MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsf 23642
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsdsf (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
32elexd 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
43ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
6 nfcsb1v 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
76nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
8 csbeq1a 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
98eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
107, 9rspc 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
115, 10mpan9 508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
12 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
1312fvmpts 6947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦) = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
141, 11, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦) = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
1514fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦)) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
1615oveqd 7367 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
17 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
18 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
19 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
21 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
23 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
24 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
2517, 18, 20, 22, 5, 23, 24prdsbascl 17300 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
26 nfcsb1v 3879 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
2726nfel2 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
28 fveq2 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘¦))
29 csbeq1a 3868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
3028, 29eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3127, 30rspc 3568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3225, 31mpan9 508 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
33 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
3417, 18, 20, 22, 5, 23, 33prdsbascl 17300 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
3526nfel2 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰
36 fveq2 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘¦))
3736, 29eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3835, 37rspc 3568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
3934, 38mpan9 508 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
4032, 39ovresd 7514 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
4116, 40eqtr4d 2781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)))
42 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
4342ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
45 nfcv 2906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯dist
4645, 6nffv 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
4726, 26nfxp 5664 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)
4846, 47nfres 5936 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
49 nfcv 2906 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯∞Met
5049, 26nffv 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)
5148, 50nfel 2920 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)
52 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
538fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
5429sqxpeqd 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))
5553, 54reseq12d 5935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5652, 55eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5729fveq2d 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰))
5856, 57eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
5951, 58rspc 3568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰)))
6044, 59mpan9 508 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰))
61 xmetcl 23606 . . . . . . . . . . 11 ((((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰)) ∈ (∞Metβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ ∧ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6260, 32, 39, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ (⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰ Γ— ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘‰))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6341, 62eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦)) ∈ ℝ*)
6463fmpttd 7058 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))):πΌβŸΆβ„*)
6564frnd 6672 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βŠ† ℝ*)
66 0xr 11136 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6867snssd 4768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ*)
6965, 68unssd 4145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
70 supxrcl 13163 . . . . . 6 ((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7169, 70syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72 ssun2 4132 . . . . . . 7 {0} βŠ† (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})
73 c0ex 11083 . . . . . . . 8 0 ∈ V
7473snss 4745 . . . . . . 7 (0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}))
7572, 74mpbir 230 . . . . . 6 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})
76 supxrub 13172 . . . . . 6 (((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0})) β†’ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
7769, 75, 76sylancl 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
78 elxrge0 13303 . . . . 5 (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )))
7971, 77, 78sylanbrc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
8079ralrimivva 3196 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
81 eqid 2738 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
8281fmpo 7989 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
8380, 82sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
8421mptexd 7169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) ∈ V)
852ralrimiva 3142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
86 dmmptg 6191 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
8785, 86syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = 𝐼)
88 prdsdsf.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
8917, 19, 84, 18, 87, 88prdsds 17281 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )))
9089feq1d 6649 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)(distβ€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)β€˜π‘¦))(π‘”β€˜π‘¦))) βˆͺ {0}), ℝ*, < )):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞)))
9183, 90mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444  β¦‹csb 3854   βˆͺ cun 3907   βŠ† wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∈ cmpo 7352  supcsup 9310  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  Basecbs 17018  distcds 17077  Xscprds 17262  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-icc 13200  df-fz 13354  df-struct 16954  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-hom 17092  df-cco 17093  df-prds 17264  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  23643  prdsmet  23645
  Copyright terms: Public domain W3C validator