Theorem cnaddcom 39696

Description: Recover the commutative law of addition for complex numbers from the Abelian group structure. (Contributed by NM, 17-Mar-2013.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem cnaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
2	1	cnaddabl 19942	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ Abel
3		cnex 11184	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	1	grpbase 17345	. . . 4 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
6		addex 13016	. . . 4 ⊢ + ∈ V
7	1	grpplusg 17346	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
9	5, 8	ablcom 19872	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
10	2, 9	mp3an1 1475	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℂcc 11101   + caddc 11106  ndxcnx 17256  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  Abelcabl 19854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-addf 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-cmn 19855  df-abl 19856

This theorem is referenced by: (None)