Theorem ablsubsub23 19790

Description: Swap subtrahend and result of group subtraction. (Contributed by NM, 14-Dec-2007.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubsub23.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
ablsubsub23.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub23	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) = 𝐵))

Proof of Theorem ablsubsub23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ablsubsub23.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	ablcom 19765	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)𝐶))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)𝐶))
8	7	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
9		ablgrp 19751	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10		ablsubsub23.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	4, 5, 10	grpsubadd 18995	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴))
12	9, 11	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶(+g‘𝐺)𝐵) = 𝐴))
13		3ancomb 1099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14	13	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
15	4, 5, 10	grpsubadd 18995	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
16	9, 14, 15	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐵(+g‘𝐺)𝐶) = 𝐴))
17	8, 12, 16	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 − 𝐶) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  Abelcabl 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749

This theorem is referenced by: (None)