Theorem prdsdsf 24741

Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsdsf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsdsf	⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsf

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
2		prdsdsf.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
3	2	elexd 3477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
4	3	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
6		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅
7	6	nfel1 2942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V
8		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
9	8	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
10	7, 9	rspc 3568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
11	5, 10	mpan9 516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)
12		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
13	12	fvmpts 7028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
14	1, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
15	14	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
16	15	oveqd 7468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑦)(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)(𝑔‘𝑦)))
17		prdsdsf.y	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
18		prdsdsf.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
19		prdsdsf.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
21		prdsdsf.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
23		prdsdsf.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
24		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
25	17, 18, 20, 22, 5, 23, 24	prdsbascl 17704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
26		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉
27	26	nfel2 2944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉
28		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
29		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑉 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
30	28, 29	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
31	27, 30	rspc 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 → (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
32	25, 31	mpan9 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
33		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
34	17, 18, 20, 22, 5, 23, 33	prdsbascl 17704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
35	26	nfel2 2944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉
36		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑦))
37	36, 29	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉 ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
38	35, 37	rspc 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉 → (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
39	34, 38	mpan9 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
40	32, 39	ovresd 7619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑦)(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)(𝑔‘𝑦)))
41	16, 40	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)))
42		prdsdsf.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
43	42	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
45		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥dist
46	45, 6	nffv 6926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
47	26, 26	nfxp 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
48	46, 47	nfres 5988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
49		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∞Met
50	49, 26	nffv 6926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
51	48, 50	nfel 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)
52		prdsdsf.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
53	8	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
54	29	sqxpeqd 5690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
55	53, 54	reseq12d 5987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
56	52, 55	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐸 = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
57	29	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
58	56, 57	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
59	51, 58	rspc 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)))
60	44, 59	mpan9 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))
61		xmetcl 24705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉)) ∈ (∞Met‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 ∧ (𝑔‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉) → ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)) ∈ ℝ*)
62	60, 32, 39, 61	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉 × ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑉))(𝑔‘𝑦)) ∈ ℝ*)
63	41, 62	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦)) ∈ ℝ*)
64	63	fmpttd 7147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))):𝐼⟶ℝ*)
65	64	frnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ⊆ ℝ*)
66		0xr 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ*)
68	67	snssd 4749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ*)
69	65, 68	unssd 4193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
70		supxrcl 13485	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
71	69, 70	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72		ssun2 4180	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0})
73		c0ex 11339	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
74	73	snss 4747	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}))
75	72, 74	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0})
76		supxrub 13494	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0})) → 0 ≤ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
77	69, 75, 76	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
78		elxrge0 13628	. . . . 5 ⊢ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
79	71, 77, 78	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
81		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
82	81	fmpo 8114	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )):(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
83	80, 82	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )):(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
84	21	mptexd 7261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
85	2	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
86		dmmptg 6262	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
87	85, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
88		prdsdsf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
89	17, 19, 84, 18, 87, 88	prdsds 17685	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
90	89	feq1d 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝑔‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < )):(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞)))
91	83, 90	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  dom cdm 5658  ran crn 5659   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  supcsup 9469  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519  Basecbs 17431  distcds 17481  X_scprds 17666  ∞Metcxmet 21714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-icc 13523  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-prds 17668  df-xmet 21722

This theorem is used by:  prdsxmetlem  24742  prdsmet  24744