Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsunlem 30681
Description: Lemma for lindsun 30682. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
lindsunlem.o 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.f 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.c (𝜑𝐶𝑈)
lindsunlem.k (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
lindsunlem.1 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
Assertion
Ref Expression
lindsunlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem lindsunlem
Dummy variables 𝑐 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
2 lindsun.w . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 19375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
76ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Grp)
8 lmodabl 19415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
109ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Abel)
11 lindsun.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312linds1 20671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
15 lindsun.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 15lspssv 19489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
174, 14, 16syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
1817ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
19 difssd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈)
2012, 15lspss 19490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
214, 14, 19, 20syl3anc 1352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
2221ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
23 simpllr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
2422, 23sseldd 3852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))
2518, 24sseldd 3852 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26 lindsun.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
2712linds1 20671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2912, 15lspssv 19489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
304, 28, 29syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
3130ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
32 simplr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑉))
3331, 32sseldd 3852 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
34 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3512, 34ablcom 18695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
3610, 25, 33, 35syl3anc 1352 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
371, 36eqtr2d 2808 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
38 lindsunlem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
3938eldifad 3834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾𝐹)
40 lindsunlem.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝑈)
4114, 40sseldd 3852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝑊))
42 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
43 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
44 lindsunlem.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4512, 42, 43, 44lmodvscl 19385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐹𝐶 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
464, 39, 41, 45syl3anc 1352 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
4746ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
48 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4912, 34, 48grpsubadd 17986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)))
5049biimpar 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
5150an32s 640 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
527, 37, 47, 25, 33, 51syl23anc 1358 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
534ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
54 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5512, 54, 15lspcl 19482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
564, 14, 55syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5756ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5839ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾𝐹)
5912, 15lspssid 19491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
604, 14, 59syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
6160, 40sseldd 3852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6261ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6342, 43, 44, 54lssvscl 19461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐹𝐶 ∈ (𝑁𝑈))) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6453, 57, 58, 62, 63syl22anc 827 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6548, 54lssvsubcl 19449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6653, 57, 64, 24, 65syl22anc 827 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6752, 66eqeltrrd 2860 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑈))
6867, 32elind 4053 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
69 lindsun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7069ad3antrrr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7168, 70eleqtrd 2861 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ { 0 })
72 elsni 4452 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 = 0 )
7473oveq2d 6990 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝑊) 0 ))
75 lindsun.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7612, 34, 75grprid 17934 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
777, 25, 76syl2anc 576 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
781, 74, 773eqtrd 2811 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = 𝑥)
7978, 23eqeltrd 2859 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
8040ad3antrrr 718 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶𝑈)
8138ad3antrrr 718 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
822ad3antrrr 718 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
8311ad3antrrr 718 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
84 lindsunlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8512, 43, 15, 42, 44, 84islinds2 20674 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))))
8685simplbda 492 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
8782, 83, 86syl2anc 576 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
88 oveq2 6982 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶))
89 sneq 4445 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
9089difeq2d 3982 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑈 ∖ {𝑐}) = (𝑈 ∖ {𝐶}))
9190fveq2d 6500 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) = (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9288, 91eleq12d 2853 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9392notbid 310 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
94 oveq1 6981 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
9594eleq1d 2843 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9695notbid 310 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9793, 96rspc2va 3542 . . . 4 (((𝐶𝑈𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂})) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐}))) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9880, 81, 87, 97syl21anc 826 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9979, 98pm2.21fal 1530 . 2 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ⊥)
10014ssdifssd 4002 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊))
10112, 54, 15lspcl 19482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1024, 100, 101syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10354lsssubg 19463 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1044, 102, 103syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10512, 54, 15lspcl 19482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1064, 28, 105syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10754lsssubg 19463 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1084, 106, 107syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
109 lindsunlem.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
110 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
11112, 15, 110lsmsp2 19593 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
1124, 100, 28, 111syl3anc 1352 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
11361adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
11412, 15lspssid 19491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
1154, 28, 114syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
116115sselda 3851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑉))
117113, 116elind 4053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
11869adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
119117, 118eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ { 0 })
120 elsni 4452 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ { 0 } → 𝐶 = 0 )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 = 0 )
122750nellinds 30640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0𝑈)
1232, 11, 122syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0𝑈)
124 nelne2 3059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑈 ∧ ¬ 0𝑈) → 𝐶0 )
12540, 123, 124syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶0 )
126125adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶0 )
127126neneqd 2965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → ¬ 𝐶 = 0 )
128121, 127pm2.65da 805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑉)
129 disjsn 4517 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝑉)
130128, 129sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅)
131 undif4 4293 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
133 uncom 4011 . . . . . . 7 ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶}))
134 uncom 4011 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
135134difeq1i 3978 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶})
136132, 133, 1353eqtr4g 2832 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}))
137136fveq2d 6500 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
138112, 137eqtrd 2807 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
139109, 138eleqtrrd 2862 . . 3 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)))
14034, 110lsmelval 18547 . . . 4 (((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)))
141140biimpa 469 . . 3 ((((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉))) → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
142104, 108, 139, 141syl21anc 826 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
14399, 142r19.29vva 3270 1 (𝜑 → ⊥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wfal 1520  wcel 2051  wne 2960  wral 3081  wrex 3082  cdif 3819  cun 3820  cin 3821  wss 3822  c0 4172  {csn 4435  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  +gcplusg 16419  Scalarcsca 16422   ·𝑠 cvsca 16423  0gc0g 16567  Grpcgrp 17903  -gcsg 17905  SubGrpcsubg 18069  LSSumclsm 18532  Abelcabl 18679  LModclmod 19368  LSubSpclss 19437  LSpanclspn 19477  LVecclvec 19608  LIndSclinds 20666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-lindf 20667  df-linds 20668
This theorem is referenced by:  lindsun  30682
  Copyright terms: Public domain W3C validator