Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsub 37579
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 31034 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsub.m 𝑀 = (-gβ€˜π·)
lflsub.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsub.a βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lflsub.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lflsub ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp3l 1202 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20373 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
543ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
6 ringgrp 19977 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
9 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
108, 9ringidcl 19997 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π·) = (invgβ€˜π·)
138, 12grpinvcl 18806 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
147, 11, 13syl2anc 585 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
15 simp3r 1203 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 lflsub.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 20383 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
191, 14, 15, 18syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
20 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
2116, 20lmodcom 20412 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
221, 2, 19, 21syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
2322fveq2d 6850 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
24 simp2 1138 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
25 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
26 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
27 lflsub.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 37573 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1383 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
303, 8, 16, 27lflcl 37576 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
31303adant3l 1181 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 20026 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))
3332oveq1d 7376 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
34 ringabl 20010 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Abel)
355, 34syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Abel)
368, 12grpinvcl 18806 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
377, 31, 36syl2anc 585 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
383, 8, 16, 27lflcl 37576 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
39383adant3r 1182 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
408, 25ablcom 19589 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4233, 41eqtrd 2773 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4323, 29, 423eqtrd 2777 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
44 lflsub.a . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 20421 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
461, 2, 15, 45syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
4746fveq2d 6850 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
48 lflsub.m . . . 4 𝑀 = (-gβ€˜π·)
498, 25, 12, 48grpsubval 18804 . . 3 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5039, 31, 49syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5143, 47, 503eqtr4d 2783 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  Abelcabl 19571  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  LFnlclfn 37569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-lfl 37570
This theorem is referenced by:  eqlkr  37611  lkrlsp  37614  lclkrlem2m  40032  hdmaplns1  40421
  Copyright terms: Public domain W3C validator