MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvcxp 27489
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvcxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvcxp.f 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvcxp.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2725 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 eqidd 2725 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…))
7 eqidd 2725 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
81abvrcl 20660 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 20663 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110adantlr 712 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 20664 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1312adantlr 712 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 11213 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 13388 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1)))
1815, 16, 17mp2an 689 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
1914, 18sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
2019simp1d 1139 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 26598 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 7106 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„)
25 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
263, 25ring0cl 20162 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
28 fveq2 6882 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)))
2928oveq1d 7417 . . . . 5 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
30 ovex 7435 . . . . 5 ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6989 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 20670 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3534oveq1d 7417 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 11241 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
3719simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 11777 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 β‰  0)
3936, 380cxpd 26585 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2764 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2764 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
42 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
43 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
441, 3abvcl 20663 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 20667 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
47463adant1r 1174 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
4845, 47elrpd 13014 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 26608 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 13020 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6882 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5352oveq1d 7417 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 7435 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6989 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 5167 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΊβ€˜π‘¦))
58 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
59 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
60 simp3l 1198 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
61 eqid 2724 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
621, 3, 61abvmul 20668 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6463oveq1d 7417 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 20664 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6758, 59, 66syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
681, 3abvcl 20663 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 20664 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
7158, 60, 70syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
72363ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 26603 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2764 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 20151 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 fveq2 6882 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7978oveq1d 7417 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 7435 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6989 . . . 4 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6882 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
8584oveq1d 7417 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
86 ovex 7435 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6989 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 7420 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2774 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
91 ringgrp 20139 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
943, 93grpcl 18867 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
961, 3abvcl 20663 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 20664 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
100193ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
101100simp1d 1139 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 26598 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 11242 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 11789 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
105103, 104, 101recxpcld 26598 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 26598 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 26598 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 11242 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 20669 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
111100simp2d 1140 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 13014 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 26602 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 231 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1141 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ≀ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 26628 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 11370 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6882 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
119118oveq1d 7417 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 7435 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6989 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 7420 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 5171 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 20659 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,]cioc 13326  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  Ringcrg 20134  AbsValcabv 20655  β†‘𝑐ccxp 26430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-abv 20656  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740  df-log 26431  df-cxp 26432
This theorem is referenced by:  ostth2  27511  ostth  27513
  Copyright terms: Public domain W3C validator