MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvcxp 25893
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvcxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2780 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 eqidd 2780 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r𝑅) = (.r𝑅))
7 eqidd 2780 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
81abvrcl 19314 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
98adantr 473 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 19317 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110adantlr 702 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 19318 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
1312adantlr 702 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
14 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 10487 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 10439 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 12615 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1)))
1815, 16, 17mp2an 679 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
1914, 18sylib 210 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
2019simp1d 1122 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 473 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 25007 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 6701 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
25 eqid 2779 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
263, 25ring0cl 19042 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
28 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2928oveq1d 6991 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
30 ovex 7008 . . . . 5 ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6595 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 19324 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3433adantr 473 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3534oveq1d 6991 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 10468 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
3719simp2d 1123 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 11005 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
3936, 380cxpd 24994 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2815 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2815 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = 0)
42 simp1l 1177 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
43 simp2 1117 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑦𝐵)
441, 3abvcl 19317 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 19321 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
47463adant1r 1157 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
4845, 47elrpd 12245 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1113 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 25016 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 12251 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5352oveq1d 6991 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 7008 . . . . 5 ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6595 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 4957 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐺𝑦))
58 simp1l 1177 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
59 simp2l 1179 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐵)
60 simp3l 1181 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑧𝐵)
61 eqid 2779 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
621, 3, 61abvmul 19322 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6463oveq1d 6991 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 19318 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
6758, 59, 66syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
681, 3abvcl 19317 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 19318 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
7158, 60, 70syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
72363ad2ant1 1113 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 25012 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2815 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1113 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 19034 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1351 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
7978oveq1d 6991 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 7008 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6595 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6499 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
8584oveq1d 6991 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
86 ovex 7008 . . . . . 6 ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6595 . . . . 5 (𝑧𝐵 → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 6994 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2825 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
91 ringgrp 19025 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2779 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
943, 93grpcl 17899 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
961, 3abvcl 19317 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 19318 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
100193ad2ant1 1113 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
101100simp1d 1122 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 25007 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 10469 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 11017 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
105103, 104, 101recxpcld 25007 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 25007 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 25007 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 10469 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 19323 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
111100simp2d 1123 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 12245 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 25011 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 224 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1124 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 25034 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 10597 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
119118oveq1d 6991 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 7008 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6595 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 6994 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 4961 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 19313 1 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968   class class class wbr 4929  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  (,]cioc 12555  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  .rcmulr 16422  0gc0g 16569  Grpcgrp 17891  Ringcrg 19020  AbsValcabv 19309  𝑐ccxp 24840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-ring 19022  df-abv 19310  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841  df-cxp 24842
This theorem is referenced by:  ostth2  25915  ostth  25917
  Copyright terms: Public domain W3C validator