MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablpncan3 19602
Description: A cancellation law for Abelian groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablpncan3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 𝑋)) = 𝑌)

Proof of Theorem ablpncan3
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2 simprl 770 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 ablgrp 19574 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
43adantr 482 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simprr 772 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
6 ablsubadd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablsubadd.m . . . . 5 = (-g𝐺)
86, 7grpsubcl 18834 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋) ∈ 𝐵)
94, 5, 2, 8syl3anc 1372 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑌 𝑋) ∈ 𝐵)
10 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
116, 10ablcom 19588 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 𝑋)) = ((𝑌 𝑋) + 𝑋))
121, 2, 9, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 𝑋)) = ((𝑌 𝑋) + 𝑋))
136, 10, 7grpnpcan 18846 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((𝑌 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
144, 5, 2, 13syl3anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑌 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
1512, 14eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 𝑋)) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  ablnnncan  19608  tsmsxplem2  23521  pjthlem2  24818
  Copyright terms: Public domain W3C validator