Theorem qsnzr 33554

Description: A quotient of a nonzero ring by a proper ideal is a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsnzr.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qsnzr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsnzr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		qsnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		qsnzr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
5	3, 4	qusring 21247	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
7		ringgrp 20190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvid 18946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	1, 7, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	11	oveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13		qsnzr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	13, 16	ringidcl 20217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 8, 15, 18	grplidd 18916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	12, 19	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	2	2idllidld 21226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22		qsnzr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)
23	13, 16	pridln1 33542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
24	1, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
25	20, 24	eqneltrd 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
26	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27		lidlnsg 21220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
28	1, 21, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29		nsgsubg 19104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
31	13	subgss 19074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
35	13, 34	eqger 19124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
39	37, 38	ersym 8660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅))
40	13, 9, 14, 34	eqgval 19123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)))
41	40	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼))
42	41	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
43	26, 33, 39, 42	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
44	25, 43	mtand 816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
45	36, 18	erth 8702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅) ↔ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
46	44, 45	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
47	46	neqned 2940	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
48	3, 4, 16	qus1 21246	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
49	1, 2, 48	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
50	49	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄))
51	3, 8	qus0 19135	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
52	28, 51	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
53	47, 50, 52	3netr3d 3009	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄))
54		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
55		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
56	54, 55	isnzr 20464	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄)))
57	6, 53, 56	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   Er wer 8644  [cec 8645  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  0_gc0g 17373   /_s cqus 17440  Grpcgrp 18880  inv_gcminusg 18881  SubGrpcsubg 19067  NrmSGrpcnsg 19068   ~_QG cqg 19069  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  NzRingcnzr 20462  LIdealclidl 21178  2Idealc2idl 21221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-0g 17375  df-imas 17443  df-qus 17444  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-nsg 19071  df-eqg 19072  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-nzr 20463  df-subrg 20520  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-lidl 21180  df-2idl 21222

This theorem is referenced by:  qsdrngi  33594