Theorem qsnzr 21545

Description: A quotient of a nonzero ring by a proper ideal is a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsnzr.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qsnzr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsnzr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		qsnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		qsnzr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
5	3, 4	qusring 21476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
7		ringgrp 20376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvid 19122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	1, 7, 10	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	11	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13		qsnzr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	1, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	13, 16	ringidcl 20405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 8, 15, 18	grplidd 19092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	12, 19	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	2	2idllidld 21455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22		qsnzr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)
23	13, 16	pridln1 21530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
24	1, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
25	20, 24	eqneltrd 2882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
26	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27		lidlnsg 21444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
28	1, 21, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29		nsgsubg 19280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
31	13	subgss 19249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
34		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
35	13, 34	eqger 19302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
36	30, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
39	37, 38	ersym 8712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅))
40	13, 9, 14, 34	eqgval 19301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)))
41	40	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼))
42	41	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
43	26, 33, 39, 42	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
44	25, 43	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
45	36, 18	erth 8754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅) ↔ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
46	44, 45	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
47	46	neqned 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
48	3, 4, 16	qus1 21475	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
49	1, 2, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
50	49	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄))
51	3, 8	qus0 19316	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
52	28, 51	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
53	47, 50, 52	3netr3d 3033	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄))
54		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
55		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
56	54, 55	isnzr 20673	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄)))
57	6, 53, 56	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   Er wer 8696  [cec 8697  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  0_gc0g 17526   /_s cqus 17593  Grpcgrp 19056  inv_gcminusg 19057  SubGrpcsubg 19242  NrmSGrpcnsg 19243   ~_QG cqg 19244  1_rcur 20319  Ringcrg 20371  NzRingcnzr 20671  LIdealclidl 21392  2Idealc2idl 21450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-0g 17528  df-imas 17596  df-qus 17597  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-nsg 19246  df-eqg 19247  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-nzr 20672  df-subrg 20731  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-lidl 21394  df-2idl 21451

This theorem is used by:  qsdrngi  33882