Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pid 24763
 Description: Express the original polynomial 𝐹 as 𝐹 = (𝑞 · 𝐺) + 𝑟 using the quotient and remainder functions for 𝑞 and 𝑟. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
r1pid.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pid.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
r1pid.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
r1pid.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
r1pid.t · = (.r𝑃)
r1pid.m + = (+g𝑃)
Assertion
Ref Expression
r1pid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Proof of Theorem r1pid
StepHypRef Expression
1 r1pid.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 r1pid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 r1pid.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
41, 2, 3uc1pcl 24747 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
5 r1pid.e . . . . . 6 𝐸 = (rem1p𝑅)
6 r1pid.q . . . . . 6 𝑄 = (quot1p𝑅)
7 r1pid.t . . . . . 6 · = (.r𝑃)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (-g𝑃) = (-g𝑃)
95, 1, 2, 6, 7, 8r1pval 24760 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
104, 9sylan2 595 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
11103adant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
1211oveq2d 7165 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)) = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))))
131ply1ring 20416 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
15 ringabl 19333 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Abel)
176, 1, 2, 3q1pcl 24759 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
1843ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
192, 7ringcl 19314 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
2014, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
21 ringgrp 19302 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
2214, 21syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
23 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
242, 8grpsubcl 18179 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
2522, 23, 20, 24syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
26 r1pid.m . . . 4 + = (+g𝑃)
272, 26ablcom 18924 . . 3 ((𝑃 ∈ Abel ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
2816, 20, 25, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
292, 26, 8grpnpcan 18191 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
3022, 23, 20, 29syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
3112, 28, 303eqtrrd 2864 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  Grpcgrp 18103  -gcsg 18105  Abelcabl 18907  Ringcrg 19297  Poly1cpl1 20345  Unic1pcuc1p 24730  quot1pcq1p 24731  rem1pcr1p 24732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-rlreg 20056  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-vr1 20349  df-ply1 20350  df-coe1 20351  df-cnfld 20546  df-mdeg 24659  df-deg1 24660  df-uc1p 24735  df-q1p 24736  df-r1p 24737 This theorem is referenced by:  ply1rem  24767
 Copyright terms: Public domain W3C validator