Theorem ablsubaddsub 19755

Description: Double subtraction and addition in abelian groups. (cnambpcma 47654 analog.) (Contributed by AV, 3-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubaddsub	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablsubaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	1, 2, 3	ablsubadd23 19754	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
5	4	oveq1d 7383	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ablgrp 19726	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 3	grpsubcl 18962	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
14	1, 2	ablcom 19740	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
16	15	oveq1d 7383	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋) = (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋))
17	1, 2, 3	grpaddsubass 18972	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
18	9, 13, 7, 7, 17	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 19, 3	grpsubid 18966	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
21	9, 7, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	21	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)))
23	1, 2, 19, 9, 13	grpridd 18912	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)) = (𝑍 − 𝑌))
24	18, 22, 23	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))
25	5, 16, 24	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  Abelcabl 19722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21268