MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 26964
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑃,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑞,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
21padicval 26949 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 713 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 7368 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 7450 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 12915 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 11179 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
9 rpne0 12923 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ 0)
118, 100cxpd 26049 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 481 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4503 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13eqtrid 2788 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2942 . . . . . 6 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 16720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
1716adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
1817zcnd 12604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ)
198adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ ℂ)
20 mulneg12 11589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
2219negcld 11495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℂ)
2318, 22mulcomd 11172 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 7369 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = (𝑃𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 16564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
28 eluz2b2 12838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℕ)
3130nnrpd 12947 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 12605 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
3433zred 12603 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 26075 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 11578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 26075 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 12164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 11179 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
4330nnne0d 12199 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ≠ 0)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
4542, 44, 33cxpexpzd 26050 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 7368 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 26071 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 12951 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℂ)
5048rpne0d 12954 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ≠ 0)
5149, 50, 17cxpexpzd 26050 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5239, 46, 513eqtr3d 2784 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5352anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5415, 53sylan2br 595 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5554ifeq2da 4516 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
564, 14, 553eqtrd 2780 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5756mpteq2dva 5203 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58 rpre 12915 . . . . 5 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
5947, 58syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60 rpgt0 12919 . . . . 5 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → 0 < (𝑃𝑐-𝑅))
6147, 60syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑃𝑐-𝑅))
62 rpgt0 12919 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑅)
647lt0neg2d 11721 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6563, 64mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 < 0)
6629simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 1 < 𝑃)
67 0red 11154 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
6840, 66, 36, 67cxpltd 26058 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃𝑐-𝑅) < (𝑃𝑐0)))
6965, 68mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) < (𝑃𝑐0))
7041cxp0d 26044 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐0) = 1)
7169, 70breqtrd 5129 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) < 1)
72 0xr 11198 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
73 1xr 11210 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
74 elioo2 13297 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑐-𝑅) ∧ (𝑃𝑐-𝑅) < 1)))
7572, 73, 74mp2an 690 . . . 4 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑐-𝑅) ∧ (𝑃𝑐-𝑅) < 1))
7659, 61, 71, 75syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77 qrng.q . . . 4 𝑄 = (ℂflds ℚ)
78 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
79 eqid 2736 . . . 4 (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8077, 78, 79padicabv 26962 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8176, 80syldan 591 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8257, 81eqeltrd 2838 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7353  cc 11045  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   · cmul 11052  *cxr 11184   < clt 11185  -cneg 11382  cn 12149  2c2 12204  cz 12495  cuz 12759  cq 12865  +crp 12907  (,)cioo 13256  cexp 13959  cprime 16539   pCnt cpc 16700  s cress 17104  AbsValcabv 20260  fldccnfld 20781  𝑐ccxp 25895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-tpos 8153  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960  df-fac 14166  df-bc 14195  df-hash 14223  df-shft 14944  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-limsup 15345  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-ef 15942  df-sin 15944  df-cos 15945  df-pi 15947  df-dvds 16129  df-gcd 16367  df-prm 16540  df-pc 16701  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-mulg 18864  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-cring 19953  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-subrg 20205  df-abv 20261  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215  df-log 25896  df-cxp 25897
This theorem is referenced by:  ostth3  26970  ostth  26971
  Copyright terms: Public domain W3C validator