Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdcom 38600
Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfladdcl.p + = (+gβ€˜π‘…)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfladdcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfladdcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdcom (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem lfladdcom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6907 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
2 lfladdcl.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lfladdcl.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7lflf 38591 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
92, 3, 8syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
10 lfladdcl.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
114, 5, 6, 7lflf 38591 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ 𝐻:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
122, 10, 11syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘…))
134lmodring 20755 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 ringabl 20221 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
152, 13, 143syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
1615adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
17 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
18 simprr 771 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 lfladdcl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
205, 19ablcom 19758 . . 3 ((𝑅 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
2116, 17, 18, 20syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
221, 9, 12, 21caofcom 7718 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235  Abelcabl 19740  Ringcrg 20177  LModclmod 20747  LFnlclfn 38585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lfl 38586
This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  38668
  Copyright terms: Public domain W3C validator