Theorem lflsub 39948

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 32532 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsub.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsub.m	⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
lflsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsub.a	⊢ − = (-g‘𝑊)
lflsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflsub	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lflsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lflsub.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 21058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
6		ringgrp 20383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
8		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
9		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
10	8, 9	ringidcl 20412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
11	5, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐷) = (invg‘𝐷)
13	8, 12	grpinvcl 19117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
14	7, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷))
15		simp3r 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lflsub.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	16, 3, 17, 8	lmodvscl 21068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
19	1, 14, 15, 18	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
20		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
21	16, 20	lmodcom 21098	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
22	1, 2, 19, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
23	22	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)))
24		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
26		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
27		lflsub.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
28	16, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27	lfli 39942	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
29	1, 24, 14, 15, 2, 28	syl113anc 1409	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋)) = ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
30	3, 8, 16, 27	lflcl 39945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
31	30	3adant3l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
32	8, 26, 9, 12, 5, 31	ringnegl 20450	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌)) = ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)))
33	32	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
34		ringabl 20428	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Abel)
35	5, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Abel)
36	8, 12	grpinvcl 19117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
37	7, 31, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷))
38	3, 8, 16, 27	lflcl 39945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
39	38	3adant3r 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
40	8, 25	ablcom 19932	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
42	33, 41	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑌))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
43	23, 29, 42	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
44		lflsub.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
45	16, 20, 44, 3, 17, 12, 9	lmodvsubval2 21107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
46	1, 2, 15, 45	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
47	46	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐷)‘(1r‘𝐷))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
48		lflsub.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝐷)
49	8, 25, 12, 48	grpsubval 19115	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
50	39, 31, 49	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝐷)((invg‘𝐷)‘(𝐺‘𝑌))))
51	43, 47, 50	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)𝑀(𝐺‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  -_gcsg 19065  Abelcabl 19914  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  LFnlclfn 39938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-lfl 39939

This theorem is used by:  eqlkr  39980  lkrlsp  39983  lclkrlem2m  42400  hdmaplns1  42789