MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pid 26089
Description: Express the original polynomial 𝐹 as 𝐹 = (𝑞 · 𝐺) + 𝑟 using the quotient and remainder functions for 𝑞 and 𝑟. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
r1pid.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pid.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
r1pid.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
r1pid.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
r1pid.t · = (.r𝑃)
r1pid.m + = (+g𝑃)
Assertion
Ref Expression
r1pid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))

Proof of Theorem r1pid
StepHypRef Expression
1 r1pid.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 r1pid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 r1pid.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
41, 2, 3uc1pcl 26072 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
5 r1pid.e . . . . . 6 𝐸 = (rem1p𝑅)
6 r1pid.q . . . . . 6 𝑄 = (quot1p𝑅)
7 r1pid.t . . . . . 6 · = (.r𝑃)
8 eqid 2727 . . . . . 6 (-g𝑃) = (-g𝑃)
95, 1, 2, 6, 7, 8r1pval 26086 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
104, 9sylan2 592 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
11103adant1 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
1211oveq2d 7430 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)) = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))))
131ply1ring 22159 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
15 ringabl 20210 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Abel)
176, 1, 2, 3q1pcl 26085 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
1843ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
192, 7ringcl 20183 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
2014, 17, 18, 19syl3anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵)
21 ringgrp 20171 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
2214, 21syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
23 simp2 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
242, 8grpsubcl 18969 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
2522, 23, 20, 24syl3anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵)
26 r1pid.m . . . 4 + = (+g𝑃)
272, 26ablcom 19747 . . 3 ((𝑃 ∈ Abel ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
2816, 20, 25, 27syl3anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))) = ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
292, 26, 8grpnpcan 18981 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
3022, 23, 20, 29syl3anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) + ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)) = 𝐹)
3112, 28, 303eqtrrd 2772 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹 = (((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) + (𝐹𝐸𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  .rcmulr 17227  Grpcgrp 18883  -gcsg 18885  Abelcabl 19729  Ringcrg 20166  Poly1cpl1 22089  Unic1pcuc1p 26055  quot1pcq1p 26056  rem1pcr1p 26057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-rlreg 21223  df-cnfld 21273  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-mdeg 25981  df-deg1 25982  df-uc1p 26060  df-q1p 26061  df-r1p 26062
This theorem is referenced by:  ply1rem  26093  r1pid2  33265  irredminply  33374
  Copyright terms: Public domain W3C validator