Theorem 0met 24488

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Proof of Theorem 0met

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5269	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		f0 6757	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
3		xp0 5759	. . . 4 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
4	3	feq2i 6695	. . 3 ⊢ (∅:(∅ × ∅)⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
5	2, 4	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅:(∅ × ∅)⟶ℝ
6		noel 4299	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	pm2.21i 120	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8	7	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9	6	pm2.21i 120	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
10	9	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
11	1, 5, 8, 10	ismeti 24447	1 ⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294   class class class wbr 5110   × cxp 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096   + caddc 11099   ≤ cle 11240  Metcmet 21473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8822  df-met 21481

This theorem is referenced by: (None)