Theorem r1pid 25229

Description: Express the original polynomial 𝐹 as 𝐹 = (𝑞 · 𝐺) + 𝑟 using the quotient and remainder functions for 𝑞 and 𝑟. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pid.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
r1pid.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pid.m	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1pid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Proof of Theorem r1pid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		r1pid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		r1pid.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 25213	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5		r1pid.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
6		r1pid.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
7		r1pid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
9	5, 1, 2, 6, 7, 8	r1pval 25226	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
10	4, 9	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
11	10	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
12	11	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)) = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))))
13	1	ply1ring 21329	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringabl 19734	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Abel)
17	6, 1, 2, 3	q1pcl 25225	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
18	4	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	2, 7	ringcl 19715	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
21		ringgrp 19703	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
22	14, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
23		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	2, 8	grpsubcl 18570	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
25	22, 23, 20, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
26		r1pid.m	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
27	2, 26	ablcom 19319	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
28	16, 20, 25, 27	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
29	2, 26, 8	grpnpcan 18582	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
30	22, 23, 20, 29	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
31	12, 28, 30	3eqtrrd 2783	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  Abelcabl 19302  Ringcrg 19698  Poly₁cpl1 21258  Unic_1pcuc1p 25196  quot_1pcq1p 25197  rem_1pcr1p 25198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-rlreg 20467  df-cnfld 20511  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mdeg 25122  df-deg1 25123  df-uc1p 25201  df-q1p 25202  df-r1p 25203

This theorem is referenced by:  ply1rem  25233