Theorem metres 24253

Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Proof of Theorem metres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24218	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fdm 6697	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3		metreslem 24250	. . 3 ⊢ (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
5		inss1 4200	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋
6		metres2 24251	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
7	5, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
8	4, 7	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   × cxp 5636  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  Metcmet 21250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-xadd 13073  df-xmet 21257  df-met 21258

This theorem is referenced by:  ressms  24414