MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pid 26040
Description: Express the original polynomial ๐น as ๐น = (๐‘ž ยท ๐บ) + ๐‘Ÿ using the quotient and remainder functions for ๐‘ž and ๐‘Ÿ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
r1pid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
r1pid.c ๐ถ = (Unic1pโ€˜๐‘…)
r1pid.q ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
r1pid.e ๐ธ = (rem1pโ€˜๐‘…)
r1pid.t ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
r1pid.m + = (+gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
r1pid ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐น = (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)))

Proof of Theorem r1pid
StepHypRef Expression
1 r1pid.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 r1pid.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 r1pid.c . . . . . 6 ๐ถ = (Unic1pโ€˜๐‘…)
41, 2, 3uc1pcl 26023 . . . . 5 (๐บ โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
5 r1pid.e . . . . . 6 ๐ธ = (rem1pโ€˜๐‘…)
6 r1pid.q . . . . . 6 ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
7 r1pid.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (-gโ€˜๐‘ƒ) = (-gโ€˜๐‘ƒ)
95, 1, 2, 6, 7, 8r1pval 26037 . . . . 5 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
104, 9sylan2 592 . . . 4 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
11103adant1 1127 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
1211oveq2d 7418 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)) = (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))))
131ply1ring 22110 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
14133ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
15 ringabl 20176 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Abel)
1614, 15syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Abel)
176, 1, 2, 3q1pcl 26036 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น๐‘„๐บ) โˆˆ ๐ต)
1843ad2ant3 1132 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
192, 7ringcl 20151 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง (๐น๐‘„๐บ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต)
2014, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต)
21 ringgrp 20139 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Grp)
2214, 21syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Grp)
23 simp2 1134 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
242, 8grpsubcl 18944 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ Grp โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ ๐ต)
2522, 23, 20, 24syl3anc 1368 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ ๐ต)
26 r1pid.m . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘ƒ)
272, 26ablcom 19715 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Abel โˆง ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
2816, 20, 25, 27syl3anc 1368 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
292, 26, 8grpnpcan 18956 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Grp โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น)
3022, 23, 20, 29syl3anc 1368 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น)
3112, 28, 303eqtrrd 2769 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐น = (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  Abelcabl 19697  Ringcrg 20134  Poly1cpl1 22040  Unic1pcuc1p 26006  quot1pcq1p 26007  rem1pcr1p 26008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-rlreg 21189  df-cnfld 21235  df-psr 21792  df-mvr 21793  df-mpl 21794  df-opsr 21796  df-psr1 22043  df-vr1 22044  df-ply1 22045  df-coe1 22046  df-mdeg 25932  df-deg1 25933  df-uc1p 26011  df-q1p 26012  df-r1p 26013
This theorem is referenced by:  ply1rem  26044  r1pid2  33174  irredminply  33283
  Copyright terms: Public domain W3C validator