MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvcxp 27561
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvcxp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvcxp.f 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
21a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…))
3 abvcxp.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 eqidd 2729 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
6 eqidd 2729 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…))
7 eqidd 2729 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
81abvrcl 20701 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 20704 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 20705 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1312adantlr 714 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 11292 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 11245 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 13420 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1)))
1815, 16, 17mp2an 691 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
1914, 18sylib 217 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
2019simp1d 1140 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 26670 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 7124 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„)
25 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
263, 25ring0cl 20203 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
28 fveq2 6897 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)))
2928oveq1d 7435 . . . . 5 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
30 ovex 7453 . . . . 5 ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 7005 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 20711 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
3534oveq1d 7435 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 11273 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
3719simp2d 1141 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 11809 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑆 β‰  0)
3936, 380cxpd 26657 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2768 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘…))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2768 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘…)) = 0)
42 simp1l 1195 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
43 simp2 1135 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
441, 3abvcl 20704 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 20708 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
47463adant1r 1175 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘¦))
4845, 47elrpd 13046 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1131 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 26680 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 13052 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6897 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5352oveq1d 7435 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 7453 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 7005 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 5176 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 0 < (πΊβ€˜π‘¦))
58 simp1l 1195 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
59 simp2l 1197 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
60 simp3l 1199 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
61 eqid 2728 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
621, 3, 61abvmul 20709 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
6463oveq1d 7435 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 20705 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6758, 59, 66syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
681, 3abvcl 20704 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 20705 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
7158, 60, 70syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘§))
72363ad2ant1 1131 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 26675 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) Β· (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2768 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1131 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 20190 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
78 fveq2 6897 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)))
7978oveq1d 7435 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 7453 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 7005 . . . 4 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6897 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
8584oveq1d 7435 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
86 ovex 7453 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 7005 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 7438 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) Β· ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2778 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
91 ringgrp 20178 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
943, 93grpcl 18898 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡)
961, 3abvcl 20704 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 20705 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
100193ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆 ∧ 𝑆 ≀ 1))
101100simp1d 1140 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 26670 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 11274 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 11821 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
105103, 104, 101recxpcld 26670 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 26670 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 26670 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 11274 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 20710 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)))
111100simp2d 1141 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 13046 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 26674 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§)) ↔ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 231 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1142 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑆 ≀ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 26700 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) + (πΉβ€˜π‘§))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 11402 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ≀ (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6897 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)))
119118oveq1d 7435 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑𝑐𝑆) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 7453 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 7005 . . . 4 ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 7438 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑆) + ((πΉβ€˜π‘§)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 5180 . 2 (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) ≀ ((πΊβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘§)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 20700 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (0(,]1)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  (,]cioc 13358  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  Ringcrg 20173  AbsValcabv 20696  β†‘𝑐ccxp 26502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-abv 20697  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504
This theorem is referenced by:  ostth2  27583  ostth  27585
  Copyright terms: Public domain W3C validator