Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflsub 37932
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 31291 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsub.m 𝑀 = (-gβ€˜π·)
lflsub.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsub.a βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lflsub.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lflsub ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp3l 1201 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20478 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
543ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
6 ringgrp 20060 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
9 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
108, 9ringidcl 20082 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π·) = (invgβ€˜π·)
138, 12grpinvcl 18871 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
147, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
15 simp3r 1202 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 lflsub.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 20488 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
191, 14, 15, 18syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
20 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
2116, 20lmodcom 20517 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
221, 2, 19, 21syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
2322fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
24 simp2 1137 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
25 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
26 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
27 lflsub.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 37926 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1382 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
303, 8, 16, 27lflcl 37929 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
31303adant3l 1180 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 20113 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))
3332oveq1d 7423 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
34 ringabl 20097 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Abel)
355, 34syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Abel)
368, 12grpinvcl 18871 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
377, 31, 36syl2anc 584 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
383, 8, 16, 27lflcl 37929 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
39383adant3r 1181 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
408, 25ablcom 19666 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4233, 41eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4323, 29, 423eqtrd 2776 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
44 lflsub.a . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 20526 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
461, 2, 15, 45syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
4746fveq2d 6895 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
48 lflsub.m . . . 4 𝑀 = (-gβ€˜π·)
498, 25, 12, 48grpsubval 18869 . . 3 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5039, 31, 49syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5143, 47, 503eqtr4d 2782 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  -gcsg 18820  Abelcabl 19648  1rcur 20003  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  LFnlclfn 37922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lfl 37923
This theorem is referenced by:  eqlkr  37964  lkrlsp  37967  lclkrlem2m  40385  hdmaplns1  40774
  Copyright terms: Public domain W3C validator