Theorem qsnzr 33470

Description: A quotient of a non-zero ring by a proper ideal is a non-zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsnzr.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qsnzr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsnzr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		qsnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		qsnzr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
5	3, 4	qusring 21236	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
7		ringgrp 20198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvid 18982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	1, 7, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	11	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13		qsnzr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	13, 16	ringidcl 20225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 8, 15, 18	grplidd 18952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	12, 19	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	2	2idllidld 21215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22		qsnzr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)
23	13, 16	pridln1 33458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
24	1, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
25	20, 24	eqneltrd 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
26	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27		lidlnsg 21209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
28	1, 21, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29		nsgsubg 19141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
31	13	subgss 19110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
34		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
35	13, 34	eqger 19161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
39	37, 38	ersym 8731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅))
40	13, 9, 14, 34	eqgval 19160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)))
41	40	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼))
42	41	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
43	26, 33, 39, 42	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
44	25, 43	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
45	36, 18	erth 8770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅) ↔ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
46	44, 45	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
47	46	neqned 2939	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
48	3, 4, 16	qus1 21235	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
49	1, 2, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
50	49	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄))
51	3, 8	qus0 19172	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
52	28, 51	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
53	47, 50, 52	3netr3d 3008	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄))
54		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
55		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
56	54, 55	isnzr 20474	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄)))
57	6, 53, 56	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   Er wer 8716  [cec 8717  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453   /_s cqus 17519  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  SubGrpcsubg 19103  NrmSGrpcnsg 19104   ~_QG cqg 19105  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  NzRingcnzr 20472  LIdealclidl 21167  2Idealc2idl 21210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-nzr 20473  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-2idl 21211

This theorem is referenced by:  qsdrngi  33510