MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cxp 26181
Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
0cxp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ด) = 0)

Proof of Theorem 0cxp
StepHypRef Expression
1 0cn 11208 . . . 4 0 โˆˆ โ„‚
2 cxpval 26179 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ด) = if(0 = 0, if(๐ด = 0, 1, 0), (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜0)))))
31, 2mpan 688 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ด) = if(0 = 0, if(๐ด = 0, 1, 0), (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜0)))))
4 eqid 2732 . . . 4 0 = 0
54iftruei 4535 . . 3 if(0 = 0, if(๐ด = 0, 1, 0), (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜0)))) = if(๐ด = 0, 1, 0)
63, 5eqtrdi 2788 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0โ†‘๐‘๐ด) = if(๐ด = 0, 1, 0))
7 ifnefalse 4540 . 2 (๐ด โ‰  0 โ†’ if(๐ด = 0, 1, 0) = 0)
86, 7sylan9eq 2792 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  ifcif 4528  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  expce 16007  logclog 26070  โ†‘๐‘ccxp 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-mulcl 11174  ax-i2m1 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  cxpexp  26183  cxpeq0  26193  cxpge0  26198  mulcxplem  26199  cxpmul2  26204  cxple2  26212  cxpsqrt  26218  0cxpd  26225  cxpsqrtth  26245  abscxpbnd  26268
  Copyright terms: Public domain W3C validator