Theorem ablcom 19778

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablcom	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 19766	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2		ablcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	cmncom 19777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  CMndccmn 19759  Abelcabl 19760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-iota 6483  df-fv 6538  df-ov 7406  df-cmn 19761  df-abl 19762

This theorem is referenced by:  ablinvadd  19786  ablsub2inv  19787  ablsubadd  19788  abladdsub  19791  ablsubaddsub  19793  ablpncan3  19795  ablsub32  19800  ablnnncan  19801  ablsubsub23  19803  eqgabl  19813  subgabl  19815  ablnsg  19826  lsmcomx  19835  qusabl  19844  frgpnabl  19854  imasabl  19855  subrngringnsg  20511  ngplcan  24548  clmnegsubdi2  25054  clmvsubval2  25059  ncvspi  25106  r1pid  26116  abliso  32977  r1plmhm  33565  lindsunlem  33610  cnaddcom  38936  toycom  38937  lflsub  39031  lfladdcom  39036