Theorem opprqus1r 33579

Description: The ring unity of the quotient of the opposite ring is the same as the ring unity of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opprqus1r	⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqus1r

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. 2 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(oppr‘𝑄))
2		fvexd 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑄) ∈ V)
3		ovexd 7395	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) ∈ V)
4		opprqus.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		opprqus.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		opprqus.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7		opprqus1r.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		opprqus1r.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	4, 10	lidlss 21209	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	4, 5, 6, 7, 12	opprqusbas 33575	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
14	7	ad2antrr 733	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	8	ad2antrr 733	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
18		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
19	18, 16	opprbas 20318	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
20	17, 19	eleqtrrdi 2852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
21	20	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
23	22, 19	eleqtrrdi 2852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
24	23	adantlr 722	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
25	4, 5, 6, 14, 15, 16, 21, 24	opprqusmulr 33578	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑄))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))𝑦))
26	1, 2, 3, 13, 25	urpropd 33316	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   /_s cqus 17464   ~_QG cqg 19093  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  opp_rcoppr 20311  LIdealclidl 21203  2Idealc2idl 21246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-eqg 19096  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-lidl 21205  df-2idl 21247

This theorem is referenced by:  opprqusdrng  33580  qsdrngi  33582