Theorem rng2idl1cntr 21194

Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21186) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21191) via rngqiprnglinlem1 21180 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idl1cntr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idl1cntr.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idl1cntr.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rng2idl1cntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl1cntr	⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem rng2idl1cntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idl1cntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbasss 17213	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)
4		rng2idl1cntr.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6		rng2idl1cntr.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
7	5, 6	ringidcl 20201	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
9	3, 8	sselid 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10		rng2idl1cntr.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
12	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	rngass 20098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
16	11, 12, 13, 12, 15	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
17		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
18	4	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐽 ∈ Ring)
19		rng2idl1cntr.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
20	10, 19, 1, 4, 2, 14, 6	rngqiprngghmlem1 21176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝐽))
21	5, 17, 6, 18, 20	ringridmd 20208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
22	1, 14	ressmulr 17282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
24	23	oveqd 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ))
25	24	eqeq1d 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
26	25	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
27	21, 26	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
28	19	2idllidld 21147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
30	2, 29	lidlss 21107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
31	1, 2	ressbas2 17212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
32	31	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
33	28, 30, 32	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
34	33, 28	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	19, 1, 5	2idlbas 21156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
36		ringrng 20220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
38	1, 37	eqeltrrid 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
39	10, 19, 38	rng2idlsubrng 21158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
40	35, 39	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅))
41		subrngsubg 20488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅) → (Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅))
42		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	42	subg0cl 19088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
44	40, 41, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
45	10, 34, 44	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
46	8	anim1ci 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
47	42, 2, 14, 29	rnglidlmcl 21111	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
48	45, 46, 47	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
49	5, 17, 6, 18, 48	ringlidmd 20207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
50	23	oveqd 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
51	50	eqeq1d 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
52	51	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
53	49, 52	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
54	16, 27, 53	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
55	54	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
56		ssidd 3997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
57		rng2idl1cntr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
58	57, 2	mgpbas 20079	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
59	57, 14	mgpplusg 20077	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
60		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
61	58, 59, 60	elcntz 19272	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
62	56, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
63	9, 55, 62	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)))
64	58, 60	cntrval 19269	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘𝑀)
65	63, 64	eleqtrdi 2835	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   ↾_s cress 17203  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17415  SubGrpcsubg 19074  Cntzccntz 19265  Cntrccntr 19266  mulGrpcmgp 20073  Rngcrng 20091  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  SubRngcsubrng 20481  LIdealclidl 21101  2Idealc2idl 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-cntr 19268  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-subrng 20482  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-2idl 21143

This theorem is referenced by: (None)