Theorem lfladdcom 39028

Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdcom	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem lfladdcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6935	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 39019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 39019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13	4	lmodring 20888	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14		ringabl 20304	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
15	2, 13, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Abel)
17		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
18		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	ablcom 19841	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
22	1, 9, 12, 21	caofcom 7750	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314  Abelcabl 19823  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  LFnlclfn 39013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lfl 39014

This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  39096