Theorem opprqus1r 33552

Description: The ring unity of the quotient of the opposite ring is the same as the ring unity of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opprqus1r	⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqus1r

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(oppr‘𝑄))
2		fvexd 6855	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑄) ∈ V)
3		ovexd 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) ∈ V)
4		opprqus.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		opprqus.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		opprqus.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7		opprqus1r.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		opprqus1r.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	4, 10	lidlss 21210	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	4, 5, 6, 7, 12	opprqusbas 33548	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
14	7	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	8	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
19	18, 16	opprbas 20323	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
20	17, 19	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
23	22, 19	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
24	23	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
25	4, 5, 6, 14, 15, 16, 21, 24	opprqusmulr 33551	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑄))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))𝑦))
26	1, 2, 3, 13, 25	urpropd 33292	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   /_s cqus 17469   ~_QG cqg 19098  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  opp_rcoppr 20316  LIdealclidl 21204  2Idealc2idl 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-2idl 21248

This theorem is referenced by:  opprqusdrng  33553  qsdrngi  33555