Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsnzr 32532
Description: A quotient of a non-zero ring by a proper ideal is a non-zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsnzr.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2 (𝜑𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
qsnzr (𝜑𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr
StepHypRef Expression
1 qsnzr.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 qsnzr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3 qsnzr.q . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4 eqid 2733 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
53, 4qusring 20860 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
61, 2, 5syl2anc 585 . 2 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
7 ringgrp 20052 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invg𝑅) = (invg𝑅)
108, 9grpinvid 18880 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
111, 7, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1211oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(1r𝑅)))
13 qsnzr.1 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
151, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1713, 16ringidcl 20073 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
1913, 14, 8, 15, 18grplidd 18850 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
2012, 19eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
2122idllidld 20853 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22 qsnzr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
2313, 16pridln1 32519 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼𝐵) → ¬ (1r𝑅) ∈ 𝐼)
241, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (1r𝑅) ∈ 𝐼)
2520, 24eqneltrd 2854 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)
261adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27 lidlnsg 32522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
281, 21, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29 nsgsubg 19032 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3113subgss 19001 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
3332adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → 𝐼𝐵)
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
3513, 34eqger 19052 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
3630, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅))
3937, 38ersym 8711 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅))
4013, 9, 14, 34eqgval 19051 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) → ((0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅) ↔ ((0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)))
4140biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) ∧ (0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅)) → ((0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼))
4241simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) ∧ (0g𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r𝑅)) → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)
4326, 33, 39, 42syl21anc 837 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅)) → (((invg𝑅)‘(0g𝑅))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝐼)
4425, 43mtand 815 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅))
4536, 18erth 8748 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g𝑅) ↔ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
4644, 45mtbid 324 . . . 4 (𝜑 → ¬ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
4746neqned 2948 . . 3 (𝜑 → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
483, 4, 16qus1 20859 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r𝑄)))
491, 2, 48syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r𝑄)))
5049simprd 497 . . 3 (𝜑 → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r𝑄))
513, 8qus0 19062 . . . 4 (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g𝑄))
5228, 51syl 17 . . 3 (𝜑 → [(0g𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g𝑄))
5347, 50, 523netr3d 3018 . 2 (𝜑 → (1r𝑄) ≠ (0g𝑄))
54 eqid 2733 . . 3 (1r𝑄) = (1r𝑄)
55 eqid 2733 . . 3 (0g𝑄) = (0g𝑄)
5654, 55isnzr 20282 . 2 (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r𝑄) ≠ (0g𝑄)))
576, 53, 56sylanbrc 584 1 (𝜑𝑄 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wss 3947   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404   Er wer 8696  [cec 8697  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381   /s cqus 17447  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995   ~QG cqg 18996  1rcur 19996  Ringcrg 20047  NzRingcnzr 20280  LIdealclidl 20771  2Idealc2idl 20843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-nzr 20281  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-lidl 20775  df-2idl 20844
This theorem is referenced by:  qsdrngi  32562
  Copyright terms: Public domain W3C validator