MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metres 24376
Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))

Proof of Theorem metres
StepHypRef Expression
1 metf 24341 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2 fdm 6744 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3 metreslem 24373 . . 3 (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
5 inss1 4236 . . 3 (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋
6 metres2 24374 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))
75, 6mpan2 691 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))
84, 7eqeltrd 2840 1 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  cin 3949  wss 3950   × cxp 5682  dom cdm 5684  cres 5686  wf 6556  cfv 6560  cr 11155  Metcmet 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-mulcl 11218  ax-i2m1 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-xadd 13156  df-xmet 21358  df-met 21359
This theorem is referenced by:  ressms  24540
  Copyright terms: Public domain W3C validator