MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng2idl1cntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rng2idl1cntr 21177
Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21169) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21174) via rngqiprnglinlem1 21163 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idl1cntr.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idl1cntr.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idl1cntr.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1 1 = (1rβ€˜π½)
rng2idl1cntr.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rng2idl1cntr (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Cntrβ€˜π‘€))

Proof of Theorem rng2idl1cntr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rng2idl1cntr.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
2 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2ressbasss 17204 . . . 4 (Baseβ€˜π½) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
4 rng2idl1cntr.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
5 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
6 rng2idl1cntr.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π½)
75, 6ringidcl 20184 . . . . 5 (𝐽 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
84, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
93, 8sselid 3976 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
10 rng2idl1cntr.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
129adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 eqid 2727 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
152, 14rngass 20083 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )))
1611, 12, 13, 12, 15syl13anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )))
17 eqid 2727 . . . . . . 7 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
184adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
19 rng2idl1cntr.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
2010, 19, 1, 4, 2, 14, 6rngqiprngghmlem1 21159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π½))
215, 17, 6, 18, 20ringridmd 20191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π½) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯))
221, 14ressmulr 17273 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π½))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π½))
2423oveqd 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π½) 1 ))
2524eqeq1d 2729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) ↔ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π½) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) ↔ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π½) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
2721, 26mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯)(.rβ€˜π‘…) 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯))
28192idllidld 21130 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
29 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
302, 29lidlss 21090 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
311, 2ressbas2 17203 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 = (Baseβ€˜π½))
3231eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
3328, 30, 323syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
3433, 28eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3519, 1, 52idlbas 21139 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
36 ringrng 20203 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
374, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
381, 37eqeltrrid 2833 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
3910, 19, 38rng2idlsubrng 21141 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (SubRngβ€˜π‘…))
4035, 39eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) ∈ (SubRngβ€˜π‘…))
41 subrngsubg 20471 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜π½) ∈ (SubRngβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π½) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
42 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4342subg0cl 19073 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜π½) ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π½))
4440, 41, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π½))
4510, 34, 443jca 1126 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π½)))
468anim1ci 615 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π½)))
4742, 2, 14, 29rnglidlmcl 21094 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π½)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π½))
4845, 46, 47syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ) ∈ (Baseβ€˜π½))
495, 17, 6, 18, 48ringlidmd 20190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π½)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ))
5023oveqd 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = ( 1 (.rβ€˜π½)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )))
5150eqeq1d 2729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ) ↔ ( 1 (.rβ€˜π½)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )))
5251adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ) ↔ ( 1 (.rβ€˜π½)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )))
5349, 52mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 )) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ))
5416, 27, 533eqtr3d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ))
5554ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ))
56 ssidd 4001 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
57 rng2idl1cntr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
5857, 2mgpbas 20064 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
5957, 14mgpplusg 20062 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
60 eqid 2727 . . . . 5 (Cntzβ€˜π‘€) = (Cntzβ€˜π‘€)
6158, 59, 60elcntz 19257 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ ( 1 ∈ ((Cntzβ€˜π‘€)β€˜(Baseβ€˜π‘…)) ↔ ( 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ))))
6256, 61syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 ∈ ((Cntzβ€˜π‘€)β€˜(Baseβ€˜π‘…)) ↔ ( 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)( 1 (.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 1 ))))
639, 55, 62mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ((Cntzβ€˜π‘€)β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
6458, 60cntrval 19254 . 2 ((Cntzβ€˜π‘€)β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = (Cntrβ€˜π‘€)
6563, 64eleqtrdi 2838 1 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Cntrβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  .rcmulr 17219  0gc0g 17406  SubGrpcsubg 19059  Cntzccntz 19250  Cntrccntr 19251  mulGrpcmgp 20058  Rngcrng 20076  1rcur 20105  Ringcrg 20157  SubRngcsubrng 20464  LIdealclidl 21084  2Idealc2idl 21125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-cntr 19253  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-subrng 20465  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-2idl 21126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator