Theorem frgpnabl 19793

Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpnabl	⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8882	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5676	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
3		1sdom 9145	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		frgpnabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (varFGrp‘𝐼) = (varFGrp‘𝐼)
14	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 ∈ 𝐼)
16		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏 ∈ 𝐼)
17		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	8, 13, 6, 18	vrgpf 19686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
21	20, 15	ffvelcdmd 7024	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
22	20, 16	ffvelcdmd 7024	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 9	ablcom 19717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
24	17, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
25	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24	frgpnabllem2 19792	. . . . 5 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
27	26	con3d 152	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
28	27	rexlimdvva 3189	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  ⟨cop 4581  ⟨cotp 4583  ∪ ciun 4941   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   I cid 5513   × cxp 5617  ran crn 5620  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  1_oc1o 8384  2_oc2o 8385   ≺ csdm 8874  0cc0 11012  ...cfz 13413  ♯chash 14243  Word cword 14426   splice csplice 14662  ⟨“cs2 14754  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167   ~_FG cefg 19624  freeGrpcfrgp 19625  var_FGrpcvrgp 19626  Abelcabl 19699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-lsw 14476  df-concat 14484  df-s1 14510  df-substr 14555  df-pfx 14585  df-splice 14663  df-reverse 14672  df-s2 14761  df-struct 17064  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-0g 17351  df-imas 17418  df-qus 17419  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-frmd 18763  df-grp 18855  df-efg 19627  df-frgp 19628  df-vrgp 19629  df-cmn 19700  df-abl 19701

This theorem is referenced by:  frgpcyg  21516