![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > r1pid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Express the original polynomial ๐น as ๐น = (๐ ยท ๐บ) + ๐ using the quotient and remainder functions for ๐ and ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
r1pid.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
r1pid.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
r1pid.c | โข ๐ถ = (Unic1pโ๐ ) |
r1pid.q | โข ๐ = (quot1pโ๐ ) |
r1pid.e | โข ๐ธ = (rem1pโ๐ ) |
r1pid.t | โข ยท = (.rโ๐) |
r1pid.m | โข + = (+gโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
r1pid | โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐น = (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | r1pid.p | . . . . . 6 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
2 | r1pid.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
3 | r1pid.c | . . . . . 6 โข ๐ถ = (Unic1pโ๐ ) | |
4 | 1, 2, 3 | uc1pcl 26023 | . . . . 5 โข (๐บ โ ๐ถ โ ๐บ โ ๐ต) |
5 | r1pid.e | . . . . . 6 โข ๐ธ = (rem1pโ๐ ) | |
6 | r1pid.q | . . . . . 6 โข ๐ = (quot1pโ๐ ) | |
7 | r1pid.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐) | |
8 | eqid 2724 | . . . . . 6 โข (-gโ๐) = (-gโ๐) | |
9 | 5, 1, 2, 6, 7, 8 | r1pval 26037 | . . . . 5 โข ((๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ต) โ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
10 | 4, 9 | sylan2 592 | . . . 4 โข ((๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
11 | 10 | 3adant1 1127 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น๐ธ๐บ) = (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
12 | 11 | oveq2d 7418 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ)) = (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)))) |
13 | 1 | ply1ring 22110 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Ring) |
14 | 13 | 3ad2ant1 1130 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐ โ Ring) |
15 | ringabl 20176 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Abel) | |
16 | 14, 15 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐ โ Abel) |
17 | 6, 1, 2, 3 | q1pcl 26036 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น๐๐บ) โ ๐ต) |
18 | 4 | 3ad2ant3 1132 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐บ โ ๐ต) |
19 | 2, 7 | ringcl 20151 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง (๐น๐๐บ) โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ต) โ ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) |
20 | 14, 17, 18, 19 | syl3anc 1368 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) |
21 | ringgrp 20139 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
22 | 14, 21 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐ โ Grp) |
23 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐น โ ๐ต) | |
24 | 2, 8 | grpsubcl 18944 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง ๐น โ ๐ต โง ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) โ (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) โ ๐ต) |
25 | 22, 23, 20, 24 | syl3anc 1368 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) โ ๐ต) |
26 | r1pid.m | . . . 4 โข + = (+gโ๐) | |
27 | 2, 26 | ablcom 19715 | . . 3 โข ((๐ โ Abel โง ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต โง (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) โ ๐ต) โ (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
28 | 16, 20, 25, 27 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) = ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ))) |
29 | 2, 26, 8 | grpnpcan 18956 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง ๐น โ ๐ต โง ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) โ ๐ต) โ ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น) |
30 | 22, 23, 20, 29 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ((๐น(-gโ๐)((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) + ((๐น๐๐บ) ยท ๐บ)) = ๐น) |
31 | 12, 28, 30 | 3eqtrrd 2769 | 1 โข ((๐ โ Ring โง ๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ถ) โ ๐น = (((๐น๐๐บ) ยท ๐บ) + (๐น๐ธ๐บ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Basecbs 17149 +gcplusg 17202 .rcmulr 17203 Grpcgrp 18859 -gcsg 18861 Abelcabl 19697 Ringcrg 20134 Poly1cpl1 22040 Unic1pcuc1p 26006 quot1pcq1p 26007 rem1pcr1p 26008 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 ax-addf 11186 ax-mulf 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-ofr 7665 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-tpos 8207 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-fz 13486 df-fzo 13629 df-seq 13968 df-hash 14292 df-struct 17085 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-ress 17179 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-starv 17217 df-sca 17218 df-vsca 17219 df-ip 17220 df-tset 17221 df-ple 17222 df-ds 17224 df-unif 17225 df-hom 17226 df-cco 17227 df-0g 17392 df-gsum 17393 df-prds 17398 df-pws 17400 df-mre 17535 df-mrc 17536 df-acs 17538 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-mhm 18709 df-submnd 18710 df-grp 18862 df-minusg 18863 df-sbg 18864 df-mulg 18992 df-subg 19046 df-ghm 19135 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-abl 19699 df-mgp 20036 df-rng 20054 df-ur 20083 df-ring 20136 df-cring 20137 df-oppr 20232 df-dvdsr 20255 df-unit 20256 df-invr 20286 df-subrng 20442 df-subrg 20467 df-lmod 20704 df-lss 20775 df-rlreg 21189 df-cnfld 21235 df-psr 21792 df-mvr 21793 df-mpl 21794 df-opsr 21796 df-psr1 22043 df-vr1 22044 df-ply1 22045 df-coe1 22046 df-mdeg 25932 df-deg1 25933 df-uc1p 26011 df-q1p 26012 df-r1p 26013 |
This theorem is referenced by: ply1rem 26044 r1pid2 33174 irredminply 33283 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |