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Theorem lindsunlem 32359
Description: Lemma for lindsun 32360. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindsun.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lindsun.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lindsun.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
lindsunlem.o 𝑂 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
lindsunlem.f 𝐹 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
lindsunlem.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
lindsunlem.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}))
lindsunlem.1 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
Assertion
Ref Expression
lindsunlem (πœ‘ β†’ βŠ₯)

Proof of Theorem lindsunlem
Dummy variables 𝑐 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
2 lindsun.w . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20583 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lmodgrp 20345 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
76ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
8 lmodabl 20385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ Abel)
11 lindsun.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1312linds1 21232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
15 lindsun.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
1612, 15lspssv 20460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
174, 14, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
19 difssd 4097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘ˆ)
2012, 15lspss 20461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
214, 14, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
2221ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
23 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
2422, 23sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
2518, 24sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
26 lindsun.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2712linds1 21232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2912, 15lspssv 20460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
304, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
32 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
3331, 32sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3512, 34ablcom 19588 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯))
3610, 25, 33, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯))
371, 36eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢))
38 lindsunlem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}))
3938eldifad 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐹)
40 lindsunlem.c . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
4114, 40sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
44 lindsunlem.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4512, 42, 43, 44lmodvscl 20355 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
464, 39, 41, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4746ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
4912, 34, 48grpsubadd 18842 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)))
5049biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦)
5150an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦)
527, 37, 47, 25, 33, 51syl23anc 1378 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦)
534ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
54 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5512, 54, 15lspcl 20453 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
564, 14, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5756ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5839ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐹)
5912, 15lspssid 20462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
604, 14, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
6160, 40sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6261ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6342, 43, 44, 54lssvscl 20432 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6453, 57, 58, 62, 63syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6548, 54lssvsubcl 20420 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6653, 57, 64, 24, 65syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6752, 66eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6867, 32elind 4159 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
69 lindsun.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
7069ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
7168, 70eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ { 0 })
72 elsni 4608 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ { 0 } β†’ 𝑦 = 0 )
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 = 0 )
7473oveq2d 7378 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š) 0 ))
75 lindsun.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
7612, 34, 75grprid 18788 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š) 0 ) = π‘₯)
777, 25, 76syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š) 0 ) = π‘₯)
781, 74, 773eqtrd 2781 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = π‘₯)
7978, 23eqeltrd 2838 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
8040ad3antrrr 729 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
8138ad3antrrr 729 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}))
822ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8311ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
84 lindsunlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8512, 43, 15, 42, 44, 84islinds2 21235 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})))))
8685simplbda 501 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})))
8782, 83, 86syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})))
88 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢))
89 sneq 4601 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐢 β†’ {𝑐} = {𝐢})
9089difeq2d 4087 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘ˆ βˆ– {𝑐}) = (π‘ˆ βˆ– {𝐢}))
9190fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
9288, 91eleq12d 2832 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
9392notbid 318 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
94 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢))
9594eleq1d 2823 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ↔ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
9695notbid 318 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ↔ Β¬ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
9793, 96rspc2va 3594 . . . 4 (((𝐢 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂})) ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐}))) β†’ Β¬ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
9880, 81, 87, 97syl21anc 837 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ Β¬ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
9979, 98pm2.21fal 1564 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βŠ₯)
10014ssdifssd 4107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
10112, 54, 15lspcl 20453 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1024, 100, 101syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10354lsssubg 20434 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1044, 102, 103syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10512, 54, 15lspcl 20453 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1064, 28, 105syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10754lsssubg 20434 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1084, 106, 107syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
109 lindsunlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
110 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
11112, 15, 110lsmsp2 20564 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉)))
1124, 100, 28, 111syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉)))
11361adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
11412, 15lspssid 20462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜π‘‰))
1154, 28, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜π‘‰))
116115sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
117113, 116elind 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
11869adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
119117, 118eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ { 0 })
120 elsni 4608 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ { 0 } β†’ 𝐢 = 0 )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = 0 )
122750nellinds 32199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ)
1232, 11, 122syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ)
124 nelne2 3043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 β‰  0 )
12540, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  0 )
126125adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 β‰  0 )
127126neneqd 2949 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝐢 = 0 )
128121, 127pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝑉)
129 disjsn 4677 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∩ {𝐢}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐢 ∈ 𝑉)
130128, 129sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ {𝐢}) = βˆ…)
131 undif4 4431 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∩ {𝐢}) = βˆ… β†’ (𝑉 βˆͺ (π‘ˆ βˆ– {𝐢})) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝐢}))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆͺ (π‘ˆ βˆ– {𝐢})) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝐢}))
133 uncom 4118 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}))
134 uncom 4118 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ π‘ˆ)
135134difeq1i 4083 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢}) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝐢})
136132, 133, 1353eqtr4g 2802 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉) = ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢}))
137136fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
138112, 137eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
139109, 138eleqtrrd 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)))
14034, 110lsmelval 19438 . . . 4 (((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘‰)(𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
141140biimpa 478 . . 3 ((((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘‰)(𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
142104, 108, 139, 141syl21anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘‰)(𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
14399, 142r19.29vva 3208 1 (πœ‘ β†’ βŠ₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ₯wfal 1554   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LVecclvec 20579  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  lindsun  32360
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