Theorem qsnzr 32425

Description: A quotient of a non-zero ring by a proper ideal is a non-zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsnzr.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qsnzr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsnzr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		qsnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		qsnzr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
5	3, 4	qusring 20809	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
7		ringgrp 20019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvid 18858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	1, 7, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	11	oveq1d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13		qsnzr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	13, 16	ringidcl 20040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 8, 15, 18	grplidd 18829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	12, 19	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	2	2idllidld 20805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22		qsnzr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)
23	13, 16	pridln1 32412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
24	1, 21, 22, 23	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
25	20, 24	eqneltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
26	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27		lidlnsg 32415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
28	1, 21, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29		nsgsubg 19010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
31	13	subgss 18979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
34		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
35	13, 34	eqger 19030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
39	37, 38	ersym 8698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅))
40	13, 9, 14, 34	eqgval 19029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)))
41	40	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼))
42	41	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
43	26, 33, 39, 42	syl21anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
44	25, 43	mtand 814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
45	36, 18	erth 8735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅) ↔ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
46	44, 45	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
47	46	neqned 2946	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
48	3, 4, 16	qus1 20808	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
49	1, 2, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
50	49	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄))
51	3, 8	qus0 19038	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
52	28, 51	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
53	47, 50, 52	3netr3d 3016	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄))
54		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
55		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
56	54, 55	isnzr 20243	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄)))
57	6, 53, 56	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   Er wer 8683  [cec 8684  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17367   /_s cqus 17433  Grpcgrp 18794  inv_gcminusg 18795  SubGrpcsubg 18972  NrmSGrpcnsg 18973   ~_QG cqg 18974  1_rcur 19963  Ringcrg 20014  NzRingcnzr 20241  LIdealclidl 20732  2Idealc2idl 20802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-0g 17369  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-nzr 20242  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-2idl 20803

This theorem is referenced by:  qsdrngi  32455