Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsunlem 31841
Description: Lemma for lindsun 31842. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0 0 = (0g𝑊)
lindsun.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
lindsunlem.o 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.f 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.c (𝜑𝐶𝑈)
lindsunlem.k (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
lindsunlem.1 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
Assertion
Ref Expression
lindsunlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem lindsunlem
Dummy variables 𝑐 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
2 lindsun.w . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 20448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 20210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
76ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Grp)
8 lmodabl 20250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
109ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Abel)
11 lindsun.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312linds1 21097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
15 lindsun.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 15lspssv 20325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
174, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
1817ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
19 difssd 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈)
2012, 15lspss 20326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
214, 14, 19, 20syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
2221ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁𝑈))
23 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
2422, 23sseldd 3931 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))
2518, 24sseldd 3931 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26 lindsun.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
2712linds1 21097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
2912, 15lspssv 20325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
304, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
3130ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
32 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑉))
3331, 32sseldd 3931 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3512, 34ablcom 19476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
3610, 25, 33, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
371, 36eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
38 lindsunlem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
3938eldifad 3908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾𝐹)
40 lindsunlem.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝑈)
4114, 40sseldd 3931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝑊))
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
44 lindsunlem.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4512, 42, 43, 44lmodvscl 20220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐹𝐶 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
464, 39, 41, 45syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
4746ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4912, 34, 48grpsubadd 18736 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)))
5049biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
5150an32s 649 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
527, 37, 47, 25, 33, 51syl23anc 1376 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) = 𝑦)
534ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5512, 54, 15lspcl 20318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
564, 14, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5756ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5839ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾𝐹)
5912, 15lspssid 20327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
604, 14, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
6160, 40sseldd 3931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6261ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
6342, 43, 44, 54lssvscl 20297 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐾𝐹𝐶 ∈ (𝑁𝑈))) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6453, 57, 58, 62, 63syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈))
6548, 54lssvsubcl 20285 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑈))) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6653, 57, 64, 24, 65syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶)(-g𝑊)𝑥) ∈ (𝑁𝑈))
6752, 66eqeltrrd 2838 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁𝑈))
6867, 32elind 4138 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
69 lindsun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7069ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
7168, 70eleqtrd 2839 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ { 0 })
72 elsni 4587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑦 = 0 )
7473oveq2d 7332 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝑊) 0 ))
75 lindsun.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7612, 34, 75grprid 18683 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
777, 25, 76syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g𝑊) 0 ) = 𝑥)
781, 74, 773eqtrd 2780 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = 𝑥)
7978, 23eqeltrd 2837 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
8040ad3antrrr 727 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐶𝑈)
8138ad3antrrr 727 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
822ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
8311ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
84 lindsunlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8512, 43, 15, 42, 44, 84islinds2 21100 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))))
8685simplbda 500 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
8782, 83, 86syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
88 oveq2 7324 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶))
89 sneq 4580 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
9089difeq2d 4067 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑈 ∖ {𝑐}) = (𝑈 ∖ {𝐶}))
9190fveq2d 6815 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) = (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9288, 91eleq12d 2831 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9392notbid 317 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
94 oveq1 7323 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶))
9594eleq1d 2821 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9695notbid 317 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → (¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
9793, 96rspc2va 3579 . . . 4 (((𝐶𝑈𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂})) ∧ ∀𝑐𝑈𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐}))) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9880, 81, 87, 97syl21anc 835 . . 3 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ¬ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
9979, 98pm2.21fal 1562 . 2 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)) → ⊥)
10014ssdifssd 4087 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊))
10112, 54, 15lspcl 20318 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1024, 100, 101syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10354lsssubg 20299 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1044, 102, 103syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10512, 54, 15lspcl 20318 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1064, 28, 105syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10754lsssubg 20299 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1084, 106, 107syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
109 lindsunlem.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
110 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
11112, 15, 110lsmsp2 20429 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
1124, 100, 28, 111syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
11361adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑈))
11412, 15lspssid 20327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
1154, 28, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⊆ (𝑁𝑉))
116115sselda 3930 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁𝑉))
117113, 116elind 4138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)))
11869adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝑉) → ((𝑁𝑈) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
119117, 118eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ { 0 })
120 elsni 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ { 0 } → 𝐶 = 0 )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶 = 0 )
122750nellinds 31701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0𝑈)
1232, 11, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0𝑈)
124 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝑈 ∧ ¬ 0𝑈) → 𝐶0 )
12540, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶0 )
126125adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝑉) → 𝐶0 )
127126neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝑉) → ¬ 𝐶 = 0 )
128121, 127pm2.65da 814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑉)
129 disjsn 4656 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶𝑉)
130128, 129sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅)
131 undif4 4410 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶}))
133 uncom 4097 . . . . . . 7 ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶}))
134 uncom 4097 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉) = (𝑉𝑈)
135134difeq1i 4063 . . . . . . 7 ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}) = ((𝑉𝑈) ∖ {𝐶})
136132, 133, 1353eqtr4g 2801 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = ((𝑈𝑉) ∖ {𝐶}))
137136fveq2d 6815 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
138112, 137eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) = (𝑁‘((𝑈𝑉) ∖ {𝐶})))
139109, 138eleqtrrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)))
14034, 110lsmelval 19327 . . . 4 (((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦)))
141140biimpa 477 . . 3 ((((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁𝑉))) → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
142104, 108, 139, 141syl21anc 835 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁𝑉)(𝐾( ·𝑠𝑊)𝐶) = (𝑥(+g𝑊)𝑦))
14399, 142r19.29vva 3203 1 (𝜑 → ⊥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wfal 1552  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3893  cun 3894  cin 3895  wss 3896  c0 4266  {csn 4570  cfv 6465  (class class class)co 7316  Basecbs 16986  +gcplusg 17036  Scalarcsca 17039   ·𝑠 cvsca 17040  0gc0g 17224  Grpcgrp 18650  -gcsg 18652  SubGrpcsubg 18822  LSSumclsm 19312  Abelcabl 19459  LModclmod 20203  LSubSpclss 20273  LSpanclspn 20313  LVecclvec 20444  LIndSclinds 21092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-tpos 8090  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-subg 18825  df-cntz 18996  df-lsm 19314  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-oppr 19934  df-dvdsr 19955  df-unit 19956  df-drng 20069  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-lsp 20314  df-lvec 20445  df-lindf 21093  df-linds 21094
This theorem is referenced by:  lindsun  31842
  Copyright terms: Public domain W3C validator