MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 27003
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝑃,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘ž,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
21padicval 26988 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 714 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ ((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 7376 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 7458 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 12931 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 11191 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
9 rpne0 12939 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 β‰  0)
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 β‰  0)
118, 100cxpd 26088 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 482 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4509 . . . . 5 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13eqtrid 2785 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2941 . . . . . 6 (𝑦 β‰  0 ↔ Β¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 16736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
1817zcnd 12616 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚)
198adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
20 mulneg12 11601 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅))
2219negcld 11507 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ β„‚)
2318, 22mulcomd 11184 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃 pCnt 𝑦) Β· -𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅) = (-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 16580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
28 eluz2b2 12854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3130nnrpd 12963 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 12617 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ β„€)
3433zred 12615 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 26114 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) Β· 𝑅)) = ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 11590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 26114 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐(-𝑅 Β· (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 12176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4241adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
4330nnne0d 12211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 β‰  0)
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ 𝑃 β‰  0)
4542, 44, 33cxpexpzd 26089 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 26110 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 12967 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ β„‚)
5048rpne0d 12970 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) β‰  0)
5149, 50, 17cxpexpzd 26089 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5239, 46, 513eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ β„š ∧ 𝑦 β‰  0)) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5352anassrs 469 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ 𝑦 β‰  0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5415, 53sylan2br 596 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) ∧ Β¬ 𝑦 = 0) β†’ ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5554ifeq2da 4522 . . . 4 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
564, 14, 553eqtrd 2777 . . 3 (((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ β„š) β†’ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5756mpteq2dva 5209 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
58 rpre 12931 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
5947, 58syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
60 rpgt0 12935 . . . . 5 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
6147, 60syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅))
62 rpgt0 12935 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
6362adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝑅)
647lt0neg2d 11733 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6563, 64mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ -𝑅 < 0)
6629simprd 497 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 1 < 𝑃)
67 0red 11166 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
6840, 66, 36, 67cxpltd 26097 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0)))
6965, 68mpbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < (𝑃↑𝑐0))
7041cxp0d 26083 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐0) = 1)
7169, 70breqtrd 5135 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)
72 0xr 11210 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
73 1xr 11222 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
74 elioo2 13314 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1)))
7572, 73, 74mp2an 691 . . . 4 ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑐-𝑅) ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) < 1))
7659, 61, 71, 75syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
77 qrng.q . . . 4 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
78 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
79 eqid 2733 . . . 4 (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8077, 78, 79padicabv 27001 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝑃↑𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8176, 80syldan 592 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8257, 81eqeltrd 2834 1 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ (((π½β€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197  -cneg 11394  β„•cn 12161  2c2 12216  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  β†‘cexp 13976  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819  β†‘𝑐ccxp 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936
This theorem is referenced by:  ostth3  27009  ostth  27010
  Copyright terms: Public domain W3C validator