Theorem opprqus1r 33500

Description: The ring unity of the quotient of the opposite ring is the same as the ring unity of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opprqus1r	⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqus1r

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(oppr‘𝑄))
2		fvexd 6922	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑄) ∈ V)
3		ovexd 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) ∈ V)
4		opprqus.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		opprqus.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		opprqus.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7		opprqus1r.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		opprqus1r.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	4, 10	lidlss 21240	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	4, 5, 6, 7, 12	opprqusbas 33496	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
14	7	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	8	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
18		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
19	18, 16	opprbas 20358	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
20	17, 19	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
23	22, 19	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
24	23	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
25	4, 5, 6, 14, 15, 16, 21, 24	opprqusmulr 33499	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑄))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))𝑦))
26	1, 2, 3, 13, 25	urpropd 33222	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   /_s cqus 17552   ~_QG cqg 19153  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  opp_rcoppr 20350  LIdealclidl 21234  2Idealc2idl 21277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278

This theorem is referenced by:  opprqusdrng  33501  qsdrngi  33503