Theorem frgpnabl 19887

Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpnabl	⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8919	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5693	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
3		1sdom 9184	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
5	4	ibi 269	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		frgpnabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
11		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (varFGrp‘𝐼) = (varFGrp‘𝐼)
14	2	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15		simplrl 784	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 ∈ 𝐼)
16		simplrr 785	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏 ∈ 𝐼)
17		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	8, 13, 6, 18	vrgpf 19780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
21	20, 15	ffvelcdmd 7051	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
22	20, 16	ffvelcdmd 7051	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 9	ablcom 19811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
24	17, 21, 22, 23	syl3anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
25	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24	frgpnabllem2 19886	. . . . 5 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
26	25	ex 415	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
27	26	con3d 152	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
28	27	rexlimdvva 3209	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076  Vcvv 3444   ∖ cdif 3892  ⟨cop 4578  ⟨cotp 4580  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171   I cid 5530   × cxp 5634  ran crn 5637  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∈ cmpo 7383  1_oc1o 8414  2_oc2o 8415   ≺ csdm 8911  0cc0 11059  ...cfz 13498  ♯chash 14329  Word cword 14512   splice csplice 14748  ⟨“cs2 14840  Basecbs 17217  +_gcplusg 17258   ~_FG cefg 19718  freeGrpcfrgp 19719  var_FGrpcvrgp 19720  Abelcabl 19793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-hash 14330  df-word 14513  df-lsw 14562  df-concat 14570  df-s1 14596  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-splice 14749  df-reverse 14758  df-s2 14847  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-0g 17442  df-imas 17510  df-qus 17511  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-frmd 18855  df-grp 18950  df-efg 19721  df-frgp 19722  df-vrgp 19723  df-cmn 19794  df-abl 19795

This theorem is referenced by:  frgpcyg  21594