MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng2idl1cntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rng2idl1cntr 21189
Description: The unity of a two-sided ideal of a non-unital ring is central, i.e., an element of the center of the multiplicative semigroup of the non-unital ring. This is part of the proof given in MathOverflow, which seems to be sufficient to show that 𝐹 given below (see rngqiprngimf 21181) is an isomorphism. In our proof, however we show that 𝐹 is linear regarding the multiplication (rngqiprnglin 21186) via rngqiprnglinlem1 21175 instead. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idl1cntr.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idl1cntr.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idl1cntr.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idl1cntr.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idl1cntr.1 1 = (1r𝐽)
rng2idl1cntr.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rng2idl1cntr (𝜑1 ∈ (Cntr‘𝑀))

Proof of Theorem rng2idl1cntr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rng2idl1cntr.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2ressbasss 17213 . . . 4 (Base‘𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)
4 rng2idl1cntr.u . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
5 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6 rng2idl1cntr.1 . . . . . 6 1 = (1r𝐽)
75, 6ringidcl 20196 . . . . 5 (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝜑1 ∈ (Base‘𝐽))
93, 8sselid 3977 . . 3 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
10 rng2idl1cntr.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
129adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14 eqid 2728 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
152, 14rngass 20093 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)(𝑥(.r𝑅) 1 )))
1611, 12, 13, 12, 15syl13anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)(𝑥(.r𝑅) 1 )))
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (.r𝐽) = (.r𝐽)
184adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐽 ∈ Ring)
19 rng2idl1cntr.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2010, 19, 1, 4, 2, 14, 6rngqiprngghmlem1 21171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝐽))
215, 17, 6, 18, 20ringridmd 20203 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝐽) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
221, 14ressmulr 17282 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝐽))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r𝐽))
2423oveqd 7432 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 1 ) = (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝐽) 1 ))
2524eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝐽) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)𝑥)))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝐽) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)𝑥)))
2721, 26mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r𝑅)𝑥)(.r𝑅) 1 ) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
28192idllidld 21142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
302, 29lidlss 21102 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
311, 2ressbas2 17212 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
3231eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) → (Base‘𝐽) = 𝐼)
3328, 30, 323syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
3433, 28eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅))
3519, 1, 52idlbas 21151 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
36 ringrng 20215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
374, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Rng)
381, 37eqeltrrid 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) ∈ Rng)
3910, 19, 38rng2idlsubrng 21153 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
4035, 39eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅))
41 subrngsubg 20483 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝐽) ∈ (SubRng‘𝑅) → (Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅))
42 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4342subg0cl 19083 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝐽) ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
4440, 41, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝐽))
4510, 34, 443jca 1126 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝐽)))
468anim1ci 615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)))
4742, 2, 14, 29rnglidlmcl 21106 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽))) → (𝑥(.r𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
4845, 46, 47syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝐽))
495, 17, 6, 18, 48ringlidmd 20202 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝐽)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
5023oveqd 7432 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 (.r𝑅)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = ( 1 (.r𝐽)(𝑥(.r𝑅) 1 )))
5150eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 (.r𝑅)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = (𝑥(.r𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r𝐽)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = (𝑥(.r𝑅) 1 )))
5251adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 1 (.r𝑅)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = (𝑥(.r𝑅) 1 ) ↔ ( 1 (.r𝐽)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = (𝑥(.r𝑅) 1 )))
5349, 52mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑥(.r𝑅) 1 )) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
5416, 27, 533eqtr3d 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
5554ralrimiva 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
56 ssidd 4002 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
57 rng2idl1cntr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5857, 2mgpbas 20074 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
5957, 14mgpplusg 20072 . . . . 5 (.r𝑅) = (+g𝑀)
60 eqid 2728 . . . . 5 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
6158, 59, 60elcntz 19267 . . . 4 ((Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))))
6256, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → ( 1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)( 1 (.r𝑅)𝑥) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))))
639, 55, 62mpbir2and 712 . 2 (𝜑1 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)))
6458, 60cntrval 19264 . 2 ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘𝑀)
6563, 64eleqtrdi 2839 1 (𝜑1 ∈ (Cntr‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wss 3945  cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  s cress 17203  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  SubGrpcsubg 19069  Cntzccntz 19260  Cntrccntr 19261  mulGrpcmgp 20068  Rngcrng 20086  1rcur 20115  Ringcrg 20167  SubRngcsubrng 20476  LIdealclidl 21096  2Idealc2idl 21137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-subg 19072  df-cntz 19262  df-cntr 19263  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-oppr 20267  df-subrng 20477  df-lss 20810  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098  df-2idl 21138
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator