Theorem ablsubaddsub 19832

Description: Double subtraction and addition in abelian groups. (cnambpcma 47306 analog.) (Contributed by AV, 3-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubaddsub	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablsubaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	1, 2, 3	ablsubadd23 19831	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
5	4	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ablgrp 19803	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 3	grpsubcl 19038	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
14	1, 2	ablcom 19817	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
16	15	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋) = (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋))
17	1, 2, 3	grpaddsubass 19048	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
18	9, 13, 7, 7, 17	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 19, 3	grpsubid 19042	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
21	9, 7, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	21	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)))
23	1, 2, 19, 9, 13	grpridd 18988	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)) = (𝑍 − 𝑌))
24	18, 22, 23	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))
25	5, 16, 24	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  Abelcabl 19799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21311