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Theorem ncvspi 25133

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
ncvsdif.p	⊢ + = (+_g‘𝑊)
ncvspi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvspi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
ncvspi	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

**Proof of Theorem ncvspi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 24671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3		nlmngp 24652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6	1, 5	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
7	6	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8		nvclmod 24673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
9		lmodgrp 20853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
12	1, 11	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
14		simp2l 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
16	15	cvsclm 25103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
17	1, 16	simplbiim 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ 𝐾)
20		simp2r 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ 𝑉)
21		ncvsprp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
22		ncvspi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
23		ncvsprp.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
24		ncvspi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25	21, 22, 23, 24	clmvscl 25065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
27		ncvsdif.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
28	21, 27	grpcl 18908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
29	13, 14, 26, 28	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
30		ncvsprp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
31	21, 30	nmcl 24591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
32	7, 29, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11164	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11154	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
35		ax-icn 11088	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
36	35	absnegi 15354	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
37		absi 15239	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
38	36, 37	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘-i) = 1
39	38	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
40		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
41	22, 24	clmneg 25058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((inv_g‘𝐹)‘i))
42	16, 41	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((inv_g‘𝐹)‘i))
43	22	clmfgrp 25048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Grp)
44	16, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝐹 ∈ Grp)
45		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inv_g‘𝐹) = (inv_g‘𝐹)
46	24, 45	grpinvcl 18954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) → ((inv_g‘𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
47	44, 46	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → ((inv_g‘𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
48	42, 47	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
50	1, 49	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
51	50	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
52	51	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
53	21, 30, 23, 22, 24	ncvsprp 25129	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
54	40, 52, 29, 53	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
55	21, 22, 23, 24, 27	clmvsdi 25069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉)) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
56	18, 52, 14, 26, 55	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
57	35, 35	mulneg1i 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
58		ixi 11770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
59	58	negeqi 11377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
60		negneg1e1 12139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
61	59, 60	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
62	57, 61	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
63	62	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
64	21, 22, 23, 24	clmvsass 25066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
65	18, 52, 19, 20, 64	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
67	17, 66	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
68	67	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
69	21, 23	clmvs1 25070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
71	63, 65, 70	3eqtr3a 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (i · 𝐵)) = 𝐵)
72	71	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + 𝐵))
73		clmabl 25046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
74	16, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ Abel)
75	1, 74	simplbiim 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Abel)
76	75	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
77	21, 22, 23, 24	clmvscl 25065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
78	18, 52, 14, 77	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
79	21, 27	ablcom 19765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (-i · 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
80	76, 78, 20, 79	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
81	56, 72, 80	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
82	81	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
83	54, 82	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
84	39, 83	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
85	34, 84	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∩ cin 3889 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℝcr 11028 1c1 11030 ici 11031 · cmul 11034 -cneg 11369 abscabs 15187 Basecbs 17170 +_gcplusg 17211 Scalarcsca 17214 ·_𝑠 cvsca 17215 Grpcgrp 18900 inv_gcminusg 18901 Abelcabl 19747 LModclmod 20846 normcnm 24551 NrmGrpcngp 24552 NrmModcnlm 24555 NrmVeccnvc 24556 ℂModcclm 25039 ℂVecccvs 25100

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107 ax-addf 11108 ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-er 8636 df-map 8768 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-sup 9348 df-inf 9349 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-fz 13453 df-seq 13955 df-exp 14015 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-struct 17108 df-sets 17125 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-ress 17192 df-plusg 17224 df-mulr 17225 df-starv 17226 df-tset 17230 df-ple 17231 df-ds 17233 df-unif 17234 df-0g 17395 df-topgen 17397 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-grp 18903 df-minusg 18904 df-subg 19090 df-cmn 19748 df-abl 19749 df-mgp 20113 df-ur 20154 df-ring 20207 df-cring 20208 df-subrg 20538 df-lmod 20848 df-psmet 21336 df-xmet 21337 df-met 21338 df-bl 21339 df-mopn 21340 df-cnfld 21345 df-top 22869 df-topon 22886 df-topsp 22908 df-bases 22921 df-xms 24295 df-ms 24296 df-nm 24557 df-ngp 24558 df-nlm 24561 df-nvc 24562 df-clm 25040 df-cvs 25101

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