Theorem abvcxp 27947

Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvcxp.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))

Assertion

Ref	Expression
abvcxp	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvcxp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3		abvcxp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2761	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		eqidd 2761	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
7		eqidd 2761	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
8	1	abvrcl 21075	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 3	abvcl 21078	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	1, 3	abvge0 21079	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
13	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
14		0xr 11359	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		1re 11311	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		elioc2 13543	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1)))
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
18	17	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
19	18	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
21	11, 13, 20	recxpcld 27056	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
22		abvcxp.f	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆))
23	21, 22	fmptd 7114	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	3, 24	ring0cl 20501	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
26	9, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
27		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	27	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
29		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
30	28, 22, 29	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
31	26, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆))
32	1, 24	abv0 21085	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
34	33	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
35	19	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
36	18	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
37	36	gt0ne0d 11883	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
38	35, 37	0cxpd 27043	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
39	34, 38	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g‘𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
40	31, 39	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = 0)
41		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
43	1, 3	abvcl 21078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
45	1, 3, 24	abvgt0 21082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
46	45	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑦))
47	44, 46	elrpd 13164	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ+)
48	19	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
49	47, 48	rpcxpcld 27066	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
50	49	rpgt0d 13170	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
51		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
52	51	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
53		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
54	52, 22, 53	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
55	42, 54	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
56	50, 55	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐺‘𝑦))
57		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
58		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
59		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
60		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
61	1, 3, 60	abvmul 21083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
62	57, 58, 59, 61	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧)))
63	62	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
64	57, 58, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
65	1, 3	abvge0 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
66	57, 58, 65	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
67	1, 3	abvcl 21078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
68	57, 59, 67	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
69	1, 3	abvge0 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
70	57, 59, 69	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑧))
71	35	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
72	64, 66, 68, 70, 71	mulcxpd 27061	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) · (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
73	63, 72	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
74	9	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
75	3, 60	ringcl 20482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
76	74, 58, 59, 75	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
77		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
78	77	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
79		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
80	78, 22, 79	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
81	76, 80	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
82	58, 54	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆))
83		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
84	83	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
85		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
86	84, 22, 85	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
87	59, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆))
88	82, 87	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
89	73, 81, 88	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐺‘𝑦) · (𝐺‘𝑧)))
90		ringgrp 20469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
91	74, 90	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
92		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
93	3, 92	grpcl 19157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
94	91, 58, 59, 93	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
95	1, 3	abvcl 21078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
96	57, 94, 95	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
97	1, 3	abvge0 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
98	57, 94, 97	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
99	18	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1))
100	99	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
101	96, 98, 100	recxpcld 27056	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
102	64, 68	readdcld 11341	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
103	64, 68, 66, 70	addge0d 11895	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
104	102, 103, 100	recxpcld 27056	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
105	64, 66, 100	recxpcld 27056	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
106	68, 70, 100	recxpcld 27056	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
107	105, 106	readdcld 11341	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
108	1, 3, 92	abvtri 21084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
109	57, 58, 59, 108	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)))
110	99	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 0 < 𝑆)
111	100, 110	elrpd 13164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
112	96, 98, 102, 103, 111	cxple2d 27060	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆)))
113	109, 112	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆))
114	99	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
115	64, 66, 68, 70, 111, 114	cxpaddle 27085	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑦) + (𝐹‘𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
116	101, 104, 107, 113, 115	letrd 11470	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
117		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
118	117	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → ((𝐹‘𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
119		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
120	118, 22, 119	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
121	94, 120	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
122	82, 87	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹‘𝑧)↑𝑐𝑆)))
123	116, 121, 122	3brtr4d 5136	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺‘𝑦) + (𝐺‘𝑧)))
124	2, 4, 5, 6, 7, 9, 23, 40, 56, 89, 123	isabvd 21074	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  (,]cioc 13480  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  0_gc0g 17615  Grpcgrp 19149  Ringcrg 20464  AbsValcabv 21070  ↑_𝑐ccxp 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-abv 21071  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890

This theorem is used by:  ostth2  27969  ostth  27971