Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdcom 39073
Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p + = (+g𝑅)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g (𝜑𝐺𝐹)
lfladdcl.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdcom (𝜑 → (𝐺f + 𝐻) = (𝐻f + 𝐺))

Proof of Theorem lfladdcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6921 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2 lfladdcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lfladdcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
4 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
84, 5, 6, 7lflf 39064 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
92, 3, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10 lfladdcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
114, 5, 6, 7lflf 39064 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
122, 10, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
134lmodring 20866 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14 ringabl 20278 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
152, 13, 143syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Abel)
17 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
18 simprr 773 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
19 lfladdcl.p . . . 4 + = (+g𝑅)
205, 19ablcom 19817 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2116, 17, 18, 20syl3anc 1373 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
221, 9, 12, 21caofcom 7734 1 (𝜑 → (𝐺f + 𝐻) = (𝐻f + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  Abelcabl 19799  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LFnlclfn 39058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lfl 39059
This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  39141
  Copyright terms: Public domain W3C validator