Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspi 23871
 Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsdif.p + = (+g𝑊)
ncvspi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvspi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvspi ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvspi
StepHypRef Expression
1 elin 3876 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 23412 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 23393 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
54adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 220 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
763ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8 nvclmod 23414 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
9 lmodgrp 19723 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ Grp)
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
121, 11sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
13123ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
14 simp2l 1196 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐴𝑉)
15 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
1615cvsclm 23841 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
171, 16simplbiim 508 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
18173ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ 𝐾)
20 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐵𝑉)
21 ncvsprp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
22 ncvspi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
23 ncvsprp.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
24 ncvspi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
2521, 22, 23, 24clmvscl 23803 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑉) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
2618, 19, 20, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
27 ncvsdif.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
2821, 27grpcl 18191 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
2913, 14, 26, 28syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
30 ncvsprp.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝑊)
3121, 30nmcl 23332 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
327, 29, 31syl2anc 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3332recnd 10720 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3433mulid2d 10710 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
35 ax-icn 10647 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3635absnegi 14821 . . . . 5 (abs‘-i) = (abs‘i)
37 absi 14707 . . . . 5 (abs‘i) = 1
3836, 37eqtri 2781 . . . 4 (abs‘-i) = 1
3938oveq1i 7166 . . 3 ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
40 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
4122, 24clmneg 23796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((invg𝐹)‘i))
4216, 41sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((invg𝐹)‘i))
4322clmfgrp 23786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Grp)
4416, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝐹 ∈ Grp)
45 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐹) = (invg𝐹)
4624, 45grpinvcl 18232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
4744, 46sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
4842, 47eqeltrd 2852 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
4948ex 416 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂVec → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
501, 49simplbiim 508 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
5150imp 410 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
52513adant2 1128 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
5321, 30, 23, 22, 24ncvsprp 23867 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
5440, 52, 29, 53syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
5521, 22, 23, 24, 27clmvsdi 23807 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾𝐴𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉)) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
5618, 52, 14, 26, 55syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
5735, 35mulneg1i 11137 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
58 ixi 11320 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
5958negeqi 10930 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
60 negneg1e1 11805 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6159, 60eqtri 2781 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
6257, 61eqtri 2781 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
6362oveq1i 7166 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
6421, 22, 23, 24clmvsass 23804 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑉)) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
6518, 52, 19, 20, 64syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
66 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
6717, 66anim12i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉))
68673adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉))
6921, 23clmvs1 23808 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7163, 65, 703eqtr3a 2817 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (i · 𝐵)) = 𝐵)
7271oveq2d 7172 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + 𝐵))
73 clmabl 23784 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
7416, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ Abel)
751, 74simplbiim 508 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Abel)
76753ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
7721, 22, 23, 24clmvscl 23803 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -i ∈ 𝐾𝐴𝑉) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
7818, 52, 14, 77syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
7921, 27ablcom 19005 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (-i · 𝐴) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8076, 78, 20, 79syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8156, 72, 803eqtrd 2797 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8281fveq2d 6667 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8354, 82eqtr3d 2795 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8439, 83eqtr3id 2807 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8534, 84eqtr3d 2795 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  1c1 10589  ici 10590   · cmul 10593  -cneg 10922  abscabs 14654  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  Scalarcsca 16640   ·𝑠 cvsca 16641  Grpcgrp 18183  invgcminusg 18184  Abelcabl 18988  LModclmod 19716  normcnm 23292  NrmGrpcngp 23293  NrmModcnlm 23296  NrmVeccnvc 23297  ℂModcclm 23777  ℂVecccvs 23838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-0g 16787  df-topgen 16789  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-subg 18357  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-xms 23036  df-ms 23037  df-nm 23298  df-ngp 23299  df-nlm 23302  df-nvc 23303  df-clm 23778  df-cvs 23839 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator