MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cxp 26723
Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
0cxp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxp
StepHypRef Expression
1 0cn 11251 . . . 4 0 ∈ ℂ
2 cxpval 26721 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0↑𝑐𝐴) = if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))))
31, 2mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (0↑𝑐𝐴) = if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))))
4 eqid 2735 . . . 4 0 = 0
54iftruei 4538 . . 3 if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))) = if(𝐴 = 0, 1, 0)
63, 5eqtrdi 2791 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0↑𝑐𝐴) = if(𝐴 = 0, 1, 0))
7 ifnefalse 4543 . 2 (𝐴 ≠ 0 → if(𝐴 = 0, 1, 0) = 0)
86, 7sylan9eq 2795 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  expce 16094  logclog 26611  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-cxp 26614
This theorem is referenced by:  cxpexp  26725  cxpeq0  26735  cxpge0  26740  mulcxplem  26741  cxpmul2  26746  cxple2  26754  cxpsqrt  26760  0cxpd  26767  cxpsqrtth  26787  abscxpbnd  26811
  Copyright terms: Public domain W3C validator