Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsnzr 32848
Description: A quotient of a non-zero ring by a proper ideal is a non-zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsnzr.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qsnzr.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
qsnzr.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐡)
Assertion
Ref Expression
qsnzr (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr
StepHypRef Expression
1 qsnzr.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 qsnzr.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3 qsnzr.q . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4 eqid 2730 . . . 4 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
53, 4qusring 21023 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
61, 2, 5syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
7 ringgrp 20132 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
9 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
108, 9grpinvid 18920 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
111, 7, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
1211oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
13 qsnzr.1 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
14 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
151, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
1713, 16ringidcl 20154 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
1913, 14, 8, 15, 18grplidd 18890 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
2012, 19eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
2122idllidld 21015 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
22 qsnzr.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐡)
2313, 16pridln1 32835 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
241, 21, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
2520, 24eqneltrd 2851 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼)
261adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 lidlnsg 32838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
281, 21, 27syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
29 nsgsubg 19074 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
3113subgss 19043 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
34 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
3513, 34eqger 19094 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐡)
3630, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐡)
3736adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐡)
38 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…))
3937, 38ersym 8717 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(1rβ€˜π‘…))
4013, 9, 14, 34eqgval 19093 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(1rβ€˜π‘…) ↔ ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼)))
4140biimpa 475 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡) ∧ (0gβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(1rβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼))
4241simp3d 1142 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 βŠ† 𝐡) ∧ (0gβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼)
4326, 33, 39, 42syl21anc 834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘…))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼)
4425, 43mtand 812 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…))
4536, 18erth 8754 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)(𝑅 ~QG 𝐼)(0gβ€˜π‘…) ↔ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼)))
4644, 45mtbid 323 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼))
4746neqned 2945 . . 3 (πœ‘ β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) β‰  [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼))
483, 4, 16qus1 21022 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1rβ€˜π‘„)))
491, 2, 48syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1rβ€˜π‘„)))
5049simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1rβ€˜π‘„))
513, 8qus0 19104 . . . 4 (𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0gβ€˜π‘„))
5228, 51syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0gβ€˜π‘„))
5347, 50, 523netr3d 3015 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘„) β‰  (0gβ€˜π‘„))
54 eqid 2730 . . 3 (1rβ€˜π‘„) = (1rβ€˜π‘„)
55 eqid 2730 . . 3 (0gβ€˜π‘„) = (0gβ€˜π‘„)
5654, 55isnzr 20405 . 2 (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘„) β‰  (0gβ€˜π‘„)))
576, 53, 56sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   Er wer 8702  [cec 8703  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389   /s cqus 17455  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036  NrmSGrpcnsg 19037   ~QG cqg 19038  1rcur 20075  Ringcrg 20127  NzRingcnzr 20403  LIdealclidl 20928  2Idealc2idl 21005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-nzr 20404  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-2idl 21006
This theorem is referenced by:  qsdrngi  32883
  Copyright terms: Public domain W3C validator