Theorem abvcxp 26185

Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvcxp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))

Assertion

Ref	Expression
abvcxp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvcxp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvcxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2822	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		eqidd 2822	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
7		eqidd 2822	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
8	1	abvrcl 19586	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 3	abvcl 19589	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	1, 3	abvge0 19590	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
13	12	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
14		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ (0(,]1))
15		0xr 10682	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1re 10635	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		elioc2 12793	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1)))
18	15, 16, 17	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
19	14, 18	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
20	19	simp1d 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
21	20	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
22	11, 13, 21	recxpcld 25300	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23		abvcxp.f	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))
24	22, 23	fmptd 6872	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
25		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	3, 25	ring0cl 19313	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
27	9, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
28		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
29	28	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
30		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
31	29, 23, 30	fvmpt 6762	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
32	27, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
33	1, 25	abv0 19596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
34	33	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
35	34	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
36	20	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
37	19	simp2d 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
38	37	gt0ne0d 11198	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
39	36, 38	0cxpd 25287	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
41	32, 40	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = 0)
42		simp1l 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
43		simp2 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44	1, 3	abvcl 19589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
45	42, 43, 44	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
46	1, 3, 25	abvgt0 19593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
47	46	3adant1r 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
48	45, 47	elrpd 12422	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ+)
49	20	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
50	48, 49	rpcxpcld 25309	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
51	50	rpgt0d 12428	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
52		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
53	52	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
54		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
55	53, 23, 54	fvmpt 6762	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
56	43, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
57	51, 56	breqtrrd 5086	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐺‘𝑦))
58		simp1l 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
59		simp2l 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
60		simp3l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
61		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
62	1, 3, 61	abvmul 19594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
63	58, 59, 60, 62	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
64	63	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
65	58, 59, 44	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
66	1, 3	abvge0 19590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
67	58, 59, 66	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
68	1, 3	abvcl 19589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
69	58, 60, 68	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
70	1, 3	abvge0 19590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
71	58, 60, 70	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
72	36	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
73	65, 67, 69, 71, 72	mulcxpd 25305	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
74	64, 73	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
75	9	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
76	3, 61	ringcl 19305	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77	75, 59, 60, 76	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
79	78	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
80		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
81	79, 23, 80	fvmpt 6762	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
82	77, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
83	59, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
84		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
85	84	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
86		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
87	85, 23, 86	fvmpt 6762	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
88	60, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
89	83, 88	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
90	74, 82, 89	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
91		ringgrp 19296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
92	75, 91	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
93		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
94	3, 93	grpcl 18105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
95	92, 59, 60, 94	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
96	1, 3	abvcl 19589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
97	58, 95, 96	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
98	1, 3	abvge0 19590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
99	58, 95, 98	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
100	19	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
101	100	simp1d 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
102	97, 99, 101	recxpcld 25300	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
103	65, 69	readdcld 10664	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
104	65, 69, 67, 71	addge0d 11210	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
105	103, 104, 101	recxpcld 25300	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
106	65, 67, 101	recxpcld 25300	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
107	69, 71, 101	recxpcld 25300	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108	106, 107	readdcld 10664	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
109	1, 3, 93	abvtri 19595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
110	58, 59, 60, 109	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
111	100	simp2d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 < 𝑆)
112	101, 111	elrpd 12422	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
113	97, 99, 103, 104, 112	cxple2d 25304	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆)))
114	110, 113	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
115	100	simp3d 1140	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
116	65, 67, 69, 71, 112, 115	cxpaddle 25327	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
117	102, 105, 108, 114, 116	letrd 10791	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
118		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
119	118	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
120		ovex 7183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121	119, 23, 120	fvmpt 6762	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
122	95, 121	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
123	83, 88	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
124	117, 122, 123	3brtr4d 5090	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
125	2, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124	isabvd 19585	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,]cioc 12733  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097  Ringcrg 19291  AbsValcabv 19581  ↑_𝑐ccxp 25133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ring 19293  df-abv 19582  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135

This theorem is referenced by:  ostth2  26207  ostth  26209