MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvcxp 27639
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvcxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2727 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 eqidd 2727 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r𝑅) = (.r𝑅))
7 eqidd 2727 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
81abvrcl 20786 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
98adantr 479 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 20789 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110adantlr 713 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 20790 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
1312adantlr 713 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
14 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 11300 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 11253 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 13433 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1)))
1815, 16, 17mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
1914, 18sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
2019simp1d 1139 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 479 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 26745 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 7118 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
25 eqid 2726 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
263, 25ring0cl 20240 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
28 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2928oveq1d 7429 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
30 ovex 7447 . . . . 5 ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6999 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 20796 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3433adantr 479 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3534oveq1d 7429 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 11281 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
3719simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 11817 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
3936, 380cxpd 26732 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2766 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2766 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = 0)
42 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
43 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑦𝐵)
441, 3abvcl 20789 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 20793 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
47463adant1r 1174 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
4845, 47elrpd 13059 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 26755 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 13065 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5352oveq1d 7429 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 7447 . . . . 5 ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6999 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 5172 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐺𝑦))
58 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
59 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐵)
60 simp3l 1198 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑧𝐵)
61 eqid 2726 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
621, 3, 61abvmul 20794 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6463oveq1d 7429 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 20790 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
6758, 59, 66syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
681, 3abvcl 20789 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 20790 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
7158, 60, 70syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
72363ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 26750 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2766 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 20227 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
7978oveq1d 7429 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 7447 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6999 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
8584oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
86 ovex 7447 . . . . . 6 ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑧𝐵 → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 7432 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2776 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
91 ringgrp 20215 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
943, 93grpcl 18929 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
961, 3abvcl 20789 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 20790 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
100193ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
101100simp1d 1139 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 26745 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 11282 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 11829 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
105103, 104, 101recxpcld 26745 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 26745 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 26745 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 11282 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 20795 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
111100simp2d 1140 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 13059 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 26749 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 231 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1141 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 26775 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 11410 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
119118oveq1d 7429 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 7447 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6999 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 7432 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 5176 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 20785 1 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6544  (class class class)co 7414  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   · cmul 11152  *cxr 11286   < clt 11287  cle 11288  (,]cioc 13371  Basecbs 17206  +gcplusg 17259  .rcmulr 17260  0gc0g 17447  Grpcgrp 18921  Ringcrg 20210  AbsValcabv 20781  𝑐ccxp 26577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ioc 13375  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15065  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-rlim 15484  df-sum 15684  df-ef 16062  df-sin 16064  df-cos 16065  df-pi 16067  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-abv 20782  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-cncf 24884  df-limc 25881  df-dv 25882  df-log 26578  df-cxp 26579
This theorem is referenced by:  ostth2  27661  ostth  27663
  Copyright terms: Public domain W3C validator