Theorem ablsubaddsub 19768

Description: Double subtraction and addition in abelian groups. (cnambpcma 46733 analog.) (Contributed by AV, 3-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsubaddsub	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablsubaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	1, 2, 3	ablsubadd23 19767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
5	4	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋))
6		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		simpr1 1191	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ablgrp 19739	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 3	grpsubcl 18975	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵)
14	1, 2	ablcom 19753	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑌) + 𝑋))
16	15	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑍 − 𝑌)) − 𝑋) = (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋))
17	1, 2, 3	grpaddsubass 18985	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑍 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
18	9, 13, 7, 7, 17	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)))
19		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 19, 3	grpsubid 18979	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
21	9, 7, 20	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	21	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)))
23	1, 2, 19, 9, 13	grpridd 18926	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑌) + (0g‘𝐺)) = (𝑍 − 𝑌))
24	18, 22, 23	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑍 − 𝑌) + 𝑋) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))
25	5, 16, 24	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) + 𝑍) − 𝑋) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17415  Grpcgrp 18889  -_gcsg 18891  Abelcabl 19735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21190