Theorem ablsubaddsub 19940

Description: Double subtraction and addition in abelian groups. (cnambpcma 48167 analog.) (Contributed by AV, 3-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubaddsub	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablsubaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	1, 2, 3	ablsubadd23 19939	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
5	4	oveq1d 7431	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋))
6		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ablgrp 19911	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 3	grpsubcl 19142	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
14	1, 2	ablcom 19925	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
16	15	oveq1d 7431	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋) = (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋))
17	1, 2, 3	grpaddsubass 19152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
18	9, 13, 7, 7, 17	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
19		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 19, 3	grpsubid 19146	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
21	9, 7, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	21	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)))
23	1, 2, 19, 9, 13	grpridd 19093	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)) = (𝑍 − 𝑌))
24	18, 22, 23	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))
25	5, 16, 24	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  0_gc0g 17526  Grpcgrp 19056  -_gcsg 19058  Abelcabl 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-cmn 19908  df-abl 19909

This theorem is used by:  rngqiprngimfo  21503