Theorem lfladdcom 39170

Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdcom	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem lfladdcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 39161	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 39161	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13	4	lmodring 20801	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14		ringabl 20199	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
15	2, 13, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Abel)
17		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
18		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	ablcom 19711	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
22	1, 9, 12, 21	caofcom 7647	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164  Abelcabl 19693  Ringcrg 20151  LModclmod 20793  LFnlclfn 39155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-lfl 39156

This theorem is referenced by:  ldualvaddcom  39238