Theorem abvcxp 27924

Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvcxp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))

Assertion

Ref	Expression
abvcxp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvcxp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvcxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2762	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		eqidd 2762	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
7		eqidd 2762	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
8	1	abvrcl 21050	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 3	abvcl 21053	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	1, 3	abvge0 21054	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
13	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
14		0xr 11337	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		1re 11289	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		elioc2 13521	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1)))
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
18	17	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
19	18	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
21	11, 13, 20	recxpcld 27033	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
22		abvcxp.f	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))
23	21, 22	fmptd 7106	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	3, 24	ring0cl 20476	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
26	9, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
27		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	27	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
29		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
30	28, 22, 29	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
31	26, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
32	1, 24	abv0 21060	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
34	33	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
35	19	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
36	18	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
37	36	gt0ne0d 11861	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
38	35, 37	0cxpd 27020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
39	34, 38	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
40	31, 39	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = 0)
41		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43	1, 3	abvcl 21053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
45	1, 3, 24	abvgt0 21057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
46	45	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
47	44, 46	elrpd 13142	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ+)
48	19	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
49	47, 48	rpcxpcld 27043	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
50	49	rpgt0d 13148	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
51		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
52	51	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
53		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
54	52, 22, 53	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
55	42, 54	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
56	50, 55	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐺‘𝑦))
57		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
58		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
59		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
60		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
61	1, 3, 60	abvmul 21058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
63	62	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
64	57, 58, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	1, 3	abvge0 21054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
66	57, 58, 65	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
67	1, 3	abvcl 21053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
68	57, 59, 67	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
69	1, 3	abvge0 21054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
70	57, 59, 69	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
71	35	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
72	64, 66, 68, 70, 71	mulcxpd 27038	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
73	63, 72	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
74	9	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
75	3, 60	ringcl 20457	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
76	74, 58, 59, 75	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
78	77	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
79		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
80	78, 22, 79	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
81	76, 80	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
82	58, 54	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
83		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
84	83	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
85		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
86	84, 22, 85	fvmpt 6985	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
87	59, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
88	82, 87	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
89	73, 81, 88	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
90		ringgrp 20444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
91	74, 90	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
92		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
93	3, 92	grpcl 19132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
94	91, 58, 59, 93	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
95	1, 3	abvcl 21053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
96	57, 94, 95	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
97	1, 3	abvge0 21054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
98	57, 94, 97	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
99	18	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
100	99	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
101	96, 98, 100	recxpcld 27033	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
102	64, 68	readdcld 11319	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
103	64, 68, 66, 70	addge0d 11873	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
104	102, 103, 100	recxpcld 27033	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
105	64, 66, 100	recxpcld 27033	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
106	68, 70, 100	recxpcld 27033	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
107	105, 106	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
108	1, 3, 92	abvtri 21059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
109	57, 58, 59, 108	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
110	99	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 < 𝑆)
111	100, 110	elrpd 13142	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
112	96, 98, 102, 103, 111	cxple2d 27037	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆)))
113	109, 112	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
114	99	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
115	64, 66, 68, 70, 111, 114	cxpaddle 27062	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
116	101, 104, 107, 113, 115	letrd 11448	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
117		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
118	117	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
119		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
120	118, 22, 119	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
121	94, 120	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
122	82, 87	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
123	116, 121, 122	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
124	2, 4, 5, 6, 7, 9, 23, 40, 56, 89, 123	isabvd 21049	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,]cioc 13458  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  Ringcrg 20439  AbsValcabv 21045  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-abv 21046  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by:  ostth2  27946  ostth  27948