Theorem ablpncan3 19882

Description: A cancellation law for Abelian groups. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablpncan3	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = 𝑌)

Proof of Theorem ablpncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ablgrp 19851	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ablsubadd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	6, 7	grpsubcl 19082	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝐵)
9	4, 5, 2, 8	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝐵)
10		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	6, 10	ablcom 19865	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
12	1, 2, 9, 11	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
13	6, 10, 7	grpnpcan 19094	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
14	4, 5, 2, 13	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
15	12, 14	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (𝑌 − 𝑋)) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998  Abelcabl 19847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-cmn 19848  df-abl 19849

This theorem is referenced by:  ablnnncan  19888  tsmsxplem2  24276  pjthlem2  25562  dflring2  33724