Theorem r1pid 26299

Description: Express the original polynomial 𝐹 as 𝐹 = (𝑞 · 𝐺) + 𝑟 using the quotient and remainder functions for 𝑞 and 𝑟. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pid.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
r1pid.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pid.m	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
r1pid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Proof of Theorem r1pid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		r1pid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		r1pid.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 26282	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5		r1pid.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
6		r1pid.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
7		r1pid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
9	5, 1, 2, 6, 7, 8	r1pval 26296	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
10	4, 9	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
11	10	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
12	11	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)) = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))))
13	1	ply1ring 22388	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringabl 20365	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Abel)
17	6, 1, 2, 3	q1pcl 26295	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
18	4	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	2, 7	ringcl 20333	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
21		ringgrp 20321	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
22	14, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
23		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	2, 8	grpsubcl 19087	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
25	22, 23, 20, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
26		r1pid.m	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
27	2, 26	ablcom 19870	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
28	16, 20, 25, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
29	2, 26, 8	grpnpcan 19099	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
30	22, 23, 20, 29	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
31	12, 28, 30	3eqtrrd 2803	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003  Abelcabl 19852  Ringcrg 20316  Poly₁cpl1 22318  Unic_1pcuc1p 26265  quot_1pcq1p 26266  rem_1pcr1p 26267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-rlreg 20780  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-cnfld 21504  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-mdeg 26193  df-deg1 26194  df-uc1p 26270  df-q1p 26271  df-r1p 26272

This theorem is referenced by:  r1pid2  26300  ply1rem  26304  irredminply  34087