Theorem 0cxp 26708

Description: Value of the complex power function when the first argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0cxp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0cxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11168	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cxpval 26706	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0↑𝑐𝐴) = if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))))
3	1, 2	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0↑𝑐𝐴) = if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4486	. . 3 ⊢ if(0 = 0, if(𝐴 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐴 · (log‘0)))) = if(𝐴 = 0, 1, 0)
6	3, 5	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0↑𝑐𝐴) = if(𝐴 = 0, 1, 0))
7		ifnefalse 4491	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → if(𝐴 = 0, 1, 0) = 0)
8	6, 7	sylan9eq 2816	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ifcif 4479  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  expce 16074  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-mulcl 11132  ax-i2m1 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  cxpexp  26710  cxpeq0  26720  cxpge0  26725  mulcxplem  26726  cxpmul2  26731  cxple2  26739  cxpsqrt  26745  0cxpd  26752  cxpsqrtth  26772  abscxpbnd  26795