Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opprqusmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprqusmulr 33074
Description: The multiplication operation of the quotient of the opposite ring is the same as the multiplication operation of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
opprqus.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
opprqus.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
opprqus.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
opprqusmulr.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘„)
opprqusmulr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
opprqusmulr.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
opprqusmulr (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘„))π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ))

Proof of Theorem opprqusmulr
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprqusmulr.e . . 3 𝐸 = (Baseβ€˜π‘„)
2 eqid 2724 . . 3 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
3 eqid 2724 . . 3 (opprβ€˜π‘„) = (opprβ€˜π‘„)
4 eqid 2724 . . 3 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘„))
51, 2, 3, 4opprmul 20229 . 2 (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘„))π‘Œ) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘„)𝑋)
6 opprqus.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7 opprqus.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
9 opprqus1r.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
109ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 opprqus1r.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
1211ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
13 simplr 766 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
14 simp-4r 781 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
156, 7, 8, 2, 10, 12, 13, 14qusmul2 21124 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ ([π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)(.rβ€˜π‘„)[𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(π‘ž(.rβ€˜π‘…)𝑝)](𝑅 ~QG 𝐼))
16 simpr 484 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼))
17 simpllr 773 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼))
1816, 17oveq12d 7419 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜π‘„)𝑋) = ([π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)(.rβ€˜π‘„)[𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)))
19 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) = (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))
20 opprqus.o . . . . . . . 8 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
2120, 7opprbas 20233 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚)
22 eqid 2724 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘‚) = (.rβ€˜π‘‚)
23 eqid 2724 . . . . . . 7 (.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))) = (.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))
2420opprring 20239 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ Ring)
259, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Ring)
2625ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝑂 ∈ Ring)
2720, 9oppr2idl 33069 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘‚))
2811, 27eleqtrd 2827 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘‚))
2928ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘‚))
3019, 21, 22, 23, 26, 29, 14, 13qusmul2 21124 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ ([𝑝](𝑂 ~QG 𝐼)(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))[π‘ž](𝑂 ~QG 𝐼)) = [(𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž)](𝑂 ~QG 𝐼))
31112idllidld 21101 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
32 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
337, 32lidlss 21061 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
3520, 7oppreqg 33066 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
369, 34, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
3736ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))
3837eceq2d 8741 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼) = [𝑝](𝑂 ~QG 𝐼))
3917, 38eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ 𝑋 = [𝑝](𝑂 ~QG 𝐼))
4037eceq2d 8741 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼) = [π‘ž](𝑂 ~QG 𝐼))
4116, 40eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ π‘Œ = [π‘ž](𝑂 ~QG 𝐼))
4239, 41oveq12d 7419 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ) = ([𝑝](𝑂 ~QG 𝐼)(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))[π‘ž](𝑂 ~QG 𝐼)))
437, 8, 20, 22opprmul 20229 . . . . . . . . 9 (𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž) = (π‘ž(.rβ€˜π‘…)𝑝)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž) = (π‘ž(.rβ€˜π‘…)𝑝))
4544eceq1d 8738 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ [(𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(π‘ž(.rβ€˜π‘…)𝑝)](𝑅 ~QG 𝐼))
4637eceq2d 8741 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ [(𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž)](𝑂 ~QG 𝐼))
4745, 46eqtr3d 2766 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ [(π‘ž(.rβ€˜π‘…)𝑝)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(𝑝(.rβ€˜π‘‚)π‘ž)](𝑂 ~QG 𝐼))
4830, 42, 473eqtr4d 2774 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ) = [(π‘ž(.rβ€˜π‘…)𝑝)](𝑅 ~QG 𝐼))
4915, 18, 483eqtr4d 2774 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) ∧ π‘ž ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜π‘„)𝑋) = (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ))
50 opprqusmulr.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
513, 1opprbas 20233 . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))
5250, 51eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)))
5352ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)))
546a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
557a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
56 ovexd 7436 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) ∈ V)
5754, 55, 56, 9qusbas 17490 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)) = (Baseβ€˜π‘„))
581, 51eqtr3i 2754 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))
5957, 58eqtr2di 2781 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)))
6059ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)))
6153, 60eleqtrd 2827 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)))
62 elqsi 8760 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐡 π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼))
6361, 62syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐡 π‘Œ = [π‘ž](𝑅 ~QG 𝐼))
6449, 63r19.29a 3154 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜π‘„)𝑋) = (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ))
65 opprqusmulr.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
6665, 51eleqtrdi 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)))
6766, 59eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)))
68 elqsi 8760 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐡 / (𝑅 ~QG 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼))
6967, 68syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑋 = [𝑝](𝑅 ~QG 𝐼))
7064, 69r19.29a 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(.rβ€˜π‘„)𝑋) = (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ))
715, 70eqtrid 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜(opprβ€˜π‘„))π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   /s cqus 17450   ~QG cqg 19039  Ringcrg 20128  opprcoppr 20225  LIdealclidl 21055  2Idealc2idl 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-eqg 19042  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-lidl 21057  df-2idl 21097
This theorem is referenced by:  opprqus1r  33075  opprqusdrng  33076  qsdrngi  33078
  Copyright terms: Public domain W3C validator