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Theorem ncvspi 25457

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
ncvsdif.p	⊢ + = (+_g‘𝑊)
ncvspi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvspi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
ncvspi	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

**Proof of Theorem ncvspi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 24995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3		nlmngp 24976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6	1, 5	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8		nvclmod 24997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
9		lmodgrp 21122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
12	1, 11	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
14		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
16	15	cvsclm 25427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
17	1, 16	simplbiim 514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ 𝐾)
20		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ 𝑉)
21		ncvsprp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
22		ncvspi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
23		ncvsprp.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
24		ncvspi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25	21, 22, 23, 24	clmvscl 25389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
27		ncvsdif.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
28	21, 27	grpcl 19132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
29	13, 14, 26, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
30		ncvsprp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
31	21, 30	nmcl 24915	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
32	7, 29, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11318	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11308	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
35		ax-icn 11240	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
36	35	absnegi 15548	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
37		absi 15433	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
38	36, 37	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (abs‘-i) = 1
39	38	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
40		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
41	22, 24	clmneg 25382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((inv_g‘𝐹)‘i))
42	16, 41	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((inv_g‘𝐹)‘i))
43	22	clmfgrp 25372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Grp)
44	16, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝐹 ∈ Grp)
45		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inv_g‘𝐹) = (inv_g‘𝐹)
46	24, 45	grpinvcl 19178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) → ((inv_g‘𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
47	44, 46	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → ((inv_g‘𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
48	42, 47	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
49	48	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
50	1, 49	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
51	50	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
52	51	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
53	21, 30, 23, 22, 24	ncvsprp 25453	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
54	40, 52, 29, 53	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
55	21, 22, 23, 24, 27	clmvsdi 25393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉)) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
56	18, 52, 14, 26, 55	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
57	35, 35	mulneg1i 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
58		ixi 11926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
59	58	negeqi 11531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
60		negneg1e1 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
61	59, 60	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
62	57, 61	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
63	62	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
64	21, 22, 23, 24	clmvsass 25390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
65	18, 52, 19, 20, 64	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
66		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
67	17, 66	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
68	67	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
69	21, 23	clmvs1 25394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
71	63, 65, 70	3eqtr3a 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (i · 𝐵)) = 𝐵)
72	71	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + 𝐵))
73		clmabl 25370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
74	16, 73	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ Abel)
75	1, 74	simplbiim 514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Abel)
76	75	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
77	21, 22, 23, 24	clmvscl 25389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
78	18, 52, 14, 77	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
79	21, 27	ablcom 19993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (-i · 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
80	76, 78, 20, 79	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
81	56, 72, 80	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
82	81	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
83	54, 82	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
84	39, 83	eqtr3id 2810	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
85	34, 84	eqtr3d 2798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∩ cin 3898 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 ℝcr 11180 1c1 11182 ici 11183 · cmul 11186 -cneg 11523 abscabs 15381 Basecbs 17367 +_gcplusg 17408 Scalarcsca 17411 ·_𝑠 cvsca 17412 Grpcgrp 19124 inv_gcminusg 19125 Abelcabl 19975 LModclmod 21115 normcnm 24875 NrmGrpcngp 24876 NrmModcnlm 24879 NrmVeccnvc 24880 ℂModcclm 25363 ℂVecccvs 25424

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258 ax-pre-sup 11259 ax-addf 11260 ax-mulf 11261

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8460 df-er 8701 df-map 8833 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9418 df-inf 9419 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-4 12388 df-5 12389 df-6 12390 df-7 12391 df-8 12392 df-9 12393 df-n0 12588 df-z 12675 df-dec 12796 df-uz 12947 df-q 13057 df-rp 13102 df-xneg 13222 df-xadd 13223 df-xmul 13224 df-fz 13621 df-seq 14125 df-exp 14185 df-cj 15246 df-re 15247 df-im 15248 df-sqrt 15382 df-abs 15383 df-struct 17305 df-sets 17322 df-slot 17340 df-ndx 17352 df-base 17368 df-ress 17389 df-plusg 17421 df-mulr 17422 df-starv 17423 df-tset 17427 df-ple 17428 df-ds 17430 df-unif 17431 df-0g 17592 df-topgen 17594 df-mgm 18796 df-sgrp 18888 df-mnd 18904 df-grp 19127 df-minusg 19128 df-subg 19313 df-cmn 19976 df-abl 19977 df-mgp 20341 df-ur 20388 df-ring 20441 df-cring 20442 df-subrg 20802 df-lmod 21117 df-psmet 21650 df-xmet 21651 df-met 21652 df-bl 21653 df-mopn 21654 df-cnfld 21659 df-top 23192 df-topon 23209 df-topsp 23231 df-bases 23244 df-xms 24619 df-ms 24620 df-nm 24881 df-ngp 24882 df-nlm 24885 df-nvc 24886 df-clm 25364 df-cvs 25425

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