Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabl 18991
 Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpnabl (1o𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8501 . . . . 5 Rel ≺
21brrelex2i 5573 . . . 4 (1o𝐼𝐼 ∈ V)
3 1sdom 8707 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (1o𝐼 ↔ ∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
42, 3syl 17 . . 3 (1o𝐼 → (1o𝐼 ↔ ∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
54ibi 270 . 2 (1o𝐼 → ∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6 frgpnabl.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7 eqid 2798 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8 eqid 2798 . . . . . 6 ( ~FG𝐼) = ( ~FG𝐼)
9 eqid 2798 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
11 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12 eqid 2798 . . . . . 6 (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13 eqid 2798 . . . . . 6 (varFGrp𝐼) = (varFGrp𝐼)
142ad2antrr 725 . . . . . 6 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15 simplrl 776 . . . . . 6 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎𝐼)
16 simplrr 777 . . . . . 6 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏𝐼)
17 simpr 488 . . . . . . 7 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
198, 13, 6, 18vrgpf 18889 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ V → (varFGrp𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
2014, 19syl 17 . . . . . . . 8 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
2120, 15ffvelrnd 6829 . . . . . . 7 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
2220, 16ffvelrnd 6829 . . . . . . 7 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
2318, 9ablcom 18919 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp𝐼)‘𝑎)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp𝐼)‘𝑏)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑎)))
2417, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp𝐼)‘𝑎)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp𝐼)‘𝑏)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑎)))
256, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24frgpnabllem2 18990 . . . . 5 (((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
2625ex 416 . . . 4 ((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
2726con3d 155 . . 3 ((1o𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
2827rexlimdvva 3253 . 2 (1o𝐼 → (∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
295, 28mpd 15 1 (1o𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   I cid 5424   × cxp 5517  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  1oc1o 8080  2oc2o 8081   ≺ csdm 8493  0cc0 10528  ...cfz 12887  ♯chash 13688  Word cword 13859   splice csplice 14104  ⟨“cs2 14196  Basecbs 16477  +gcplusg 16559   ~FG cefg 18827  freeGrpcfrgp 18828  varFGrpcvrgp 18829  Abelcabl 18902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-xnn0 11958  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-hash 13689  df-word 13860  df-lsw 13908  df-concat 13916  df-s1 13943  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-splice 14105  df-reverse 14114  df-s2 14203  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-0g 16709  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-frmd 18008  df-grp 18100  df-efg 18830  df-frgp 18831  df-vrgp 18832  df-cmn 18903  df-abl 18904 This theorem is referenced by:  frgpcyg  20269
 Copyright terms: Public domain W3C validator