Theorem ablsub2inv 19718

Description: Abelian group subtraction of two inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsub2inv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsub2inv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsub2inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
ablsub2inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsub2inv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsub2inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub2inv	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Proof of Theorem ablsub2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsub2inv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablsub2inv.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablsub2inv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5		ablsub2inv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablgrp 19695	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub2inv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	grpinvcl 18897	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		ablsub2inv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 7, 10, 11	grpsubinv 18922	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌))
13	1, 2	ablcom 19709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
14	5, 10, 11, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
15	1, 4	grpinvinv 18915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
16	7, 11, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
18	14, 17	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
19	1, 4	grpinvcl 18897	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
20	7, 11, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4	grpinvadd 18928	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
22	7, 8, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
24	1, 2, 4, 3	grpsubval 18895	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
25	8, 11, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
26	25	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
27	23, 26	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)))
28	1, 3, 4	grpinvsub 18932	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
29	7, 8, 11, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
30	12, 27, 29	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Grpcgrp 18843  inv_gcminusg 18844  -_gcsg 18845  Abelcabl 19691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-cmn 19692  df-abl 19693

This theorem is referenced by:  ngpinvds  24526