Theorem 0met 24276

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Proof of Theorem 0met

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5240	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		f0 6699	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
3		xp0 6100	. . . 4 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
4	3	feq2i 6638	. . 3 ⊢ (∅:(∅ × ∅)⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
5	2, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:(∅ × ∅)⟶ℝ
6		noel 4283	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9	6	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
10	9	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
11	1, 5, 8, 10	ismeti 24235	1 ⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4278   class class class wbr 5086   × cxp 5609  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   ≤ cle 11142  Metcmet 21272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-map 8747  df-met 21280

This theorem is referenced by: (None)