Theorem rng2idl1cntr 21426

Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21418) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21423) via rngqiprnglinlem1 21412 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idl1cntr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idl1cntr.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idl1cntr.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rng2idl1cntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl1cntr	⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem rng2idl1cntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idl1cntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbasss 17300	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)
4		rng2idl1cntr.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6		rng2idl1cntr.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
7	5, 6	ringidcl 20349	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
9	3, 8	sselid 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10		rng2idl1cntr.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
12	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	rngass 20238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
16	11, 12, 13, 12, 15	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
18	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐽 ∈ Ring)
19		rng2idl1cntr.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
20	10, 19, 1, 4, 2, 14, 6	rngqiprngghmlem1 21408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝐽))
21	5, 17, 6, 18, 20	ringridmd 20357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
22	1, 14	ressmulr 17361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
23	19, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
24	23	oveqd 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ))
25	24	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
26	25	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
27	21, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
28	19	2idllidld 21374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
30	2, 29	lidlss 21317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
31	1, 2	ressbas2 17299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
32	31	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
33	28, 30, 32	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
34	33, 28	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	19, 1, 5	2idlbas 21383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
36		ringrng 20369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
37	4, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
38	1, 37	eqeltrrid 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
39	10, 19, 38	rng2idlsubrng 21385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
40	35, 39	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅))
41		subrngsubg 20638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅) → (Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	42	subg0cl 19201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
44	40, 41, 43	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
45	10, 34, 44	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
46	8	anim1ci 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
47	42, 2, 14, 29	rnglidlmcl 21322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
48	45, 46, 47	syl2an2r 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
49	5, 17, 6, 18, 48	ringlidmd 20356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
50	23	oveqd 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
51	50	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
52	51	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
53	49, 52	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
54	16, 27, 53	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
55	54	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
56		ssidd 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
57		rng2idl1cntr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
58	57, 2	mgpbas 20222	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
59	57, 14	mgpplusg 20221	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
60		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
61	58, 59, 60	elcntz 19393	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
62	56, 61	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
63	9, 55, 62	mpbir2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)))
64	58, 60	cntrval 19390	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘𝑀)
65	63, 64	eleqtrdi 2873	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  SubGrpcsubg 19187  Cntzccntz 19386  Cntrccntr 19387  mulGrpcmgp 20217  Rngcrng 20231  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  SubRngcsubrng 20631  LIdealclidl 21311  2Idealc2idl 21369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-cntr 19389  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-subrng 20632  df-lss 21034  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-2idl 21370

This theorem is referenced by: (None)