Theorem eqgabl 19627

Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
eqgabl.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgabl	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqgabl.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	eqgval 18993	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	1, 2	grpinvcl 18812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
13	1, 3	ablcom 19595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
14	6, 11, 12, 13	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
15		eqgabl.n	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	1, 3, 2, 15	grpsubval 18810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
17	12, 9, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
18	14, 17	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
20	19	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
21		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
23	20, 21, 22	3bitr4g 313	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
24	5, 23	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  Grpcgrp 18762  inv_gcminusg 18763  -_gcsg 18764   ~_QG cqg 18938  Abelcabl 19577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-eqg 18941  df-cmn 19578  df-abl 19579

This theorem is referenced by:  2idlcpbl  20763  zndvds  20993  tgptsmscls  23538