Theorem opprqus1r 32516

Description: The ring unity of the quotient of the opposite ring is the same as the ring unity of the opposite of the quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprqus.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprqus.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprqus.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
opprqus1r.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opprqus1r.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
opprqus1r	⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Proof of Theorem opprqus1r

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(oppr‘𝑄))
2		fvexd 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑄) ∈ V)
3		ovexd 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)) ∈ V)
4		opprqus.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		opprqus.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		opprqus.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
7		opprqus1r.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		opprqus1r.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 20807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	4, 10	lidlss 20783	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
13	4, 5, 6, 7, 12	opprqusbas 32512	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘(oppr‘𝑄)) = (Base‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))
14	7	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	8	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
16		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
18		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑄) = (oppr‘𝑄)
19	18, 16	opprbas 20111	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(oppr‘𝑄))
20	17, 19	eleqtrrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄)))
23	22, 19	eleqtrrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
24	23	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))
25	4, 5, 6, 14, 15, 16, 21, 24	opprqusmulr 32515	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(oppr‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑄))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼)))𝑦))
26	1, 2, 3, 13, 25	urpropd 32309	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘(oppr‘𝑄)) = (1r‘(𝑂 /s (𝑂 ~QG 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128   /_s cqus 17435   ~_QG cqg 18976  1_rcur 19965  Ringcrg 20016  opp_rcoppr 20103  LIdealclidl 20734  2Idealc2idl 20804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-ec 8690  df-qs 8694  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-0g 17371  df-imas 17438  df-qus 17439  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-subg 18977  df-eqg 18979  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-sra 20736  df-rgmod 20737  df-lidl 20738  df-2idl 20805

This theorem is referenced by:  opprqusdrng  32517  qsdrngi  32519