Theorem eqgabl 19764

Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
eqgabl.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgabl	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqgabl.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	eqgval 19109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	1, 2	grpinvcl 18919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
13	1, 3	ablcom 19729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
14	6, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
15		eqgabl.n	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	1, 3, 2, 15	grpsubval 18917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
17	12, 9, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
18	14, 17	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
20	19	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
21		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
23	20, 21, 22	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
24	5, 23	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  -_gcsg 18867   ~_QG cqg 19054  Abelcabl 19711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-eqg 19057  df-cmn 19712  df-abl 19713

This theorem is referenced by:  qusecsub  19765  2idlcpblrng  21181  rngqiprngfulem2  21222  zndvds  21459  tgptsmscls  24037