MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ncvspi 25071
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ncvsprp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ncvsprp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ncvsdif.p + = (+gβ€˜π‘Š)
ncvspi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ncvspi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ncvspi ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
Proof of Theorem ncvspi
StepHypRef Expression
1 elin 3960 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
2 nvcnlm 24600 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
3 nlmngp 24581 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
763ad2ant1 1131 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
8 nvclmod 24602 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lmodgrp 20739 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ Grp)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Grp)
121, 11sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Grp)
13123ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 simp2l 1197 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
15 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
1615cvsclm 25040 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
171, 16simplbiim 504 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
18173ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
19 simp3 1136 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ i ∈ 𝐾)
20 simp2r 1198 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
21 ncvsprp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
22 ncvspi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
23 ncvsprp.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
24 ncvspi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2521, 22, 23, 24clmvscl 25002 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
2618, 19, 20, 25syl3anc 1369 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
27 ncvsdif.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
2821, 27grpcl 18889 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉)
2913, 14, 26, 28syl3anc 1369 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉)
30 ncvsprp.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
3121, 30nmcl 24512 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
327, 29, 31syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
3332recnd 11264 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
3433mullidd 11254 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))))
35 ax-icn 11189 . . . . . 6 i ∈ β„‚
3635absnegi 15371 . . . . 5 (absβ€˜-i) = (absβ€˜i)
37 absi 15257 . . . . 5 (absβ€˜i) = 1
3836, 37eqtri 2755 . . . 4 (absβ€˜-i) = 1
3938oveq1i 7424 . . 3 ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))))
40 simp1 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec))
4122, 24clmneg 24995 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i = ((invgβ€˜πΉ)β€˜i))
4216, 41sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i = ((invgβ€˜πΉ)β€˜i))
4322clmfgrp 24985 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4416, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ 𝐹 ∈ Grp)
45 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
4624, 45grpinvcl 18935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜i) ∈ 𝐾)
4744, 46sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜i) ∈ 𝐾)
4842, 47eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
4948ex 412 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (i ∈ 𝐾 β†’ -i ∈ 𝐾))
501, 49simplbiim 504 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ (i ∈ 𝐾 β†’ -i ∈ 𝐾))
5150imp 406 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
52513adant2 1129 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
5321, 30, 23, 22, 24ncvsprp 25067 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))))
5440, 52, 29, 53syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))))
5521, 22, 23, 24, 27clmvsdi 25006 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))))
5618, 52, 14, 26, 55syl13anc 1370 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))))
5735, 35mulneg1i 11682 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = -(i Β· i)
58 ixi 11865 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· i) = -1
5958negeqi 11475 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
60 negneg1e1 12352 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6159, 60eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 -(i Β· i) = 1
6257, 61eqtri 2755 . . . . . . . . 9 (-i Β· i) = 1
6362oveq1i 7424 . . . . . . . 8 ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (1 Β· 𝐡)
6421, 22, 23, 24clmvsass 25003 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (-i Β· (i Β· 𝐡)))
6518, 52, 19, 20, 64syl13anc 1370 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (-i Β· (i Β· 𝐡)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
6717, 66anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
68673adant3 1130 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
6921, 23clmvs1 25007 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
7163, 65, 703eqtr3a 2791 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (i Β· 𝐡)) = 𝐡)
7271oveq2d 7430 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + 𝐡))
73 clmabl 24983 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Abel)
7416, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ Abel)
751, 74simplbiim 504 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Abel)
76753ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
7721, 22, 23, 24clmvscl 25002 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
7818, 52, 14, 77syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
7921, 27ablcom 19745 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((-i Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8076, 78, 20, 79syl3anc 1369 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8156, 72, 803eqtrd 2771 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8281fveq2d 6895 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8354, 82eqtr3d 2769 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8439, 83eqtr3id 2781 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8534, 84eqtr3d 2769 1 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  1c1 11131  ici 11132   Β· cmul 11135  -cneg 11467  abscabs 15205  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  Abelcabl 19727  LModclmod 20732  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473  NrmModcnlm 24476  NrmVeccnvc 24477  β„‚Modcclm 24976  β„‚Vecccvs 25037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-nlm 24482  df-nvc 24483  df-clm 24977  df-cvs 25038
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator