Theorem ablsub2inv 20027

Description: Abelian group subtraction of two inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsub2inv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsub2inv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsub2inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
ablsub2inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsub2inv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsub2inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub2inv	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Proof of Theorem ablsub2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsub2inv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablsub2inv.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablsub2inv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5		ablsub2inv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablgrp 20004	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub2inv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	grpinvcl 19203	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		ablsub2inv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 7, 10, 11	grpsubinv 19227	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌))
13	1, 2	ablcom 20018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
14	5, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
15	1, 4	grpinvinv 19221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
16	7, 11, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
18	14, 17	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
19	1, 4	grpinvcl 19203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
20	7, 11, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4	grpinvadd 19233	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
22	7, 8, 20, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
24	1, 2, 4, 3	grpsubval 19201	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
25	8, 11, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
26	25	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
27	23, 26	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)))
28	1, 3, 4	grpinvsub 19237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
29	7, 8, 11, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
30	12, 27, 29	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151  Abelcabl 20000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-cmn 20001  df-abl 20002

This theorem is used by:  ngpinvds  24937