MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspi 25190
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsdif.p + = (+g𝑊)
ncvspi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvspi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvspi ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvspi
StepHypRef Expression
1 elin 3967 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 24717 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 24698 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 217 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
763ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8 nvclmod 24719 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
9 lmodgrp 20865 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ Grp)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
121, 11sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
13123ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
14 simp2l 1200 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐴𝑉)
15 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
1615cvsclm 25159 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
171, 16simplbiim 504 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ 𝐾)
20 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐵𝑉)
21 ncvsprp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
22 ncvspi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
23 ncvsprp.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
24 ncvspi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
2521, 22, 23, 24clmvscl 25121 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑉) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
2618, 19, 20, 25syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
27 ncvsdif.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
2821, 27grpcl 18959 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
2913, 14, 26, 28syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
30 ncvsprp.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝑊)
3121, 30nmcl 24629 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
327, 29, 31syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3332recnd 11289 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3433mullidd 11279 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
35 ax-icn 11214 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3635absnegi 15439 . . . . 5 (abs‘-i) = (abs‘i)
37 absi 15325 . . . . 5 (abs‘i) = 1
3836, 37eqtri 2765 . . . 4 (abs‘-i) = 1
3938oveq1i 7441 . . 3 ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
40 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
4122, 24clmneg 25114 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((invg𝐹)‘i))
4216, 41sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((invg𝐹)‘i))
4322clmfgrp 25104 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Grp)
4416, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝐹 ∈ Grp)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐹) = (invg𝐹)
4624, 45grpinvcl 19005 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
4744, 46sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
4842, 47eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
4948ex 412 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂVec → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
501, 49simplbiim 504 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
5150imp 406 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
52513adant2 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
5321, 30, 23, 22, 24ncvsprp 25186 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
5440, 52, 29, 53syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
5521, 22, 23, 24, 27clmvsdi 25125 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾𝐴𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉)) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
5618, 52, 14, 26, 55syl13anc 1374 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
5735, 35mulneg1i 11709 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
58 ixi 11892 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
5958negeqi 11501 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
60 negneg1e1 12384 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6159, 60eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
6257, 61eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
6362oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
6421, 22, 23, 24clmvsass 25122 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑉)) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
6518, 52, 19, 20, 64syl13anc 1374 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
6717, 66anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉))
68673adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉))
6921, 23clmvs1 25126 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7163, 65, 703eqtr3a 2801 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (i · 𝐵)) = 𝐵)
7271oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + 𝐵))
73 clmabl 25102 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
7416, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ Abel)
751, 74simplbiim 504 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Abel)
76753ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
7721, 22, 23, 24clmvscl 25121 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -i ∈ 𝐾𝐴𝑉) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
7818, 52, 14, 77syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
7921, 27ablcom 19817 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (-i · 𝐴) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8076, 78, 20, 79syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8156, 72, 803eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8281fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8354, 82eqtr3d 2779 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8439, 83eqtr3id 2791 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8534, 84eqtr3d 2779 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160  -cneg 11493  abscabs 15273  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593  NrmVeccnvc 24594  ℂModcclm 25095  ℂVecccvs 25156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599  df-nvc 24600  df-clm 25096  df-cvs 25157
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator