Theorem 0met 23073

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Proof of Theorem 0met

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5180	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		f0 6549	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
3		xp0 5991	. . . 4 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
4	3	feq2i 6494	. . 3 ⊢ (∅:(∅ × ∅)⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
5	2, 4	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅:(∅ × ∅)⟶ℝ
6		noel 4232	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8	7	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9	6	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
10	9	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
11	1, 5, 8, 10	ismeti 23032	1 ⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4227   class class class wbr 5035   × cxp 5525  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  0cc0 10580   + caddc 10583   ≤ cle 10719  Metcmet 20157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-map 8423  df-met 20165

This theorem is referenced by: (None)