MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgabl 19867
Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n = (-g𝐺)
eqgabl.r = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgabl ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl
StepHypRef Expression
1 eqgabl.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqgabl.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝑆)
51, 2, 3, 4eqgval 19208 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19818 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
87ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
101, 2grpinvcl 19018 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
131, 3ablcom 19832 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
146, 11, 12, 13syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
15 eqgabl.n . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
161, 3, 2, 15grpsubval 19016 . . . . . . 7 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 𝐴) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
1712, 9, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 𝐴) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
1814, 17eqtr4d 2778 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵 𝐴))
1918eleq1d 2824 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆))
2019pm5.32da 579 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
21 df-3an 1088 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22 df-3an 1088 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆))
2320, 21, 223bitr4g 314 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
245, 23bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  -gcsg 18966   ~QG cqg 19153  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  qusecsub  19868  2idlcpblrng  21299  rngqiprngfulem2  21340  zndvds  21586  tgptsmscls  24174
  Copyright terms: Public domain W3C validator