Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflsub 38441
Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 31791 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsub.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsub.m 𝑀 = (-gβ€˜π·)
lflsub.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsub.a βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lflsub.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lflsub ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lflsub
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp3l 1198 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lflsub.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20710 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
543ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
6 ringgrp 20139 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
8 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
9 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
108, 9ringidcl 20161 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
12 eqid 2724 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π·) = (invgβ€˜π·)
138, 12grpinvcl 18913 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
147, 11, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·))
15 simp3r 1199 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 lflsub.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2724 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1816, 3, 17, 8lmodvscl 20720 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
191, 14, 15, 18syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
20 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
2116, 20lmodcom 20750 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
221, 2, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
2322fveq2d 6886 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)))
24 simp2 1134 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
25 eqid 2724 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
26 eqid 2724 . . . . 5 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
27 lflsub.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2816, 20, 3, 17, 8, 25, 26, 27lfli 38435 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
291, 24, 14, 15, 2, 28syl113anc 1379 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
303, 8, 16, 27lflcl 38438 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
31303adant3l 1177 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
328, 26, 9, 12, 5, 31ringnegl 20197 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))
3332oveq1d 7417 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
34 ringabl 20176 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Abel)
355, 34syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Abel)
368, 12grpinvcl 18913 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
377, 31, 36syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·))
383, 8, 16, 27lflcl 38438 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
39383adant3r 1178 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
408, 25ablcom 19715 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Abel ∧ ((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4233, 41eqtrd 2764 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘Œ))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
4323, 29, 423eqtrd 2768 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
44 lflsub.a . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4516, 20, 44, 3, 17, 12, 9lmodvsubval2 20759 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
461, 2, 15, 45syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
4746fveq2d 6886 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (πΊβ€˜(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜π·)β€˜(1rβ€˜π·))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
48 lflsub.m . . . 4 𝑀 = (-gβ€˜π·)
498, 25, 12, 48grpsubval 18911 . . 3 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5039, 31, 49syl2anc 583 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π·)((invgβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘Œ))))
5143, 47, 503eqtr4d 2774 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑀(πΊβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Grpcgrp 18859  invgcminusg 18860  -gcsg 18861  Abelcabl 19697  1rcur 20082  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  LFnlclfn 38431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lfl 38432
This theorem is referenced by:  eqlkr  38473  lkrlsp  38476  lclkrlem2m  40894  hdmaplns1  41283
  Copyright terms: Public domain W3C validator