![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > r1pid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Express the original polynomial ๐น as ๐น = (๐ ยท ๐บ) + ๐ using the quotient and remainder functions for ๐ and ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
r1pid.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
r1pid.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
r1pid.c | โข ๐ถ = (Unic1pโ๐ ) |
r1pid.q | โข ๐ = (quot1pโ๐ ) |
r1pid.e | โข ๐ธ = (rem1pโ๐ ) |
r1pid.t | โข ยท = (.rโ๐) |
r1pid.m | โข + = (+gโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
r1pid | โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐น = (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | r1pid.p | . . . . . 6 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
2 | r1pid.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
3 | r1pid.c | . . . . . 6 โข ๐ถ = (Unic1pโ๐ ) | |
4 | 1, 2, 3 | uc1pcl 26078 | . . . . 5 โข (๐บ โ ๐ถ โ ๐บ โ ๐ต) |
5 | r1pid.e | . . . . . 6 โข ๐ธ = (rem1pโ๐ ) | |
6 | r1pid.q | . . . . . 6 โข ๐ = (quot1pโ๐ ) | |
7 | r1pid.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐) | |
8 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข (-gโ๐) = (-gโ๐) | |
9 | 5, 1, 2, 6, 7, 8 | r1pval 26092 | . . . . 5 โข ((๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ต) โ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
10 | 4, 9 | sylan2 592 | . . . 4 โข ((๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
11 | 10 | 3adant1 1128 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
12 | 11 | oveq2d 7436 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)) = (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)))) |
13 | 1 | ply1ring 22165 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Ring) |
14 | 13 | 3ad2ant1 1131 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐ โ Ring) |
15 | ringabl 20216 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Abel) | |
16 | 14, 15 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐ โ Abel) |
17 | 6, 1, 2, 3 | q1pcl 26091 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น๐๐บ) โ ๐ต) |
18 | 4 | 3ad2ant3 1133 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐บ โ ๐ต) |
19 | 2, 7 | ringcl 20189 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง (๐น๐๐บ) โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ต) โ ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) |
20 | 14, 17, 18, 19 | syl3anc 1369 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) |
21 | ringgrp 20177 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
22 | 14, 21 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐ โ Grp) |
23 | simp2 1135 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐น โ ๐ต) | |
24 | 2, 8 | grpsubcl 18975 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง ๐น โ ๐ต โง ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) โ (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) โ ๐ต) |
25 | 22, 23, 20, 24 | syl3anc 1369 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) โ ๐ต) |
26 | r1pid.m | . . . 4 โข + = (+gโ๐) | |
27 | 2, 26 | ablcom 19753 | . . 3 โข ((๐ โ Abel โง ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต โง (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) โ ๐ต) โ (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
28 | 16, 20, 25, 27 | syl3anc 1369 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
29 | 2, 26, 8 | grpnpcan 18987 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง ๐น โ ๐ต โง ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) โ ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น) |
30 | 22, 23, 20, 29 | syl3anc 1369 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น) |
31 | 12, 28, 30 | 3eqtrrd 2773 | 1 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐น = (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Basecbs 17179 +gcplusg 17232 .rcmulr 17233 Grpcgrp 18889 -gcsg 18891 Abelcabl 19735 Ringcrg 20172 Poly1cpl1 22095 Unic1pcuc1p 26061 quot1pcq1p 26062 rem1pcr1p 26063 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 ax-addf 11217 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-of 7685 df-ofr 7686 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8166 df-tpos 8231 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-1o 8486 df-er 8724 df-map 8846 df-pm 8847 df-ixp 8916 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-fin 8967 df-fsupp 9386 df-sup 9465 df-oi 9533 df-card 9962 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-seq 13999 df-hash 14322 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-starv 17247 df-sca 17248 df-vsca 17249 df-ip 17250 df-tset 17251 df-ple 17252 df-ds 17254 df-unif 17255 df-hom 17256 df-cco 17257 df-0g 17422 df-gsum 17423 df-prds 17428 df-pws 17430 df-mre 17565 df-mrc 17566 df-acs 17568 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-mhm 18739 df-submnd 18740 df-grp 18892 df-minusg 18893 df-sbg 18894 df-mulg 19023 df-subg 19077 df-ghm 19167 df-cntz 19267 df-cmn 19736 df-abl 19737 df-mgp 20074 df-rng 20092 df-ur 20121 df-ring 20174 df-cring 20175 df-oppr 20272 df-dvdsr 20295 df-unit 20296 df-invr 20326 df-subrng 20482 df-subrg 20507 df-lmod 20744 df-lss 20815 df-rlreg 21229 df-cnfld 21279 df-psr 21841 df-mvr 21842 df-mpl 21843 df-opsr 21845 df-psr1 22098 df-vr1 22099 df-ply1 22100 df-coe1 22101 df-mdeg 25987 df-deg1 25988 df-uc1p 26066 df-q1p 26067 df-r1p 26068 |
This theorem is referenced by: ply1rem 26099 r1pid2 33275 irredminply 33384 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |