MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 27372
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝑃,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘ž,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
21padicval 27357 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 712 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 7427 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 7509 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 12987 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 11247 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9 rpne0 12995 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 β‰  0)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 β‰  0)
118, 100cxpd 26455 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4547 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13eqtrid 2783 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2940 . . . . . 6 (𝑦 β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 16794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1716adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1817zcnd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚)
198adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
20 mulneg12 11657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2219negcld 11563 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ β„‚)
2318, 22mulcomd 11240 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
28 eluz2b2 12910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3130nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 12673 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
3433zred 12671 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 26482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 11646 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 26482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4330nnne0d 12267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 β‰  0)
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 β‰  0)
4542, 44, 33cxpexpzd 26456 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 26478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 13023 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ β„‚)
5048rpne0d 13026 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) β‰  0)
5149, 50, 17cxpexpzd 26456 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5239, 46, 513eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5352anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5415, 53sylan2br 594 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ Β¬ 𝑦 = 0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5554ifeq2da 4560 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
564, 14, 553eqtrd 2775 . . 3 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5756mpteq2dva 5248 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58 rpre 12987 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
5947, 58syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60 rpgt0 12991 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
6147, 60syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
62 rpgt0 12991 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
6362adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝑅)
647lt0neg2d 11789 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6563, 64mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 < 0)
6629simprd 495 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 1 < 𝑃)
67 0red 11222 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
6840, 66, 36, 67cxpltd 26464 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0)))
6965, 68mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0))
7041cxp0d 26450 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐0) = 1)
7169, 70breqtrd 5174 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)
72 0xr 11266 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
73 1xr 11278 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
74 elioo2 13370 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)))
7572, 73, 74mp2an 689 . . . 4 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1))
7659, 61, 71, 75syl3anbrc 1342 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77 qrng.q . . . 4 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
78 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
79 eqid 2731 . . . 4 (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8077, 78, 79padicabv 27370 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8176, 80syldan 590 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8257, 81eqeltrd 2832 1 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119  β„*cxr 11252   < clt 11253  -cneg 11450  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„šcq 12937  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  β†‘cexp 14032  β„™cprime 16613   pCnt cpc 16774   β†Ύs cress 17178  AbsValcabv 20568  β„‚fldccnfld 21145  β†‘𝑐ccxp 26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-abv 20569  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303
This theorem is referenced by:  ostth3  27378  ostth  27379
  Copyright terms: Public domain W3C validator