Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdcom 38455
Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfladdcl.p + = (+gβ€˜π‘…)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfladdcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfladdcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdcom (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem lfladdcom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6900 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
2 lfladdcl.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lfladdcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7lflf 38446 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
92, 3, 8syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
10 lfladdcl.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
114, 5, 6, 7lflf 38446 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
122, 10, 11syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
134lmodring 20714 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 ringabl 20180 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
152, 13, 143syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
1615adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
17 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
18 simprr 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 lfladdcl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
205, 19ablcom 19719 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
2116, 17, 18, 20syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
221, 9, 12, 21caofcom 7702 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209  Abelcabl 19701  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  LFnlclfn 38440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lfl 38441
This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  38523
  Copyright terms: Public domain W3C validator