Theorem 0met 24341

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Proof of Theorem 0met

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5242	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		f0 6715	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
3		xp0 5724	. . . 4 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
4	3	feq2i 6654	. . 3 ⊢ (∅:(∅ × ∅)⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
5	2, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅:(∅ × ∅)⟶ℝ
6		noel 4279	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9	6	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
10	9	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
11	1, 5, 8, 10	ismeti 24300	1 ⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   ≤ cle 11171  Metcmet 21330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-met 21338

This theorem is referenced by: (None)