MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvcxp 27115
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvcxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvcxp.f 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvcxp.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2733 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 eqidd 2733 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…))
7 eqidd 2733 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
81abvrcl 20428 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 20431 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110adantlr 713 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 20432 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1312adantlr 713 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 11213 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 13386 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1)))
1815, 16, 17mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
1914, 18sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
2019simp1d 1142 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 26230 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 7113 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„)
25 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
263, 25ring0cl 20083 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
28 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)))
2928oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
30 ovex 7441 . . . . 5 ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6998 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 20438 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3534oveq1d 7423 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 11241 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
3719simp2d 1143 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 11777 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 β‰  0)
3936, 380cxpd 26217 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2772 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2772 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
42 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
43 simp2 1137 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
441, 3abvcl 20431 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 20435 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
47463adant1r 1177 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
4845, 47elrpd 13012 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 26239 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 13018 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5352oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 7441 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6998 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 5176 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΊβ€˜π‘¦))
58 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
59 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
60 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
61 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
621, 3, 61abvmul 20436 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6463oveq1d 7423 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 20432 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6758, 59, 66syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
681, 3abvcl 20431 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 20432 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
7158, 60, 70syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
72363ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 26235 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2772 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 20072 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7978oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 7441 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6998 . . . 4 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
8584oveq1d 7423 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
86 ovex 7441 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 7426 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2782 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
91 ringgrp 20060 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
943, 93grpcl 18826 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
961, 3abvcl 20431 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 20432 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
100193ad2ant1 1133 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
101100simp1d 1142 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 26230 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 11242 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 11789 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
105103, 104, 101recxpcld 26230 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 26230 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 26230 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 11242 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 20437 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
111100simp2d 1143 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 13012 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 26234 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 231 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1144 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ≀ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 26257 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 11370 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
119118oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 7441 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6998 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 7426 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 5180 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 20427 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,]cioc 13324  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  Ringcrg 20055  AbsValcabv 20423  β†‘𝑐ccxp 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-abv 20424  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065
This theorem is referenced by:  ostth2  27137  ostth  27139
  Copyright terms: Public domain W3C validator