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 < 0)
66	29	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 1 < 𝑃)
67		0red 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
68	40, 66, 36, 67	cxpltd 26684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0)))
69	65, 68	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0))
70	41	cxp0d 26670	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐0) = 1)
71	69, 70	breqtrd 5124	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)
72		0xr 11179	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
73		1xr 11191	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
74		elioo2 13302	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)))
75	72, 73, 74	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1))
76	59, 61, 71, 75	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77		qrng.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
78		qabsabv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
79		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
80	77, 78, 79	padicabv 27597	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
81	76, 80	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
82	57, 81	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℚcq 12861  ℝ⁺crp 12905  (,)cioo 13261  ↑cexp 13984  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764   ↾_s cress 17157  AbsValcabv 20741  ℂ_fldccnfld 21309  ↑_𝑐ccxp 26520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-abv 20742  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-cxp 26522

This theorem is referenced by:  ostth3  27605  ostth  27606