Theorem abvcxp 27757

Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvcxp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))

Assertion

Ref	Expression
abvcxp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvcxp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvcxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
7		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
8	1	abvrcl 20897	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 3	abvcl 20900	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	1, 3	abvge0 20901	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
13	12	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
14		0xr 11257	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		1re 11209	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		elioc2 13437	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1)))
17	14, 15, 16	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
18	17	bilani 509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
19	18	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
20	19	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
21	11, 13, 20	recxpcld 26866	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
22		abvcxp.f	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))
23	21, 22	fmptd 7111	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	3, 24	ring0cl 20351	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
26	9, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
27		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	27	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
29		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
30	28, 22, 29	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
31	26, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
32	1, 24	abv0 20907	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
33	32	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
34	33	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
35	19	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
36	18	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
37	36	gt0ne0d 11779	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
38	35, 37	0cxpd 26853	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
39	34, 38	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
40	31, 39	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = 0)
41		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43	1, 3	abvcl 20900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
45	1, 3, 24	abvgt0 20904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
46	45	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
47	44, 46	elrpd 13058	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ+)
48	19	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
49	47, 48	rpcxpcld 26876	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
50	49	rpgt0d 13064	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
51		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
52	51	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
53		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
54	52, 22, 53	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
55	42, 54	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
56	50, 55	breqtrrd 5140	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐺‘𝑦))
57		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
58		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
59		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
60		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
61	1, 3, 60	abvmul 20905	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
63	62	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
64	57, 58, 43	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	1, 3	abvge0 20901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
66	57, 58, 65	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
67	1, 3	abvcl 20900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
68	57, 59, 67	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
69	1, 3	abvge0 20901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
70	57, 59, 69	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
71	35	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
72	64, 66, 68, 70, 71	mulcxpd 26871	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
73	63, 72	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
74	9	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
75	3, 60	ringcl 20333	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
76	74, 58, 59, 75	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
78	77	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
79		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
80	78, 22, 79	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
81	76, 80	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
82	58, 54	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
83		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
84	83	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
85		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
86	84, 22, 85	fvmpt 6991	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
87	59, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
88	82, 87	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
89	73, 81, 88	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
90		ringgrp 20321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
91	74, 90	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
92		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
93	3, 92	grpcl 19009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
94	91, 58, 59, 93	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
95	1, 3	abvcl 20900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
96	57, 94, 95	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
97	1, 3	abvge0 20901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
98	57, 94, 97	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
99	18	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
100	99	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
101	96, 98, 100	recxpcld 26866	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
102	64, 68	readdcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
103	64, 68, 66, 70	addge0d 11791	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
104	102, 103, 100	recxpcld 26866	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
105	64, 66, 100	recxpcld 26866	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
106	68, 70, 100	recxpcld 26866	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
107	105, 106	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
108	1, 3, 92	abvtri 20906	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
109	57, 58, 59, 108	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
110	99	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 < 𝑆)
111	100, 110	elrpd 13058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
112	96, 98, 102, 103, 111	cxple2d 26870	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆)))
113	109, 112	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
114	99	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
115	64, 66, 68, 70, 111, 114	cxpaddle 26895	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
116	101, 104, 107, 113, 115	letrd 11368	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
117		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
118	117	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
119		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
120	118, 22, 119	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
121	94, 120	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
122	82, 87	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
123	116, 121, 122	3brtr4d 5144	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
124	2, 4, 5, 6, 7, 9, 23, 40, 56, 89, 123	isabvd 20896	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,]cioc 13374  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001  Ringcrg 20316  AbsValcabv 20892  ↑_𝑐ccxp 26698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-abv 20893  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699  df-cxp 26700

This theorem is referenced by:  ostth2  27779  ostth  27781