Theorem rng2idl1cntr 21482

Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21474) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21479) via rngqiprnglinlem1 21468 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idl1cntr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idl1cntr.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idl1cntr.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rng2idl1cntr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl1cntr	⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem rng2idl1cntr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idl1cntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbasss 17324	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)
4		rng2idl1cntr.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6		rng2idl1cntr.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
7	5, 6	ringidcl 20380	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
9	3, 8	sselid 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10		rng2idl1cntr.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
12	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	rngass 20268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
16	11, 12, 13, 12, 15	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
17		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
18	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐽 ∈ Ring)
19		rng2idl1cntr.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
20	10, 19, 1, 4, 2, 14, 6	rngqiprngghmlem1 21464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝐽))
21	5, 17, 6, 18, 20	ringridmd 20388	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
22	1, 14	ressmulr 17385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
23	19, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐽))
24	23	oveqd 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ))
25	24	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝐽) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥)))
27	21, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅) 1 ) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑥))
28	19	2idllidld 21430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		eqid 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
30	2, 29	lidlss 21373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
31	1, 2	ressbas2 17323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
32	31	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
33	28, 30, 32	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
34	33, 28	eqeltrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	19, 1, 5	2idlbas 21439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
36		ringrng 20400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
37	4, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
38	1, 37	eqeltrrid 2871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
39	10, 19, 38	rng2idlsubrng 21441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
40	35, 39	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅))
41		subrngsubg 20688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅) → (Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅))
42		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	42	subg0cl 19231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
44	40, 41, 43	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
45	10, 34, 44	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
46	8	anim1ci 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
47	42, 2, 14, 29	rnglidlmcl 21378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
48	45, 46, 47	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
49	5, 17, 6, 18, 48	ringlidmd 20387	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
50	23	oveqd 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
51	50	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
52	51	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r‘𝐽)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 )))
53	49, 52	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅) 1 )) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
54	16, 27, 53	3eqtr3d 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
55	54	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))
56		ssidd 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
57		rng2idl1cntr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
58	57, 2	mgpbas 20252	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
59	57, 14	mgpplusg 20251	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
60		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
61	58, 59, 60	elcntz 19423	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
62	56, 61	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅) 1 ))))
63	9, 55, 62	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)))
64	58, 60	cntrval 19420	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘𝑀)
65	63, 64	eleqtrdi 2876	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Cntr‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  SubGrpcsubg 19217  Cntzccntz 19416  Cntrccntr 19417  mulGrpcmgp 20247  Rngcrng 20261  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  SubRngcsubrng 20681  LIdealclidl 21367  2Idealc2idl 21425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-cntr 19419  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-subrng 20682  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-lidl 21369  df-2idl 21426

This theorem is used by: (None)