MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pid 26095
Description: Express the original polynomial ๐น as ๐น = (๐‘ž ยท ๐บ) + ๐‘Ÿ using the quotient and remainder functions for ๐‘ž and ๐‘Ÿ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
r1pid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
r1pid.c ๐ถ = (Unic1pโ€˜๐‘…)
r1pid.q ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
r1pid.e ๐ธ = (rem1pโ€˜๐‘…)
r1pid.t ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
r1pid.m + = (+gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
r1pid ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐น = (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)))

Proof of Theorem r1pid
StepHypRef Expression
1 r1pid.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 r1pid.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 r1pid.c . . . . . 6 ๐ถ = (Unic1pโ€˜๐‘…)
41, 2, 3uc1pcl 26078 . . . . 5 (๐บ โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
5 r1pid.e . . . . . 6 ๐ธ = (rem1pโ€˜๐‘…)
6 r1pid.q . . . . . 6 ๐‘„ = (quot1pโ€˜๐‘…)
7 r1pid.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘ƒ)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (-gโ€˜๐‘ƒ) = (-gโ€˜๐‘ƒ)
95, 1, 2, 6, 7, 8r1pval 26092 . . . . 5 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
104, 9sylan2 592 . . . 4 ((๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
11103adant1 1128 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
1211oveq2d 7436 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)) = (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))))
131ply1ring 22165 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
14133ad2ant1 1131 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
15 ringabl 20216 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Abel)
1614, 15syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Abel)
176, 1, 2, 3q1pcl 26091 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น๐‘„๐บ) โˆˆ ๐ต)
1843ad2ant3 1133 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
192, 7ringcl 20189 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง (๐น๐‘„๐บ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต)
2014, 17, 18, 19syl3anc 1369 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต)
21 ringgrp 20177 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Grp)
2214, 21syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Grp)
23 simp2 1135 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
242, 8grpsubcl 18975 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ Grp โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ ๐ต)
2522, 23, 20, 24syl3anc 1369 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ ๐ต)
26 r1pid.m . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘ƒ)
272, 26ablcom 19753 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Abel โˆง ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
2816, 20, 25, 27syl3anc 1369 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)))
292, 26, 8grpnpcan 18987 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Grp โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น)
3022, 23, 20, 29syl3anc 1369 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐น(-gโ€˜๐‘ƒ)((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น)
3112, 28, 303eqtrrd 2773 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐น = (((๐น๐‘„๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Grpcgrp 18889  -gcsg 18891  Abelcabl 19735  Ringcrg 20172  Poly1cpl1 22095  Unic1pcuc1p 26061  quot1pcq1p 26062  rem1pcr1p 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-rlreg 21229  df-cnfld 21279  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22098  df-vr1 22099  df-ply1 22100  df-coe1 22101  df-mdeg 25987  df-deg1 25988  df-uc1p 26066  df-q1p 26067  df-r1p 26068
This theorem is referenced by:  ply1rem  26099  r1pid2  33275  irredminply  33384
  Copyright terms: Public domain W3C validator