Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsub 37285
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 30514 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m 𝑀 = (-g𝐷)
lflsub.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a = (-g𝑊)
lflsub.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflsub ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)))

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 20203 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
543ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6 ringgrp 19856 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (1r𝐷) = (1r𝐷)
108, 9ringidcl 19875 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg𝐷) = (invg𝐷)
138, 12grpinvcl 18696 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
147, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15 simp3r 1201 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
16 lflsub.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
17 eqid 2737 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 20212 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌𝑉) → (((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
191, 14, 15, 18syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2116, 20lmodcom 20241 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
221, 2, 19, 21syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
2322fveq2d 6815 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)))
24 simp2 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐺𝐹)
25 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
26 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
27 lflsub.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 37279 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (𝐺‘((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)))
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1381 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)))
303, 8, 16, 27lflcl 37282 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑌𝑉) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31303adant3l 1179 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 19901 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌)) = ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)))
3332oveq1d 7330 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = (((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)))
34 ringabl 19887 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
355, 34syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
368, 12grpinvcl 18696 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
377, 31, 36syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
383, 8, 16, 27lflcl 37282 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39383adant3r 1180 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
408, 25ablcom 19472 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
4233, 41eqtrd 2777 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
4323, 29, 423eqtrd 2781 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
44 lflsub.a . . . . 5 = (-g𝑊)
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 20250 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
461, 2, 15, 45syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
4746fveq2d 6815 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌))))
48 lflsub.m . . . 4 𝑀 = (-g𝐷)
498, 25, 12, 48grpsubval 18694 . . 3 (((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
5039, 31, 49syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
5143, 47, 503eqtr4d 2787 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  +gcplusg 17032  .rcmulr 17033  Scalarcsca 17035   ·𝑠 cvsca 17036  Grpcgrp 18646  invgcminusg 18647  -gcsg 18648  Abelcabl 19455  1rcur 19805  Ringcrg 19851  LModclmod 20195  LFnlclfn 37275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-plusg 17045  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-lmod 20197  df-lfl 37276
This theorem is referenced by:  eqlkr  37317  lkrlsp  37320  lclkrlem2m  39738  hdmaplns1  40127
  Copyright terms: Public domain W3C validator