Theorem abvcxp 26963

Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvcxp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))

Assertion

Ref	Expression
abvcxp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvcxp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvcxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
7		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
8	1	abvrcl 20280	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 3	abvcl 20283	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	1, 3	abvge0 20284	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
13	12	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
14		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ (0(,]1))
15		0xr 11202	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1re 11155	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		elioc2 13327	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1)))
18	15, 16, 17	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
19	14, 18	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
20	19	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
22	11, 13, 21	recxpcld 26078	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23		abvcxp.f	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))
24	22, 23	fmptd 7062	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	3, 25	ring0cl 19990	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
27	9, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
28		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
29	28	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
30		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
31	29, 23, 30	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
32	27, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
33	1, 25	abv0 20290	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
34	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
35	34	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
36	20	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
37	19	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
38	37	gt0ne0d 11719	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
39	36, 38	0cxpd 26065	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
41	32, 40	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = 0)
42		simp1l 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44	1, 3	abvcl 20283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
45	42, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
46	1, 3, 25	abvgt0 20287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
47	46	3adant1r 1177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
48	45, 47	elrpd 12954	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ+)
49	20	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
50	48, 49	rpcxpcld 26087	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
51	50	rpgt0d 12960	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
52		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
53	52	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
54		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
55	53, 23, 54	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
56	43, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
57	51, 56	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐺‘𝑦))
58		simp1l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
59		simp2l 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
60		simp3l 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
61		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
62	1, 3, 61	abvmul 20288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
63	58, 59, 60, 62	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
64	63	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
65	58, 59, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
66	1, 3	abvge0 20284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
67	58, 59, 66	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
68	1, 3	abvcl 20283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
69	58, 60, 68	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
70	1, 3	abvge0 20284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
71	58, 60, 70	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
72	36	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
73	65, 67, 69, 71, 72	mulcxpd 26083	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
74	64, 73	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
75	9	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
76	3, 61	ringcl 19981	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77	75, 59, 60, 76	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
79	78	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
80		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
81	79, 23, 80	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
82	77, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
83	59, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
84		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
85	84	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
86		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
87	85, 23, 86	fvmpt 6948	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
88	60, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
89	83, 88	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
90	74, 82, 89	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
91		ringgrp 19969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
92	75, 91	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
93		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
94	3, 93	grpcl 18756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
95	92, 59, 60, 94	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
96	1, 3	abvcl 20283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
97	58, 95, 96	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
98	1, 3	abvge0 20284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
99	58, 95, 98	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
100	19	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
101	100	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
102	97, 99, 101	recxpcld 26078	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
103	65, 69	readdcld 11184	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
104	65, 69, 67, 71	addge0d 11731	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
105	103, 104, 101	recxpcld 26078	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
106	65, 67, 101	recxpcld 26078	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
107	69, 71, 101	recxpcld 26078	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
109	1, 3, 93	abvtri 20289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
110	58, 59, 60, 109	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
111	100	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 < 𝑆)
112	101, 111	elrpd 12954	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
113	97, 99, 103, 104, 112	cxple2d 26082	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆)))
114	110, 113	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
115	100	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
116	65, 67, 69, 71, 112, 115	cxpaddle 26105	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
117	102, 105, 108, 114, 116	letrd 11312	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
118		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
119	118	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
120		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121	119, 23, 120	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
122	95, 121	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
123	83, 88	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
124	117, 122, 123	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
125	2, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124	isabvd 20279	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  (,]cioc 13265  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  AbsValcabv 20275  ↑_𝑐ccxp 25911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-abv 20276  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913

This theorem is referenced by:  ostth2  26985  ostth  26987