MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsf 24223
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsdsf (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
32elexd 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
43ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
6 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
76nfel1 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
8 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
98eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
107, 9rspc 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
115, 10mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
1312fvmpts 6994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦) = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
141, 11, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦) = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
1514fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦)) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
1615oveqd 7421 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
17 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
18 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
19 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
21 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
23 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
24 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
2517, 18, 20, 22, 5, 23, 24prdsbascl 17435 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
26 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
2726nfel2 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
28 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘¦))
29 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
3028, 29eleq12d 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3127, 30rspc 3594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3225, 31mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
33 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
3417, 18, 20, 22, 5, 23, 33prdsbascl 17435 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
3526nfel2 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
36 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘¦))
3736, 29eleq12d 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3835, 37rspc 3594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3934, 38mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
4032, 39ovresd 7570 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
4116, 40eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)))
42 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
4342ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
45 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯dist
4645, 6nffv 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
4726, 26nfxp 5702 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
4846, 47nfres 5976 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
49 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯∞Met
5049, 26nffv 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)
5148, 50nfel 2911 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)
52 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
538fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
5429sqxpeqd 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
5553, 54reseq12d 5975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5652, 55eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5729fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰))
5856, 57eleq12d 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5951, 58rspc 3594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
6044, 59mpan9 506 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰))
61 xmetcl 24187 . . . . . . . . . . 11 ((((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ ∧ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6260, 32, 39, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6341, 62eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6463fmpttd 7109 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))):πΌβŸΆβ„*)
6564frnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βŠ† ℝ*)
66 0xr 11262 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6867snssd 4807 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ*)
6965, 68unssd 4181 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
70 supxrcl 13297 . . . . . 6 ((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7169, 70syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72 ssun2 4168 . . . . . . 7 {0} βŠ† (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})
73 c0ex 11209 . . . . . . . 8 0 ∈ V
7473snss 4784 . . . . . . 7 (0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}))
7572, 74mpbir 230 . . . . . 6 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})
76 supxrub 13306 . . . . . 6 (((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})) β†’ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
7769, 75, 76sylancl 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
78 elxrge0 13437 . . . . 5 (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )))
7971, 77, 78sylanbrc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
8079ralrimivva 3194 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
81 eqid 2726 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
8281fmpo 8050 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
8380, 82sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
8421mptexd 7220 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
852ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
86 dmmptg 6234 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8785, 86syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
88 prdsdsf.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
8917, 19, 84, 18, 87, 88prdsds 17416 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )))
9089feq1d 6695 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞)))
9183, 90mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  supcsup 9434  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  [,]cicc 13330  Basecbs 17150  distcds 17212  Xscprds 17397  βˆžMetcxmet 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-icc 13334  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-prds 17399  df-xmet 21228
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  24224  prdsmet  24226
  Copyright terms: Public domain W3C validator