Theorem opprqus1r 33575

Description: The ring unity of the quotient of the opposite ring is the same as the ring unity of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opprqus1r	⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqus1r

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(oppr‘𝑄))
2		fvexd 6850	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑄) ∈ V)
3		ovexd 7395	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) ∈ V)
4		opprqus.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		opprqus.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		opprqus.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7		opprqus1r.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		opprqus1r.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	4, 10	lidlss 21171	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	4, 5, 6, 7, 12	opprqusbas 33571	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
14	7	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	8	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
19	18, 16	opprbas 20283	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
20	17, 19	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
23	22, 19	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
24	23	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
25	4, 5, 6, 14, 15, 16, 21, 24	opprqusmulr 33574	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑄))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))𝑦))
26	1, 2, 3, 13, 25	urpropd 33315	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   /_s cqus 17430   ~_QG cqg 19056  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  opp_rcoppr 20276  LIdealclidl 21165  2Idealc2idl 21208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-0g 17365  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-eqg 19059  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-2idl 21209

This theorem is referenced by:  opprqusdrng  33576  qsdrngi  33578