Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsub 36311
 Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 29832 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m 𝑀 = (-g𝐷)
lflsub.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a = (-g𝑊)
lflsub.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflsub ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)))

Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 19642 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
543ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6 ringgrp 19302 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (1r𝐷) = (1r𝐷)
108, 9ringidcl 19321 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12 eqid 2824 . . . . . . . 8 (invg𝐷) = (invg𝐷)
138, 12grpinvcl 18151 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
147, 11, 13syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15 simp3r 1199 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
16 lflsub.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
17 eqid 2824 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 19651 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌𝑉) → (((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
191, 14, 15, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2116, 20lmodcom 19680 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
221, 2, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
2322fveq2d 6665 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)))
24 simp2 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐺𝐹)
25 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
26 eqid 2824 . . . . 5 (.r𝐷) = (.r𝐷)
27 lflsub.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 36305 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invg𝐷)‘(1r𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (𝐺‘((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)))
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1379 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘((((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)) = ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)))
303, 8, 16, 27lflcl 36308 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑌𝑉) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31303adant3l 1177 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 19347 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌)) = ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)))
3332oveq1d 7164 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = (((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)))
34 ringabl 19333 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
355, 34syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
368, 12grpinvcl 18151 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
377, 31, 36syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
383, 8, 16, 27lflcl 36308 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39383adant3r 1178 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
408, 25ablcom 18924 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg𝐷)‘(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
4233, 41eqtrd 2859 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((((invg𝐷)‘(1r𝐷))(.r𝐷)(𝐺𝑌))(+g𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
4323, 29, 423eqtrd 2863 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
44 lflsub.a . . . . 5 = (-g𝑊)
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 19689 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
461, 2, 15, 45syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
4746fveq2d 6665 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g𝑊)(((invg𝐷)‘(1r𝐷))( ·𝑠𝑊)𝑌))))
48 lflsub.m . . . 4 𝑀 = (-g𝐷)
498, 25, 12, 48grpsubval 18149 . . 3 (((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
5039, 31, 49syl2anc 587 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋)(+g𝐷)((invg𝐷)‘(𝐺𝑌))))
5143, 47, 503eqtr4d 2869 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐺𝑋)𝑀(𝐺𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  -gcsg 18105  Abelcabl 18907  1rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  LFnlclfn 36301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-lfl 36302 This theorem is referenced by:  eqlkr  36343  lkrlsp  36346  lclkrlem2m  38763  hdmaplns1  39152
 Copyright terms: Public domain W3C validator