Theorem r1pid 26220

Description: Express the original polynomial 𝐹 as 𝐹 = (𝑞 · 𝐺) + 𝑟 using the quotient and remainder functions for 𝑞 and 𝑟. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pid.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
r1pid.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pid.m	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1pid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Proof of Theorem r1pid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		r1pid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		r1pid.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 26203	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5		r1pid.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
6		r1pid.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
7		r1pid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
9	5, 1, 2, 6, 7, 8	r1pval 26217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
10	4, 9	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
11	10	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
12	11	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)) = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))))
13	1	ply1ring 22270	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringabl 20304	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Abel)
17	6, 1, 2, 3	q1pcl 26216	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
18	4	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	2, 7	ringcl 20277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
21		ringgrp 20265	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
22	14, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
23		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	2, 8	grpsubcl 19060	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
25	22, 23, 20, 24	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
26		r1pid.m	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
27	2, 26	ablcom 19841	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
28	16, 20, 25, 27	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
29	2, 26, 8	grpnpcan 19072	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
30	22, 23, 20, 29	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
31	12, 28, 30	3eqtrrd 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  Abelcabl 19823  Ringcrg 20260  Poly₁cpl1 22199  Unic_1pcuc1p 26186  quot_1pcq1p 26187  rem_1pcr1p 26188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-cnfld 21388  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-uc1p 26191  df-q1p 26192  df-r1p 26193

This theorem is referenced by:  r1pid2  26221  ply1rem  26225  r1pid2OLD  33594  irredminply  33707