Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqgabl 18957
 Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n = (-g𝐺)
eqgabl.r = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgabl ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl
StepHypRef Expression
1 eqgabl.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2824 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
3 eqid 2824 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqgabl.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝑆)
51, 2, 3, 4eqgval 18331 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18913 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
87ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
101, 2grpinvcl 18153 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
118, 9, 10syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
131, 3ablcom 18926 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
146, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
15 eqgabl.n . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
161, 3, 2, 15grpsubval 18151 . . . . . . 7 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 𝐴) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
1712, 9, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 𝐴) = (𝐵(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝐴)))
1814, 17eqtr4d 2862 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) = (𝐵 𝐴))
1918eleq1d 2900 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆))
2019pm5.32da 582 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
21 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆))
2320, 21, 223bitr4g 317 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐴)(+g𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
245, 23bitrd 282 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  Grpcgrp 18105  invgcminusg 18106  -gcsg 18107   ~QG cqg 18277  Abelcabl 18909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-eqg 18280  df-cmn 18910  df-abl 18911 This theorem is referenced by:  2idlcpbl  20009  zndvds  20250  tgptsmscls  22764
 Copyright terms: Public domain W3C validator