Theorem ablsubsub23 19847

Description: Swap subtrahend and result of group subtraction. (Contributed by NM, 14-Dec-2007.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubsub23.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
ablsubsub23.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub23	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) = 𝐵))

Proof of Theorem ablsubsub23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr3 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		simpr2 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ablsubsub23.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	ablcom 19822	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)𝐶))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)𝐶))
8	7	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
9		ablgrp 19808	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10		ablsubsub23.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	4, 5, 10	grpsubadd 19053	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴))
12	9, 11	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴))
13		3ancomb 1110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14	13	biimpi 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
15	4, 5, 10	grpsubadd 19053	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
16	9, 14, 15	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
17	8, 12, 16	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18958  -_gcsg 18960  Abelcabl 19804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806

This theorem is referenced by: (None)