Theorem lflsub 36363

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 29826 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsub.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
lflsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a	⊢ − = (-g‘𝑊)
lflsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflsub	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lflsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp3l 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lflsub.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 19635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6		ringgrp 19295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
10	8, 9	ringidcl 19314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐷) = (invg‘𝐷)
13	8, 12	grpinvcl 18143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
14	7, 11, 13	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15		simp3r 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lflsub.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	16, 3, 17, 8	lmodvscl 19644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
19	1, 14, 15, 18	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
21	16, 20	lmodcom 19673	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
22	1, 2, 19, 21	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
23	22	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)))
24		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
26		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
27		lflsub.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
28	16, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27	lfli 36357	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
29	1, 24, 14, 15, 2, 28	syl113anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
30	3, 8, 16, 27	lflcl 36360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31	30	3adant3l 1177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
32	8, 26, 9, 12, 5, 31	ringnegl 19340	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌)) = ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)))
33	32	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
34		ringabl 19326	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
35	5, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
36	8, 12	grpinvcl 18143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
37	7, 31, 36	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
38	3, 8, 16, 27	lflcl 36360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39	38	3adant3r 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
40	8, 25	ablcom 18916	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
42	33, 41	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
43	23, 29, 42	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
44		lflsub.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
45	16, 20, 44, 3, 17, 12, 9	lmodvsubval2 19682	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
46	1, 2, 15, 45	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
47	46	fveq2d 6649	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
48		lflsub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
49	8, 25, 12, 48	grpsubval 18141	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
50	39, 31, 49	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
51	43, 47, 50	3eqtr4d 2843	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  -_gcsg 18097  Abelcabl 18899  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LFnlclfn 36353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lfl 36354

This theorem is referenced by:  eqlkr  36395  lkrlsp  36398  lclkrlem2m  38815  hdmaplns1  39204