Theorem ablcom 19932

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablcom	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 19920	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2		ablcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	cmncom 19931	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
5	1, 4	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  CMndccmn 19913  Abelcabl 19914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-12 2215  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-cmn 19915  df-abl 19916

This theorem is used by:  ablinvadd  19940  ablsub2inv  19941  ablsubadd  19942  abladdsub  19945  ablsubaddsub  19947  ablpncan3  19949  ablsub32  19954  ablnnncan  19955  ablsubsub23  19957  eqgabl  19967  subgabl  19969  ablnsg  19980  lsmcomx  19989  qusabl  19998  frgpnabl  20008  imasabl  20009  subrngringnsg  20721  ngplcan  24843  clmnegsubdi2  25339  clmvsubval2  25344  ncvspi  25390  r1pid  26393  abliso  33483  ablcomd  33493  r1plmhm  34027  lindsunlem  34142  cnaddcom  39853  toycom  39854  lflsub  39948  lfladdcom  39953