Theorem metres 24739

Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Proof of Theorem metres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24704	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fdm 6749	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3		metreslem 24736	. . 3 ⊢ (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
5		inss1 4136	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋
6		metres2 24737	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
7	5, 6	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
8	4, 7	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   × cxp 5656  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  Metcmet 21715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-xadd 13282  df-xmet 21722  df-met 21723

This theorem is used by:  ressms  24900