Theorem rng2idl1cntr 21607

Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21599) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21604) via rngqiprnglinlem1 21593 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idl1cntr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idl1cntr.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idl1cntr.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rng2idl1cntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl1cntr	⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem rng2idl1cntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idl1cntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbasss 17423	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)
4		rng2idl1cntr.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6		rng2idl1cntr.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
7	5, 6	ringidcl 20500	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
9	3, 8	sselid 3906	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10		rng2idl1cntr.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
12	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	rngass 20387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
16	11, 12, 13, 12, 15	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
18	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐽 ∈ Ring)
19		rng2idl1cntr.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
20	10, 19, 1, 4, 2, 14, 6	rngqiprngghmlem1 21589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝐽))
21	5, 17, 6, 18, 20	ringridmd 20508	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
22	1, 14	ressmulr 17484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
23	19, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
24	23	oveqd 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ))
25	24	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
27	21, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
28	19	2idllidld 21553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
30	2, 29	lidlss 21496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
31	1, 2	ressbas2 17422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
32	31	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
33	28, 30, 32	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
34	33, 28	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	19, 1, 5	2idlbas 21563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
36		ringrng 20520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
37	4, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
38	1, 37	eqeltrrid 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
39	10, 19, 38	rng2idlsubrng 21565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
40	35, 39	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅))
41		subrngsubg 20810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅) → (Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅))
42		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	42	subg0cl 19350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
44	40, 41, 43	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
45	10, 34, 44	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
46	8	anim1ci 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
47	42, 2, 14, 29	rnglidlmcl 21501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
48	45, 46, 47	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
49	5, 17, 6, 18, 48	ringlidmd 20507	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
50	23	oveqd 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
51	50	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
52	51	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
53	49, 52	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
54	16, 27, 53	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
55	54	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
56		ssidd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
57		rng2idl1cntr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
58	57, 2	mgpbas 20371	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
59	57, 14	mgpplusg 20370	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
60		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
61	58, 59, 60	elcntz 19542	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
62	56, 61	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
63	9, 55, 62	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)))
64	58, 60	cntrval 19539	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘𝑀)
65	63, 64	eleqtrdi 2870	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  SubGrpcsubg 19336  Cntzccntz 19535  Cntrccntr 19536  mulGrpcmgp 20366  Rngcrng 20380  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  SubRngcsubrng 20803  LIdealclidl 21490  2Idealc2idl 21548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-cntr 19538  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-subrng 20804  df-lss 21213  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-2idl 21549

This theorem is used by: (None)