MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgabl 19702
Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n = (-g𝐺)
eqgabl.r = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgabl ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl
StepHypRef Expression
1 eqgabl.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2733 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
3 eqid 2733 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqgabl.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝑆)
51, 2, 3, 4eqgval 19057 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19653 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
87ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
101, 2grpinvcl 18872 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
131, 3ablcom 19667 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
146, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
15 eqgabl.n . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
161, 3, 2, 15grpsubval 18870 . . . . . . 7 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 𝐴) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
1712, 9, 16syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 𝐴) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
1814, 17eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵 𝐴))
1918eleq1d 2819 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆))
2019pm5.32da 580 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
21 df-3an 1090 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22 df-3an 1090 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆))
2320, 21, 223bitr4g 314 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
245, 23bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  -gcsg 18821   ~QG cqg 19002  Abelcabl 19649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651
This theorem is referenced by:  qusecsub  19703  2idlcpbl  20871  zndvds  21105  tgptsmscls  23654  2idlcpblrng  46766  rngqiprngfulem2  46797
  Copyright terms: Public domain W3C validator