Theorem lfladdcom 40130

Description: Commutativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdcom	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem lfladdcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 40121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 40121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13	4	lmodring 21143	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14		ringabl 20510	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
15	2, 13, 14	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Abel)
17		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
18		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	ablcom 20013	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
22	1, 9, 12, 21	caofcom 7730	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f + 𝐻) = (𝐻 ∘f + 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431  Abelcabl 19995  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  LFnlclfn 40115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lfl 40116

This theorem is used by:  ldualvaddcom  40198