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Theorem ncvspi 25056

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
ncvsdif.p	⊢ + = (+_g‘𝑊)
ncvspi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvspi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
ncvspi	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

**Proof of Theorem ncvspi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 24584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3		nlmngp 24565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6	1, 5	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8		nvclmod 24586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
9		lmodgrp 20773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
12	1, 11	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
14		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
16	15	cvsclm 25026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
17	1, 16	simplbiim 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ 𝐾)
20		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐵 ∈ 𝑉)
21		ncvsprp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
22		ncvspi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
23		ncvsprp.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
24		ncvspi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
25	21, 22, 23, 24	clmvscl 24988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
26	18, 19, 20, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
27		ncvsdif.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
28	21, 27	grpcl 18873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
29	13, 14, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
30		ncvsprp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
31	21, 30	nmcl 24504	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
32	7, 29, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11202	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11192	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
35		ax-icn 11127	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
36	35	absnegi 15367	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
37		absi 15252	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
38	36, 37	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (abs‘-i) = 1
39	38	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
40		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
41	22, 24	clmneg 24981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((inv_g‘𝐹)‘i))
42	16, 41	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((inv_g‘𝐹)‘i))
43	22	clmfgrp 24971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Grp)
44	16, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝐹 ∈ Grp)
45		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inv_g‘𝐹) = (inv_g‘𝐹)
46	24, 45	grpinvcl 18919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) → ((inv_g‘𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
47	44, 46	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → ((inv_g‘𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
48	42, 47	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
49	48	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
50	1, 49	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
51	50	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
52	51	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
53	21, 30, 23, 22, 24	ncvsprp 25052	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
54	40, 52, 29, 53	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
55	21, 22, 23, 24, 27	clmvsdi 24992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉)) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
56	18, 52, 14, 26, 55	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
57	35, 35	mulneg1i 11624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
58		ixi 11807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
59	58	negeqi 11414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
60		negneg1e1 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
61	59, 60	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
62	57, 61	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
63	62	oveq1i 7397	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
64	21, 22, 23, 24	clmvsass 24989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
65	18, 52, 19, 20, 64	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
67	17, 66	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
68	67	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
69	21, 23	clmvs1 24993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
71	63, 65, 70	3eqtr3a 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (i · 𝐵)) = 𝐵)
72	71	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + 𝐵))
73		clmabl 24969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
74	16, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ Abel)
75	1, 74	simplbiim 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Abel)
76	75	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
77	21, 22, 23, 24	clmvscl 24988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
78	18, 52, 14, 77	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
79	21, 27	ablcom 19729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (-i · 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
80	76, 78, 20, 79	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
81	56, 72, 80	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
82	81	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
83	54, 82	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
84	39, 83	eqtr3id 2778	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
85	34, 84	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∩ cin 3913 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℝcr 11067 1c1 11069 ici 11070 · cmul 11073 -cneg 11406 abscabs 15200 Basecbs 17179 +_gcplusg 17220 Scalarcsca 17223 ·_𝑠 cvsca 17224 Grpcgrp 18865 inv_gcminusg 18866 Abelcabl 19711 LModclmod 20766 normcnm 24464 NrmGrpcngp 24465 NrmModcnlm 24468 NrmVeccnvc 24469 ℂModcclm 24962 ℂVecccvs 25023

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146 ax-addf 11147 ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-er 8671 df-map 8801 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-sup 9393 df-inf 9394 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-xneg 13072 df-xadd 13073 df-xmul 13074 df-fz 13469 df-seq 13967 df-exp 14027 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-0g 17404 df-topgen 17406 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-grp 18868 df-minusg 18869 df-subg 19055 df-cmn 19712 df-abl 19713 df-mgp 20050 df-ur 20091 df-ring 20144 df-cring 20145 df-subrg 20479 df-lmod 20768 df-psmet 21256 df-xmet 21257 df-met 21258 df-bl 21259 df-mopn 21260 df-cnfld 21265 df-top 22781 df-topon 22798 df-topsp 22820 df-bases 22833 df-xms 24208 df-ms 24209 df-nm 24470 df-ngp 24471 df-nlm 24474 df-nvc 24475 df-clm 24963 df-cvs 25024

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