Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsunlem 31108
 Description: Lemma for lindsun 31109. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
lindsunlem.o 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.f 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.c (𝜑𝐶𝑈)
lindsunlem.k (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
lindsunlem.1 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
Assertion
Ref Expression
lindsunlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem lindsunlem
Dummy variables 𝑐 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
2 lindsun.w . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
76ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Grp)
8 lmodabl 19677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Abel)
11 lindsun.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
12 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312linds1 20502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
15 lindsun.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 15lspssv 19751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
174, 14, 16syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
19 difssd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈)
2012, 15lspss 19752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
214, 14, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
2221ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
23 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
2422, 23sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))
2518, 24sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26 lindsun.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
2712linds1 20502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2912, 15lspssv 19751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
304, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
32 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑉))
3331, 32sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
34 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3512, 34ablcom 18919 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
3610, 25, 33, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
371, 36eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
38 lindsunlem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
3938eldifad 3896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾𝐹)
40 lindsunlem.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝑈)
4114, 40sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝑊))
42 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
43 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
44 lindsunlem.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4512, 42, 43, 44lmodvscl 19647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐹𝐶 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
464, 39, 41, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
4746ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
48 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4912, 34, 48grpsubadd 18182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)))
5049biimpar 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
5150an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
527, 37, 47, 25, 33, 51syl23anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
534ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
54 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5512, 54, 15lspcl 19744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
564, 14, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5756ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5839ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾𝐹)
5912, 15lspssid 19753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
604, 14, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
6160, 40sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6261ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6342, 43, 44, 54lssvscl 19723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐹𝐶 ∈ (𝑁𝑈))) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6453, 57, 58, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6548, 54lssvsubcl 19711 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6653, 57, 64, 24, 65syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6752, 66eqeltrrd 2894 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑈))
6867, 32elind 4124 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
69 lindsun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7069ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7168, 70eleqtrd 2895 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ { 0 })
72 elsni 4545 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 = 0 )
7473oveq2d 7155 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝑊) 0 ))
75 lindsun.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7612, 34, 75grprid 18129 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
777, 25, 76syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
781, 74, 773eqtrd 2840 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = 𝑥)
7978, 23eqeltrd 2893 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
8040ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶𝑈)
8138ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
822ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
8311ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
84 lindsunlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8512, 43, 15, 42, 44, 84islinds2 20505 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))))
8685simplbda 503 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
8782, 83, 86syl2anc 587 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
88 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶))
89 sneq 4538 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
9089difeq2d 4053 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑈 ∖ {𝑐}) = (𝑈 ∖ {𝐶}))
9190fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) = (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9288, 91eleq12d 2887 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9392notbid 321 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
94 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
9594eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9695notbid 321 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9793, 96rspc2va 3585 . . . 4 (((𝐶𝑈𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂})) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐}))) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9880, 81, 87, 97syl21anc 836 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9979, 98pm2.21fal 1560 . 2 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ⊥)
10014ssdifssd 4073 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊))
10112, 54, 15lspcl 19744 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1024, 100, 101syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10354lsssubg 19725 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1044, 102, 103syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10512, 54, 15lspcl 19744 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1064, 28, 105syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10754lsssubg 19725 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1084, 106, 107syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
109 lindsunlem.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
110 eqid 2801 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
11112, 15, 110lsmsp2 19855 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
1124, 100, 28, 111syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
11361adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
11412, 15lspssid 19753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
1154, 28, 114syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
116115sselda 3918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑉))
117113, 116elind 4124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
11869adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
119117, 118eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ { 0 })
120 elsni 4545 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ { 0 } → 𝐶 = 0 )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 = 0 )
122750nellinds 30989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0𝑈)
1232, 11, 122syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0𝑈)
124 nelne2 3087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑈 ∧ ¬ 0𝑈) → 𝐶0 )
12540, 123, 124syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶0 )
126125adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶0 )
127126neneqd 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → ¬ 𝐶 = 0 )
128121, 127pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑉)
129 disjsn 4610 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝑉)
130128, 129sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅)
131 undif4 4377 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
133 uncom 4083 . . . . . . 7 ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶}))
134 uncom 4083 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
135134difeq1i 4049 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶})
136132, 133, 1353eqtr4g 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}))
137136fveq2d 6653 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
138112, 137eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
139109, 138eleqtrrd 2896 . . 3 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)))
14034, 110lsmelval 18769 . . . 4 (((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)))
141140biimpa 480 . . 3 ((((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉))) → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
142104, 108, 139, 141syl21anc 836 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
14399, 142r19.29vva 3295 1 (𝜑 → ⊥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊥wfal 1550   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  SubGrpcsubg 18268  LSSumclsm 18754  Abelcabl 18902  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  LVecclvec 19870  LIndSclinds 20497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lindf 20498  df-linds 20499 This theorem is referenced by:  lindsun  31109
 Copyright terms: Public domain W3C validator