Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsnzr 33483
Description: A quotient of a non-zero ring by a proper ideal is a non-zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsnzr.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2 (𝜑𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
qsnzr (𝜑𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr
StepHypRef Expression
1 qsnzr.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 qsnzr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3 qsnzr.q . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4 eqid 2737 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
53, 4qusring 21285 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
7 ringgrp 20235 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑅) = (invg𝑅)
108, 9grpinvid 19017 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
111, 7, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1211oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(1r𝑅)))
13 qsnzr.1 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
14 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
151, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1713, 16ringidcl 20262 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
1913, 14, 8, 15, 18grplidd 18987 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
2012, 19eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
2122idllidld 21264 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22 qsnzr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
2313, 16pridln1 33471 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼𝐵) → ¬ (1r𝑅) ∈ 𝐼)
241, 21, 22, 23syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (1r𝑅) ∈ 𝐼)
2520, 24eqneltrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)
261adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27 lidlnsg 21258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
281, 21, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29 nsgsubg 19176 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3113subgss 19145 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → 𝐼𝐵)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
3513, 34eqger 19196 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
3630, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅))
3937, 38ersym 8757 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅))
4013, 9, 14, 34eqgval 19195 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) → ((0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅) ↔ ((0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)))
4140biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) ∧ (0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅)) → ((0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼))
4241simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) ∧ (0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅)) → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)
4326, 33, 39, 42syl21anc 838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)
4425, 43mtand 816 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅))
4536, 18erth 8796 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅) ↔ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
4644, 45mtbid 324 . . . 4 (𝜑 → ¬ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
4746neqned 2947 . . 3 (𝜑 → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
483, 4, 16qus1 21284 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r𝑄)))
491, 2, 48syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r𝑄)))
5049simprd 495 . . 3 (𝜑 → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r𝑄))
513, 8qus0 19207 . . . 4 (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g𝑄))
5228, 51syl 17 . . 3 (𝜑 → [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g𝑄))
5347, 50, 523netr3d 3017 . 2 (𝜑 → (1r𝑄) ≠ (0g𝑄))
54 eqid 2737 . . 3 (1r𝑄) = (1r𝑄)
55 eqid 2737 . . 3 (0g𝑄) = (0g𝑄)
5654, 55isnzr 20514 . 2 (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r𝑄) ≠ (0g𝑄)))
576, 53, 56sylanbrc 583 1 (𝜑𝑄 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   /s cqus 17550  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~QG cqg 19140  1rcur 20178  Ringcrg 20230  NzRingcnzr 20512  LIdealclidl 21216  2Idealc2idl 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260
This theorem is referenced by:  qsdrngi  33523
  Copyright terms: Public domain W3C validator