Theorem df2idl2 21334

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
df2idl2rng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
df2idl2rng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
df2idl2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem df2idl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2idl2rng.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3	2	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4	3	2idllidld 21331	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
6	5	lidlsubg 21300	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7	4, 6	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
8		ringrng 20345	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
9		df2idl2rng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		df2idl2rng.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 9, 10	df2idl2rng 21333	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
12	8, 11	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
13	7, 12	biadanid 832	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  ._rcmulr 17297  SubGrpcsubg 19172  Rngcrng 20208  Ringcrg 20293  LIdealclidl 21283  2Idealc2idl 21326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-oppr 20396  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-sra 21247  df-rgmod 21248  df-lidl 21285  df-2idl 21327

This theorem is referenced by: (None)