Theorem lflsub 37285

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 30514 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsub.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
lflsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a	⊢ − = (-g‘𝑊)
lflsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflsub	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lflsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp3l 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lflsub.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 20203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6		ringgrp 19856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
10	8, 9	ringidcl 19875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐷) = (invg‘𝐷)
13	8, 12	grpinvcl 18696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
14	7, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15		simp3r 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lflsub.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	16, 3, 17, 8	lmodvscl 20212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
19	1, 14, 15, 18	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
21	16, 20	lmodcom 20241	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
22	1, 2, 19, 21	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
23	22	fveq2d 6815	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)))
24		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
27		lflsub.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
28	16, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27	lfli 37279	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
29	1, 24, 14, 15, 2, 28	syl113anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
30	3, 8, 16, 27	lflcl 37282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31	30	3adant3l 1179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
32	8, 26, 9, 12, 5, 31	ringnegl 19901	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌)) = ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)))
33	32	oveq1d 7330	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
34		ringabl 19887	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
35	5, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
36	8, 12	grpinvcl 18696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
37	7, 31, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
38	3, 8, 16, 27	lflcl 37282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39	38	3adant3r 1180	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
40	8, 25	ablcom 19472	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
42	33, 41	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
43	23, 29, 42	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
44		lflsub.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
45	16, 20, 44, 3, 17, 12, 9	lmodvsubval2 20250	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
46	1, 2, 15, 45	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
47	46	fveq2d 6815	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
48		lflsub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
49	8, 25, 12, 48	grpsubval 18694	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
50	39, 31, 49	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
51	43, 47, 50	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  +_gcplusg 17032  ._rcmulr 17033  Scalarcsca 17035   ·_𝑠 cvsca 17036  Grpcgrp 18646  inv_gcminusg 18647  -_gcsg 18648  Abelcabl 19455  1_rcur 19805  Ringcrg 19851  LModclmod 20195  LFnlclfn 37275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-plusg 17045  df-0g 17222  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-lmod 20197  df-lfl 37276

This theorem is referenced by:  eqlkr  37317  lkrlsp  37320  lclkrlem2m  39738  hdmaplns1  40127