MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvcxp 26986
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvcxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvcxp.f 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvcxp.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2734 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 eqidd 2734 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…))
7 eqidd 2734 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
81abvrcl 20323 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98adantr 482 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 20326 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 20327 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1312adantlr 714 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
14 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 11163 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 13336 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1)))
1815, 16, 17mp2an 691 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
1914, 18sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
2019simp1d 1143 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 26101 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 7066 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„)
25 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
263, 25ring0cl 19998 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
28 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)))
2928oveq1d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
30 ovex 7394 . . . . 5 ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6952 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 20333 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3433adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3534oveq1d 7376 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 11191 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
3719simp2d 1144 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 11727 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 β‰  0)
3936, 380cxpd 26088 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2773 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2773 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
42 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
43 simp2 1138 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
441, 3abvcl 20326 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 20330 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
47463adant1r 1178 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
4845, 47elrpd 12962 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 26110 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 12968 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5352oveq1d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 7394 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6952 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 5137 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΊβ€˜π‘¦))
58 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
59 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
60 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
61 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
621, 3, 61abvmul 20331 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6463oveq1d 7376 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 20327 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6758, 59, 66syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
681, 3abvcl 20326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 20327 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
7158, 60, 70syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
72363ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 26106 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2773 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 19989 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7978oveq1d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 7394 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6952 . . . 4 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6846 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
8584oveq1d 7376 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
86 ovex 7394 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6952 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 7379 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2783 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
91 ringgrp 19977 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
943, 93grpcl 18764 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
961, 3abvcl 20326 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 20327 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
100193ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
101100simp1d 1143 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 26101 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 11192 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 11739 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
105103, 104, 101recxpcld 26101 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 26101 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 26101 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 11192 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 20332 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
111100simp2d 1144 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 12962 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 26105 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 231 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1145 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ≀ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 26128 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 11320 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
119118oveq1d 7376 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 7394 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6952 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 7379 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 5141 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 20322 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,]cioc 13274  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972  AbsValcabv 20318  β†‘𝑐ccxp 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936
This theorem is referenced by:  ostth2  27008  ostth  27010
  Copyright terms: Public domain W3C validator