Theorem frgpnabl 20050

Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpnabl	⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8958	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5704	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
3		1sdom 9224	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		frgpnabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (varFGrp‘𝐼) = (varFGrp‘𝐼)
14	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15		simplrl 789	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 ∈ 𝐼)
16		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏 ∈ 𝐼)
17		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	8, 13, 6, 18	vrgpf 19943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
20	14, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
21	20, 15	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
22	20, 16	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 9	ablcom 19974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
24	17, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
25	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24	frgpnabllem2 20049	. . . . 5 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
26	25	ex 418	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
27	26	con3d 153	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
28	27	rexlimdvva 3219	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
29	5, 28	mpd 16	1 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  ⟨cop 4589  ⟨cotp 4591  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5541   × cxp 5645  ran crn 5648  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   ≺ csdm 8950  0cc0 11171  ...cfz 13608  ♯chash 14441  Word cword 14625   splice csplice 14865  ⟨“cs2 14959  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389   ~_FG cefg 19881  freeGrpcfrgp 19882  var_FGrpcvrgp 19883  Abelcabl 19956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-lsw 14675  df-concat 14683  df-s1 14710  df-substr 14756  df-pfx 14788  df-splice 14866  df-reverse 14875  df-s2 14966  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-0g 17573  df-imas 17641  df-qus 17642  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-frmd 19006  df-grp 19108  df-efg 19884  df-frgp 19885  df-vrgp 19886  df-cmn 19957  df-abl 19958

This theorem is used by:  frgpcyg  21840