Theorem lflsub 39560

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 32139 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsub.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
lflsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a	⊢ − = (-g‘𝑊)
lflsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflsub	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lflsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp3l 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lflsub.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 20865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6		ringgrp 20217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
10	8, 9	ringidcl 20244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐷) = (invg‘𝐷)
13	8, 12	grpinvcl 18961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
14	7, 11, 13	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15		simp3r 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lflsub.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	16, 3, 17, 8	lmodvscl 20875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
19	1, 14, 15, 18	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
21	16, 20	lmodcom 20905	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
22	1, 2, 19, 21	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
23	22	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)))
24		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
27		lflsub.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
28	16, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27	lfli 39554	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
29	1, 24, 14, 15, 2, 28	syl113anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
30	3, 8, 16, 27	lflcl 39557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31	30	3adant3l 1187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
32	8, 26, 9, 12, 5, 31	ringnegl 20281	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌)) = ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)))
33	32	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
34		ringabl 20260	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
35	5, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
36	8, 12	grpinvcl 18961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
37	7, 31, 36	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
38	3, 8, 16, 27	lflcl 39557	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39	38	3adant3r 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
40	8, 25	ablcom 19772	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
42	33, 41	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
43	23, 29, 42	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
44		lflsub.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
45	16, 20, 44, 3, 17, 12, 9	lmodvsubval2 20914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
46	1, 2, 15, 45	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
47	46	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
48		lflsub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
49	8, 25, 12, 48	grpsubval 18959	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
50	39, 31, 49	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
51	43, 47, 50	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  -_gcsg 18909  Abelcabl 19754  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  LModclmod 20857  LFnlclfn 39550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20859  df-lfl 39551

This theorem is referenced by:  eqlkr  39592  lkrlsp  39595  lclkrlem2m  42012  hdmaplns1  42401