Theorem ablsubaddsub 19751

Description: Double subtraction and addition in abelian groups. (cnambpcma 47299 analog.) (Contributed by AV, 3-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubaddsub	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablsubaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	1, 2, 3	ablsubadd23 19750	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
5	4	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ablgrp 19722	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 3	grpsubcl 18959	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
14	1, 2	ablcom 19736	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
16	15	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋) = (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋))
17	1, 2, 3	grpaddsubass 18969	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
18	9, 13, 7, 7, 17	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
19		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 19, 3	grpsubid 18963	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
21	9, 7, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	21	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)))
23	1, 2, 19, 9, 13	grpridd 18909	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)) = (𝑍 − 𝑌))
24	18, 22, 23	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))
25	5, 16, 24	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  Abelcabl 19718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21218