Theorem cnaddcom 35126

Description: Recover the commutative law of addition for complex numbers from the Abelian group structure. (Contributed by NM, 17-Mar-2013.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem cnaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
2	1	cnaddabl 18658	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ Abel
3		cnex 10353	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	1	grpbase 16383	. . . 4 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
6		addex 12135	. . . 4 ⊢ + ∈ V
7	1	grpplusg 16384	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩})
9	5, 8	ablcom 18596	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
10	2, 9	mp3an1 1521	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  {cpr 4400  ⟨cop 4404  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   + caddc 10275  ndxcnx 16252  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  Abelcabl 18580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-cmn 18581  df-abl 18582

This theorem is referenced by: (None)