Theorem qsnzr 21666

Description: A quotient of a nonzero ring by a proper ideal is a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsnzr.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qsnzr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qsnzr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qsnzr.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsnzr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qsnzr.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qsnzr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

Proof of Theorem qsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsnzr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		qsnzr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		qsnzr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
5	3, 4	qusring 21596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Ring)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
7		ringgrp 20491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvid 19236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
11	1, 7, 10	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	11	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
13		qsnzr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	1, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	13, 16	ringidcl 20521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 8, 15, 18	grplidd 19206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
20	12, 19	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
21	2	2idllidld 21574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
22		qsnzr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐵)
23	13, 16	pridln1 21651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
24	1, 21, 22, 23	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
25	20, 24	eqneltrd 2884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
26	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
27		lidlnsg 21563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
28	1, 21, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
29		nsgsubg 19394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
31	13	subgss 19363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
35	13, 34	eqger 19416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
36	30, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
38		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
39	37, 38	ersym 8755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅))
40	13, 9, 14, 34	eqgval 19415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅) ↔ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)))
41	40	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼))
42	41	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(1r‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
43	26, 33, 39, 42	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝐼)
44	25, 43	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅))
45	36, 18	erth 8797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(𝑅 ~QG 𝐼)(0g‘𝑅) ↔ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
46	44, 45	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
47	46	neqned 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ≠ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
48	3, 4, 16	qus1 21595	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
49	1, 2, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄)))
50	49	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (1r‘𝑄))
51	3, 8	qus0 19430	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
52	28, 51	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
53	47, 50, 52	3netr3d 3035	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄))
54		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
55		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
56	54, 55	isnzr 20791	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ NzRing ↔ (𝑄 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑄) ≠ (0g‘𝑄)))
57	6, 53, 56	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   Er wer 8739  [cec 8740  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  0_gc0g 17636   /_s cqus 17703  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  SubGrpcsubg 19356  NrmSGrpcnsg 19357   ~_QG cqg 19358  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  NzRingcnzr 20789  LIdealclidl 21511  2Idealc2idl 21569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-0g 17638  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-nsg 19360  df-eqg 19361  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-nzr 20790  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-2idl 21570

This theorem is used by:  qsdrngi  34086