MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmnegsubdi2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmnegsubdi2 24853
Description: Distribution of negative over vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmpm1dir.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
clmpm1dir.a + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmnegsubdi2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))) = (𝐡 + (-1 Β· 𝐴)))
Proof of Theorem clmnegsubdi2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
2 eqid 2731 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
42, 3clmneg1 24830 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
543ad2ant1 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6 simp2 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
84adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
9 simpr 484 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
10 clmpm1dir.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 clmpm1dir.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1210, 2, 11, 3clmvscl 24836 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
137, 8, 9, 12syl3anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
14133adant2 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
15 clmpm1dir.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
1610, 2, 11, 3, 15clmvsdi 24840 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)) β†’ (-1 Β· (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))) = ((-1 Β· 𝐴) + (-1 Β· (-1 Β· 𝐡))))
171, 5, 6, 14, 16syl13anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))) = ((-1 Β· 𝐴) + (-1 Β· (-1 Β· 𝐡))))
1810, 11, 15clmnegneg 24852 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· (-1 Β· 𝐡)) = 𝐡)
19183adant2 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· (-1 Β· 𝐡)) = 𝐡)
2019oveq2d 7428 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((-1 Β· 𝐴) + (-1 Β· (-1 Β· 𝐡))) = ((-1 Β· 𝐴) + 𝐡))
21 clmabl 24817 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Abel)
22213ad2ant1 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ Abel)
23 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
244adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
25 simpr 484 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2610, 2, 11, 3clmvscl 24836 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
28273adant3 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
29 simp3 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
3010, 15ablcom 19709 . . 3 ((π‘Š ∈ Abel ∧ (-1 Β· 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((-1 Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-1 Β· 𝐴)))
3122, 28, 29, 30syl3anc 1370 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((-1 Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-1 Β· 𝐴)))
3217, 20, 313eqtrd 2775 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· (𝐴 + (-1 Β· 𝐡))) = (𝐡 + (-1 Β· 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  1c1 11114  -cneg 11450  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Abelcabl 19691  β„‚Modcclm 24810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-cnfld 21146  df-clm 24811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator