Theorem rng2idl1cntr 21338

Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21330) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21335) via rngqiprnglinlem1 21324 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idl1cntr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idl1cntr.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idl1cntr.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rng2idl1cntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl1cntr	⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem rng2idl1cntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idl1cntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbasss 17297	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)
4		rng2idl1cntr.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6		rng2idl1cntr.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
7	5, 6	ringidcl 20289	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
9	3, 8	sselid 4006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10		rng2idl1cntr.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
12	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	rngass 20186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
16	11, 12, 13, 12, 15	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
17		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
18	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐽 ∈ Ring)
19		rng2idl1cntr.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
20	10, 19, 1, 4, 2, 14, 6	rngqiprngghmlem1 21320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝐽))
21	5, 17, 6, 18, 20	ringridmd 20296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
22	1, 14	ressmulr 17366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
24	23	oveqd 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ))
25	24	eqeq1d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
27	21, 26	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
28	19	2idllidld 21287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
30	2, 29	lidlss 21245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
31	1, 2	ressbas2 17296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
32	31	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
33	28, 30, 32	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
34	33, 28	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	19, 1, 5	2idlbas 21296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
36		ringrng 20308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
38	1, 37	eqeltrrid 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
39	10, 19, 38	rng2idlsubrng 21298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
40	35, 39	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅))
41		subrngsubg 20578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅) → (Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅))
42		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	42	subg0cl 19174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
44	40, 41, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
45	10, 34, 44	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
46	8	anim1ci 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
47	42, 2, 14, 29	rnglidlmcl 21249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
48	45, 46, 47	syl2an2r 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
49	5, 17, 6, 18, 48	ringlidmd 20295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
50	23	oveqd 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
51	50	eqeq1d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
53	49, 52	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
54	16, 27, 53	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
55	54	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
56		ssidd 4032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
57		rng2idl1cntr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
58	57, 2	mgpbas 20167	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
59	57, 14	mgpplusg 20165	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
60		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
61	58, 59, 60	elcntz 19362	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
62	56, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
63	9, 55, 62	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)))
64	58, 60	cntrval 19359	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘𝑀)
65	63, 64	eleqtrdi 2854	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  SubGrpcsubg 19160  Cntzccntz 19355  Cntrccntr 19356  mulGrpcmgp 20161  Rngcrng 20179  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  SubRngcsubrng 20571  LIdealclidl 21239  2Idealc2idl 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cntr 19358  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-subrng 20572  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-2idl 21283

This theorem is referenced by: (None)