Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsunlem 33651
Description: Lemma for lindsun 33652. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
lindsunlem.o 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.f 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.c (𝜑𝐶𝑈)
lindsunlem.k (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
lindsunlem.1 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
Assertion
Ref Expression
lindsunlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem lindsunlem
Dummy variables 𝑐 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
2 lindsun.w . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 21122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 20881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
76ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Grp)
8 lmodabl 20923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
109ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Abel)
11 lindsun.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
12 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312linds1 21847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
15 lindsun.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 15lspssv 20998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
174, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
1817ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
19 difssd 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈)
2012, 15lspss 20999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
214, 14, 19, 20syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
2221ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
23 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
2422, 23sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))
2518, 24sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26 lindsun.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
2712linds1 21847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2912, 15lspssv 20998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
304, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
3130ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
32 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑉))
3331, 32sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
34 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3512, 34ablcom 19831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
3610, 25, 33, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
371, 36eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
38 lindsunlem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
3938eldifad 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾𝐹)
40 lindsunlem.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝑈)
4114, 40sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝑊))
42 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
43 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
44 lindsunlem.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4512, 42, 43, 44lmodvscl 20892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐹𝐶 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
464, 39, 41, 45syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
4746ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
48 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4912, 34, 48grpsubadd 19058 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)))
5049biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
5150an32s 652 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
527, 37, 47, 25, 33, 51syl23anc 1376 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
534ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
54 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5512, 54, 15lspcl 20991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
564, 14, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5756ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5839ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾𝐹)
5912, 15lspssid 21000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
604, 14, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
6160, 40sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6261ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6342, 43, 44, 54lssvscl 20970 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐹𝐶 ∈ (𝑁𝑈))) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6453, 57, 58, 62, 63syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6548, 54lssvsubcl 20959 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6653, 57, 64, 24, 65syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6752, 66eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑈))
6867, 32elind 4209 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
69 lindsun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7069ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7168, 70eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ { 0 })
72 elsni 4647 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 = 0 )
7473oveq2d 7446 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝑊) 0 ))
75 lindsun.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7612, 34, 75grprid 18998 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
777, 25, 76syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
781, 74, 773eqtrd 2778 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = 𝑥)
7978, 23eqeltrd 2838 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
8040ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶𝑈)
8138ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
822ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
8311ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
84 lindsunlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8512, 43, 15, 42, 44, 84islinds2 21850 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))))
8685simplbda 499 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
8782, 83, 86syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
88 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶))
89 sneq 4640 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
9089difeq2d 4135 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑈 ∖ {𝑐}) = (𝑈 ∖ {𝐶}))
9190fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) = (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9288, 91eleq12d 2832 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9392notbid 318 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
94 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
9594eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9695notbid 318 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9793, 96rspc2va 3633 . . . 4 (((𝐶𝑈𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂})) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐}))) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9880, 81, 87, 97syl21anc 838 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9979, 98pm2.21fal 1558 . 2 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ⊥)
10014ssdifssd 4156 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊))
10112, 54, 15lspcl 20991 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1024, 100, 101syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10354lsssubg 20972 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1044, 102, 103syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10512, 54, 15lspcl 20991 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1064, 28, 105syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10754lsssubg 20972 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1084, 106, 107syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
109 lindsunlem.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
110 eqid 2734 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
11112, 15, 110lsmsp2 21103 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
1124, 100, 28, 111syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
11361adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
11412, 15lspssid 21000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
1154, 28, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
116115sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑉))
117113, 116elind 4209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
11869adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
119117, 118eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ { 0 })
120 elsni 4647 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ { 0 } → 𝐶 = 0 )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 = 0 )
122750nellinds 33377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0𝑈)
1232, 11, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0𝑈)
124 nelne2 3037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑈 ∧ ¬ 0𝑈) → 𝐶0 )
12540, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶0 )
126125adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶0 )
127126neneqd 2942 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → ¬ 𝐶 = 0 )
128121, 127pm2.65da 817 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑉)
129 disjsn 4715 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝑉)
130128, 129sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅)
131 undif4 4472 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
133 uncom 4167 . . . . . . 7 ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶}))
134 uncom 4167 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
135134difeq1i 4131 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶})
136132, 133, 1353eqtr4g 2799 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}))
137136fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
138112, 137eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
139109, 138eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)))
14034, 110lsmelval 19681 . . . 4 (((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)))
141140biimpa 476 . . 3 ((((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉))) → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
142104, 108, 139, 141syl21anc 838 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
14399, 142r19.29vva 3213 1 (𝜑 → ⊥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wfal 1548  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  SubGrpcsubg 19150  LSSumclsm 19666  Abelcabl 19813  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986  LVecclvec 21118  LIndSclinds 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lindf 21843  df-linds 21844
This theorem is referenced by:  lindsun  33652
  Copyright terms: Public domain W3C validator