MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ncvspi 25114
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ncvsprp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ncvsprp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ncvsdif.p + = (+gβ€˜π‘Š)
ncvspi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ncvspi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ncvspi ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
Proof of Theorem ncvspi
StepHypRef Expression
1 elin 3961 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
2 nvcnlm 24643 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
3 nlmngp 24624 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 216 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
763ad2ant1 1130 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
8 nvclmod 24645 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lmodgrp 20754 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ Grp)
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Grp)
121, 11sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Grp)
13123ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 simp2l 1196 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
15 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
1615cvsclm 25083 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
171, 16simplbiim 503 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
18173ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
19 simp3 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ i ∈ 𝐾)
20 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
21 ncvsprp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
22 ncvspi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
23 ncvsprp.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
24 ncvspi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2521, 22, 23, 24clmvscl 25045 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
2618, 19, 20, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
27 ncvsdif.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
2821, 27grpcl 18902 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉)
2913, 14, 26, 28syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉)
30 ncvsprp.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
3121, 30nmcl 24555 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
327, 29, 31syl2anc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
3332recnd 11272 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
3433mullidd 11262 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))))
35 ax-icn 11197 . . . . . 6 i ∈ β„‚
3635absnegi 15379 . . . . 5 (absβ€˜-i) = (absβ€˜i)
37 absi 15265 . . . . 5 (absβ€˜i) = 1
3836, 37eqtri 2753 . . . 4 (absβ€˜-i) = 1
3938oveq1i 7427 . . 3 ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))))
40 simp1 1133 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec))
4122, 24clmneg 25038 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i = ((invgβ€˜πΉ)β€˜i))
4216, 41sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i = ((invgβ€˜πΉ)β€˜i))
4322clmfgrp 25028 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
4416, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ 𝐹 ∈ Grp)
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
4624, 45grpinvcl 18948 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜i) ∈ 𝐾)
4744, 46sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜i) ∈ 𝐾)
4842, 47eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
4948ex 411 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (i ∈ 𝐾 β†’ -i ∈ 𝐾))
501, 49simplbiim 503 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ (i ∈ 𝐾 β†’ -i ∈ 𝐾))
5150imp 405 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
52513adant2 1128 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ -i ∈ 𝐾)
5321, 30, 23, 22, 24ncvsprp 25110 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))))
5440, 52, 29, 53syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))))
5521, 22, 23, 24, 27clmvsdi 25049 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑉)) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))))
5618, 52, 14, 26, 55syl13anc 1369 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))))
5735, 35mulneg1i 11690 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = -(i Β· i)
58 ixi 11873 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· i) = -1
5958negeqi 11483 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
60 negneg1e1 12360 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6159, 60eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 -(i Β· i) = 1
6257, 61eqtri 2753 . . . . . . . . 9 (-i Β· i) = 1
6362oveq1i 7427 . . . . . . . 8 ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (1 Β· 𝐡)
6421, 22, 23, 24clmvsass 25046 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (-i Β· (i Β· 𝐡)))
6518, 52, 19, 20, 64syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐡) = (-i Β· (i Β· 𝐡)))
66 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
6717, 66anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
68673adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
6921, 23clmvs1 25050 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· 𝐡) = 𝐡)
7163, 65, 703eqtr3a 2789 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (i Β· 𝐡)) = 𝐡)
7271oveq2d 7433 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· 𝐴) + (-i Β· (i Β· 𝐡))) = ((-i Β· 𝐴) + 𝐡))
73 clmabl 25026 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Abel)
7416, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ Abel)
751, 74simplbiim 503 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ π‘Š ∈ Abel)
76753ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
7721, 22, 23, 24clmvscl 25045 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
7818, 52, 14, 77syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉)
7921, 27ablcom 19758 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Abel ∧ (-i Β· 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((-i Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8076, 78, 20, 79syl3anc 1368 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((-i Β· 𝐴) + 𝐡) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8156, 72, 803eqtrd 2769 . . . . 5 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (𝐡 + (-i Β· 𝐴)))
8281fveq2d 6898 . . . 4 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(-i Β· (𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8354, 82eqtr3d 2767 . . 3 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ ((absβ€˜-i) Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8439, 83eqtr3id 2779 . 2 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (1 Β· (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
8534, 84eqtr3d 2767 1 ((π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡 + (-i Β· 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3944  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„cr 11137  1c1 11139  ici 11140   Β· cmul 11143  -cneg 11475  abscabs 15213  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  Abelcabl 19740  LModclmod 20747  normcnm 24515  NrmGrpcngp 24516  NrmModcnlm 24519  NrmVeccnvc 24520  β„‚Modcclm 25019  β„‚Vecccvs 25080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-xms 24256  df-ms 24257  df-nm 24521  df-ngp 24522  df-nlm 24525  df-nvc 24526  df-clm 25020  df-cvs 25081
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator