Theorem metres 24385

Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Proof of Theorem metres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24350	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fdm 6741	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3		metreslem 24382	. . 3 ⊢ (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
5		inss1 4240	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋
6		metres2 24383	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
7	5, 6	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
8	4, 7	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ∩ cin 3958   ⊆ wss 3959   × cxp 5684  dom cdm 5686   ↾ cres 5688  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  ℝcr 11164  Metcmet 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-mulcl 11227  ax-i2m1 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8742  df-map 8865  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-xadd 13157  df-xmet 21358  df-met 21359

This theorem is referenced by:  ressms  24549