Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflsub 38539
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 31852 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsub.m 𝑀 = (-gβ€˜π·)
lflsub.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsub.a βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lflsub.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lflsub ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp3l 1199 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20750 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
543ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
6 ringgrp 20177 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
8 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
9 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
108, 9ringidcl 20201 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
12 eqid 2728 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π·) = (invgβ€˜π·)
138, 12grpinvcl 18943 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
147, 11, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
15 simp3r 1200 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 lflsub.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2728 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 20760 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
191, 14, 15, 18syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
20 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
2116, 20lmodcom 20790 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
221, 2, 19, 21syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
2322fveq2d 6901 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
24 simp2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
25 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
26 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
27 lflsub.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 38533 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1380 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
303, 8, 16, 27lflcl 38536 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
31303adant3l 1178 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 20237 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))
3332oveq1d 7435 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
34 ringabl 20216 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Abel)
355, 34syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Abel)
368, 12grpinvcl 18943 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
377, 31, 36syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
383, 8, 16, 27lflcl 38536 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
39383adant3r 1179 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
408, 25ablcom 19753 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4233, 41eqtrd 2768 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4323, 29, 423eqtrd 2772 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
44 lflsub.a . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 20799 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
461, 2, 15, 45syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
4746fveq2d 6901 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
48 lflsub.m . . . 4 𝑀 = (-gβ€˜π·)
498, 25, 12, 48grpsubval 18941 . . 3 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5039, 31, 49syl2anc 583 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5143, 47, 503eqtr4d 2778 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  Grpcgrp 18889  invgcminusg 18890  -gcsg 18891  Abelcabl 19735  1rcur 20120  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LFnlclfn 38529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lfl 38530
This theorem is referenced by:  eqlkr  38571  lkrlsp  38574  lclkrlem2m  40992  hdmaplns1  41381
  Copyright terms: Public domain W3C validator