Theorem frgpnabl 19808

Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpnabl	⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8891	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5679	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
3		1sdom 9156	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		frgpnabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (varFGrp‘𝐼) = (varFGrp‘𝐼)
14	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 ∈ 𝐼)
16		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏 ∈ 𝐼)
17		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	8, 13, 6, 18	vrgpf 19701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
21	20, 15	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
22	20, 16	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 9	ablcom 19732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
24	17, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
25	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24	frgpnabllem2 19807	. . . . 5 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
27	26	con3d 152	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
28	27	rexlimdvva 3195	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5516   × cxp 5620  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1_oc1o 8389  2_oc2o 8390   ≺ csdm 8883  0cc0 11027  ...cfz 13424  ♯chash 14254  Word cword 14437   splice csplice 14673  ⟨“cs2 14765  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178   ~_FG cefg 19639  freeGrpcfrgp 19640  var_FGrpcvrgp 19641  Abelcabl 19714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-hash 14255  df-word 14438  df-lsw 14487  df-concat 14495  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14772  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-0g 17362  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-frmd 18775  df-grp 18870  df-efg 19642  df-frgp 19643  df-vrgp 19644  df-cmn 19715  df-abl 19716

This theorem is referenced by:  frgpcyg  21530