Theorem ablsubsub23 19895

Description: Swap subtrahend and result of group subtraction. (Contributed by NM, 14-Dec-2007.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubsub23.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
ablsubsub23.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub23	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) = 𝐵))

Proof of Theorem ablsubsub23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ablsubsub23.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	ablcom 19870	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)𝐶))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)𝐶))
8	7	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
9		ablgrp 19856	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10		ablsubsub23.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	4, 5, 10	grpsubadd 19095	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴))
12	9, 11	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴))
13		3ancomb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14	13	biimpi 219	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
15	4, 5, 10	grpsubadd 19095	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
16	9, 14, 15	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
17	8, 12, 16	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003  Abelcabl 19852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854

This theorem is referenced by: (None)