Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opprqus1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprqus1r 33041
Description: The ring unity of the quotient of the opposite ring is the same as the ring unity of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
opprqus.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
opprqus.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
opprqus.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
opprqus1r (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (1rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqus1r
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . 2 (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))
2 fvexd 6896 . 2 (πœ‘ β†’ (opprβ€˜π‘„) ∈ V)
3 ovexd 7436 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) ∈ V)
4 opprqus.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 opprqus.o . . 3 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
6 opprqus.q . . 3 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7 opprqus1r.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 opprqus1r.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
982idllidld 21100 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
10 eqid 2724 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
114, 10lidlss 21060 . . . 4 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
129, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
134, 5, 6, 7, 12opprqusbas 33037 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (Baseβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
147ad2antrr 723 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
158ad2antrr 723 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
16 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
17 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)))
18 eqid 2724 . . . . . 6 (opprβ€˜π‘„) = (opprβ€˜π‘„)
1918, 16opprbas 20232 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))
2017, 19eleqtrrdi 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
2120adantr 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
22 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„)))
2322, 19eleqtrrdi 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
2423adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
254, 5, 6, 14, 15, 16, 21, 24opprqusmulr 33040 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘„))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘„))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))𝑦))
261, 2, 3, 13, 25urpropd 32812 1 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(opprβ€˜π‘„)) = (1rβ€˜(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142   /s cqus 17449   ~QG cqg 19038  1rcur 20075  Ringcrg 20127  opprcoppr 20224  LIdealclidl 21054  2Idealc2idl 21095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-0g 17385  df-imas 17452  df-qus 17453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-lidl 21056  df-2idl 21096
This theorem is referenced by:  opprqusdrng  33042  qsdrngi  33044
  Copyright terms: Public domain W3C validator