MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ncvspi 24673
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ncvsprp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ncvsprp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ncvsdif.p + = (+gβ€˜π‘Š)
ncvspi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ncvspi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ncvspi ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
Proof of Theorem ncvspi
StepHypRef Expression
1 elin 3965 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
2 nvcnlm 24213 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
3 nlmngp 24194 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
763ad2ant1 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
8 nvclmod 24215 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lmodgrp 20478 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ Grp)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Grp)
121, 11sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Grp)
13123ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 simp2l 1200 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
15 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
1615cvsclm 24642 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
171, 16simplbiim 506 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
19 simp3 1139 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ i ∈ 𝐾)
20 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
21 ncvsprp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
22 ncvspi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
23 ncvsprp.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
24 ncvspi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2521, 22, 23, 24clmvscl 24604 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
2618, 19, 20, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
27 ncvsdif.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
2821, 27grpcl 18827 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉)
2913, 14, 26, 28syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉)
30 ncvsprp.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
3121, 30nmcl 24125 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
327, 29, 31syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
3332recnd 11242 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
3433mullidd 11232 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))))
35 ax-icn 11169 . . . . . 6 i ∈ β„‚
3635absnegi 15347 . . . . 5 (absβ€˜-i) = (absβ€˜i)
37 absi 15233 . . . . 5 (absβ€˜i) = 1
3836, 37eqtri 2761 . . . 4 (absβ€˜-i) = 1
3938oveq1i 7419 . . 3 ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))))
40 simp1 1137 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec))
4122, 24clmneg 24597 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i = ((invgβ€˜πΉ)β€˜i))
4216, 41sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i = ((invgβ€˜πΉ)β€˜i))
4322clmfgrp 24587 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4416, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ 𝐹 ∈ Grp)
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
4624, 45grpinvcl 18872 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜i) ∈ 𝐾)
4744, 46sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜i) ∈ 𝐾)
4842, 47eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
4948ex 414 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (i ∈ 𝐾 β†’ -i ∈ 𝐾))
501, 49simplbiim 506 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ (i ∈ 𝐾 β†’ -i ∈ 𝐾))
5150imp 408 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
52513adant2 1132 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
5321, 30, 23, 22, 24ncvsprp 24669 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))))
5440, 52, 29, 53syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))))
5521, 22, 23, 24, 27clmvsdi 24608 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))))
5618, 52, 14, 26, 55syl13anc 1373 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))))
5735, 35mulneg1i 11660 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = -(i Β· i)
58 ixi 11843 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· i) = -1
5958negeqi 11453 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
60 negneg1e1 12330 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6159, 60eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 -(i Β· i) = 1
6257, 61eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (-i Β· i) = 1
6362oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (1 Β· 𝐡)
6421, 22, 23, 24clmvsass 24605 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (-i Β· (i Β· 𝐡)))
6518, 52, 19, 20, 64syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (-i Β· (i Β· 𝐡)))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
6717, 66anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
68673adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
6921, 23clmvs1 24609 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
7163, 65, 703eqtr3a 2797 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (i Β· 𝐡)) = 𝐡)
7271oveq2d 7425 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + 𝐡))
73 clmabl 24585 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Abel)
7416, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ Abel)
751, 74simplbiim 506 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Abel)
76753ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
7721, 22, 23, 24clmvscl 24604 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
7818, 52, 14, 77syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
7921, 27ablcom 19667 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((-i Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8076, 78, 20, 79syl3anc 1372 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8156, 72, 803eqtrd 2777 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8281fveq2d 6896 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8354, 82eqtr3d 2775 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8439, 83eqtr3id 2787 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8534, 84eqtr3d 2775 1 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115  -cneg 11445  abscabs 15181  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmModcnlm 24089  NrmVeccnvc 24090  β„‚Modcclm 24578  β„‚Vecccvs 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095  df-nvc 24096  df-clm 24579  df-cvs 24640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator