Theorem lflsub 39882

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 32432 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsub.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
lflsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a	⊢ − = (-g‘𝑊)
lflsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflsub	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lflsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lflsub.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 21026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6		ringgrp 20351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
10	8, 9	ringidcl 20380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
11	5, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐷) = (invg‘𝐷)
13	8, 12	grpinvcl 19085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
14	7, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lflsub.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	16, 3, 17, 8	lmodvscl 21036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
19	1, 14, 15, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
21	16, 20	lmodcom 21066	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
22	1, 2, 19, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
23	22	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)))
24		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
26		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
27		lflsub.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
28	16, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27	lfli 39876	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
29	1, 24, 14, 15, 2, 28	syl113anc 1409	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
30	3, 8, 16, 27	lflcl 39879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31	30	3adant3l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
32	8, 26, 9, 12, 5, 31	ringnegl 20418	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌)) = ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)))
33	32	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
34		ringabl 20396	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
35	5, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
36	8, 12	grpinvcl 19085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
37	7, 31, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
38	3, 8, 16, 27	lflcl 39879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39	38	3adant3r 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
40	8, 25	ablcom 19900	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
42	33, 41	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
43	23, 29, 42	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
44		lflsub.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
45	16, 20, 44, 3, 17, 12, 9	lmodvsubval2 21075	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
46	1, 2, 15, 45	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
47	46	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
48		lflsub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
49	8, 25, 12, 48	grpsubval 19083	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
50	39, 31, 49	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
51	43, 47, 50	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  Grpcgrp 19031  inv_gcminusg 19032  -_gcsg 19033  Abelcabl 19882  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  LModclmod 21018  LFnlclfn 39872

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-lmod 21020  df-lfl 39873

This theorem is used by:  eqlkr  39914  lkrlsp  39917  lclkrlem2m  42334  hdmaplns1  42723