Theorem 0cxp 26708

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0cxp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11253	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cxpval 26706	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0↑𝑐𝐴) = if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0↑𝑐𝐴) = if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4532	. . 3 ⊢ if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))) = if(𝐴 = 0, 1, 0)
6	3, 5	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0↑𝑐𝐴) = if(𝐴 = 0, 1, 0))
7		ifnefalse 4537	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → if(𝐴 = 0, 1, 0) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ifcif 4525  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  expce 16097  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  cxpexp  26710  cxpeq0  26720  cxpge0  26725  mulcxplem  26726  cxpmul2  26731  cxple2  26739  cxpsqrt  26745  0cxpd  26752  cxpsqrtth  26772  abscxpbnd  26796