Theorem prdsdsf 23520

Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsdsf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsdsf	⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsf

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
2		prdsdsf.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
3	2	elexd 3452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
4	3	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
6		nfcsb1v 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅
7	6	nfel1 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V
8		csbeq1a 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
9	8	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
10	7, 9	rspc 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
11	5, 10	mpan9 507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
13	12	fvmpts 6878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
14	1, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
15	14	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
16	15	oveqd 7292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑦)(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)(𝑔‘𝑦)))
17		prdsdsf.y	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
18		prdsdsf.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
19		prdsdsf.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
21		prdsdsf.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
23		prdsdsf.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
24		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
25	17, 18, 20, 22, 5, 23, 24	prdsbascl 17194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
26		nfcsb1v 3857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉
27	26	nfel2 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉
28		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
29		csbeq1a 3846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑉 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
30	28, 29	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
31	27, 30	rspc 3549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 → (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
32	25, 31	mpan9 507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
33		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
34	17, 18, 20, 22, 5, 23, 33	prdsbascl 17194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
35	26	nfel2 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉
36		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑦))
37	36, 29	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉 ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
38	35, 37	rspc 3549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉 → (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
39	34, 38	mpan9 507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
40	32, 39	ovresd 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑦)(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)(𝑔‘𝑦)))
41	16, 40	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)))
42		prdsdsf.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
43	42	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
45		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥dist
46	45, 6	nffv 6784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
47	26, 26	nfxp 5622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
48	46, 47	nfres 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
49		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∞Met
50	49, 26	nffv 6784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
51	48, 50	nfel 2921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
52		prdsdsf.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
53	8	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
54	29	sqxpeqd 5621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
55	53, 54	reseq12d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
56	52, 55	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐸 = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
57	29	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
58	56, 57	eleq12d 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
59	51, 58	rspc 3549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
60	44, 59	mpan9 507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
61		xmetcl 23484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 ∧ (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉) → ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)) ∈ ℝ*)
62	60, 32, 39, 61	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)) ∈ ℝ*)
63	41, 62	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦)) ∈ ℝ*)
64	63	fmpttd 6989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))):𝐼⟶ℝ*)
65	64	frnd 6608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ⊆ ℝ*)
66		0xr 11022	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ*)
68	67	snssd 4742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ*)
69	65, 68	unssd 4120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
70		supxrcl 13049	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72		ssun2 4107	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0})
73		c0ex 10969	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
74	73	snss 4719	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}))
75	72, 74	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0})
76		supxrub 13058	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0})) → 0 ≤ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
77	69, 75, 76	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
78		elxrge0 13189	. . . . 5 ⊢ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
79	71, 77, 78	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ralrimivva 3123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
81		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
82	81	fmpo 7908	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )):(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
83	80, 82	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )):(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
84	21	mptexd 7100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
85	2	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
86		dmmptg 6145	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
87	85, 86	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
88		prdsdsf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
89	17, 19, 84, 18, 87, 88	prdsds 17175	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
90	89	feq1d 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )):(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞)))
91	83, 90	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  ⦋csb 3832   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  supcsup 9199  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082  Basecbs 16912  distcds 16971  X_scprds 17156  ∞Metcxmet 20582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-icc 13086  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-prds 17158  df-xmet 20590

This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  23521  prdsmet  23523