MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsf 23642
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsdsf (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
32elexd 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
43ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
6 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
76nfel1 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
8 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
98eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
107, 9rspc 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
115, 10mpan9 507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
1312fvmpts 6946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦) = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
141, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦) = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
1514fveq2d 6841 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦)) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
1615oveqd 7366 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
17 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
18 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
19 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
21 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
23 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
24 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
2517, 18, 20, 22, 5, 23, 24prdsbascl 17299 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
26 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
2726nfel2 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
28 fveq2 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘¦))
29 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
3028, 29eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3127, 30rspc 3567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3225, 31mpan9 507 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
3417, 18, 20, 22, 5, 23, 33prdsbascl 17299 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
3526nfel2 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
36 fveq2 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘¦))
3736, 29eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3835, 37rspc 3567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3934, 38mpan9 507 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
4032, 39ovresd 7513 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
4116, 40eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)))
42 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
4342ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
45 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯dist
4645, 6nffv 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
4726, 26nfxp 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
4846, 47nfres 5935 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
49 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯∞Met
5049, 26nffv 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)
5148, 50nfel 2919 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)
52 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
538fveq2d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
5429sqxpeqd 5662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
5553, 54reseq12d 5934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5652, 55eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5729fveq2d 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰))
5856, 57eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5951, 58rspc 3567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
6044, 59mpan9 507 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰))
61 xmetcl 23606 . . . . . . . . . . 11 ((((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ ∧ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6260, 32, 39, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6341, 62eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6463fmpttd 7057 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))):πΌβŸΆβ„*)
6564frnd 6671 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βŠ† ℝ*)
66 0xr 11135 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6867snssd 4767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ*)
6965, 68unssd 4144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
70 supxrcl 13162 . . . . . 6 ((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7169, 70syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72 ssun2 4131 . . . . . . 7 {0} βŠ† (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})
73 c0ex 11082 . . . . . . . 8 0 ∈ V
7473snss 4744 . . . . . . 7 (0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}))
7572, 74mpbir 230 . . . . . 6 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})
76 supxrub 13171 . . . . . 6 (((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})) β†’ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
7769, 75, 76sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
78 elxrge0 13302 . . . . 5 (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )))
7971, 77, 78sylanbrc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
8079ralrimivva 3195 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
81 eqid 2737 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
8281fmpo 7988 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
8380, 82sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
8421mptexd 7168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
852ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
86 dmmptg 6190 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8785, 86syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
88 prdsdsf.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
8917, 19, 84, 18, 87, 88prdsds 17280 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )))
9089feq1d 6648 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞)))
9183, 90mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443  β¦‹csb 3853   βˆͺ cun 3906   βŠ† wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5628  dom cdm 5630  ran crn 5631   β†Ύ cres 5632  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  supcsup 9309  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  Basecbs 17017  distcds 17076  Xscprds 17261  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-icc 13199  df-fz 13353  df-struct 16953  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-hom 17091  df-cco 17092  df-prds 17263  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  23643  prdsmet  23645
  Copyright terms: Public domain W3C validator