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Theorem lindsunlem 33378
Description: Lemma for lindsun 33379. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsun.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lindsun.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lindsun.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lindsun.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
lindsun.2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
lindsunlem.o 𝑂 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
lindsunlem.f 𝐹 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
lindsunlem.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
lindsunlem.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}))
lindsunlem.1 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
Assertion
Ref Expression
lindsunlem (πœ‘ β†’ βŠ₯)

Proof of Theorem lindsunlem
Dummy variables 𝑐 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
2 lindsun.w . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20993 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lmodgrp 20752 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
76ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
8 lmodabl 20794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
109ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ Abel)
11 lindsun.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
12 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1312linds1 21746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
15 lindsun.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
1612, 15lspssv 20869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
174, 14, 16syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1817ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
19 difssd 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘ˆ)
2012, 15lspss 20870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
214, 14, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
2221ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
23 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
2422, 23sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
2518, 24sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
26 lindsun.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2712linds1 21746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2912, 15lspssv 20869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
304, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
32 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
3331, 32sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
34 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3512, 34ablcom 19756 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯))
3610, 25, 33, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯))
371, 36eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢))
38 lindsunlem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}))
3938eldifad 3952 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐹)
40 lindsunlem.c . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
4114, 40sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
42 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
44 lindsunlem.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4512, 42, 43, 44lmodvscl 20763 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
464, 39, 41, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4746ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
4912, 34, 48grpsubadd 18986 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)))
5049biimpar 476 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦)
5150an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)π‘₯) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦)
527, 37, 47, 25, 33, 51syl23anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) = 𝑦)
534ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
54 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5512, 54, 15lspcl 20862 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
564, 14, 55syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5756ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5839ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ 𝐹)
5912, 15lspssid 20871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
604, 14, 59syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
6160, 40sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6261ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6342, 43, 44, 54lssvscl 20841 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6453, 57, 58, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6548, 54lssvsubcl 20830 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6653, 57, 64, 24, 65syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢)(-gβ€˜π‘Š)π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6752, 66eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
6867, 32elind 4188 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
69 lindsun.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
7069ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
7168, 70eleqtrd 2827 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ { 0 })
72 elsni 4641 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ { 0 } β†’ 𝑦 = 0 )
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝑦 = 0 )
7473oveq2d 7431 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š) 0 ))
75 lindsun.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
7612, 34, 75grprid 18927 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š) 0 ) = π‘₯)
777, 25, 76syl2anc 582 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š) 0 ) = π‘₯)
781, 74, 773eqtrd 2769 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = π‘₯)
7978, 23eqeltrd 2825 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
8040ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
8138ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}))
822ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8311ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
84 lindsunlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8512, 43, 15, 42, 44, 84islinds2 21749 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})))))
8685simplbda 498 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})))
8782, 83, 86syl2anc 582 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})))
88 oveq2 7423 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢))
89 sneq 4634 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐢 β†’ {𝑐} = {𝐢})
9089difeq2d 4114 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘ˆ βˆ– {𝑐}) = (π‘ˆ βˆ– {𝐢}))
9190fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})) = (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
9288, 91eleq12d 2819 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})) ↔ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
9392notbid 317 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐})) ↔ Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
94 oveq1 7422 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢))
9594eleq1d 2810 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ↔ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
9695notbid 317 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ↔ Β¬ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))))
9793, 96rspc2va 3614 . . . 4 (((𝐢 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐾 ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂})) ∧ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐹 βˆ– {𝑂}) Β¬ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑐) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝑐}))) β†’ Β¬ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
9880, 81, 87, 97syl21anc 836 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ Β¬ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})))
9979, 98pm2.21fal 1555 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))) ∧ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘‰)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βŠ₯)
10014ssdifssd 4135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
10112, 54, 15lspcl 20862 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1024, 100, 101syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10354lsssubg 20843 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1044, 102, 103syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10512, 54, 15lspcl 20862 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1064, 28, 105syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10754lsssubg 20843 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1084, 106, 107syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
109 lindsunlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
110 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
11112, 15, 110lsmsp2 20974 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉)))
1124, 100, 28, 111syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉)))
11361adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘ˆ))
11412, 15lspssid 20871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜π‘‰))
1154, 28, 114syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜π‘‰))
116115sselda 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
117113, 116elind 4188 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
11869adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
119117, 118eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ { 0 })
120 elsni 4641 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ { 0 } β†’ 𝐢 = 0 )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = 0 )
122750nellinds 33128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ)
1232, 11, 122syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ)
124 nelne2 3030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 β‰  0 )
12540, 123, 124syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  0 )
126125adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 β‰  0 )
127126neneqd 2935 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝐢 = 0 )
128121, 127pm2.65da 815 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝑉)
129 disjsn 4711 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∩ {𝐢}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐢 ∈ 𝑉)
130128, 129sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ {𝐢}) = βˆ…)
131 undif4 4462 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∩ {𝐢}) = βˆ… β†’ (𝑉 βˆͺ (π‘ˆ βˆ– {𝐢})) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝐢}))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆͺ (π‘ˆ βˆ– {𝐢})) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝐢}))
133 uncom 4146 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ (π‘ˆ βˆ– {𝐢}))
134 uncom 4146 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βˆͺ 𝑉) = (𝑉 βˆͺ π‘ˆ)
135134difeq1i 4110 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢}) = ((𝑉 βˆͺ π‘ˆ) βˆ– {𝐢})
136132, 133, 1353eqtr4g 2790 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉) = ((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢}))
137136fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((π‘ˆ βˆ– {𝐢}) βˆͺ 𝑉)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
138112, 137eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) = (π‘β€˜((π‘ˆ βˆͺ 𝑉) βˆ– {𝐢})))
139109, 138eleqtrrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)))
14034, 110lsmelval 19606 . . . 4 (((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘‰)(𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
141140biimpa 475 . . 3 ((((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) ∈ ((π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘‰)(𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
142104, 108, 139, 141syl21anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘ˆ βˆ– {𝐢}))βˆƒπ‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘‰)(𝐾( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐢) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)𝑦))
14399, 142r19.29vva 3204 1 (πœ‘ β†’ βŠ₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ₯wfal 1545   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  -gcsg 18894  SubGrpcsubg 19077  LSSumclsm 19591  Abelcabl 19738  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  LIndSclinds 21741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lindf 21742  df-linds 21743
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