Theorem lindsunlem 34080

Description: Lemma for lindsun 34081. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindsun.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lindsun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
lindsunlem.o	⊢ 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.f	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
lindsunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
lindsunlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))

Assertion

Ref	Expression
lindsunlem	⊢ (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem lindsunlem

Dummy variables 𝑐 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
2		lindsun.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 21279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lmodgrp 21040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Grp)
8		lmodabl 21082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
9	4, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
10	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Abel)
11		lindsun.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
12		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12	linds1 22012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
15		lindsun.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	12, 15	lspssv 21156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
17	4, 14, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
19		difssd 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈)
20	12, 15	lspss 21157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁‘𝑈))
21	4, 14, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁‘𝑈))
22	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁‘𝑈))
23		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
24	22, 23	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑈))
25	18, 24	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		lindsun.v	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
27	12	linds1 22012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
29	12, 15	lspssv 21156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
30	4, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
32		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉))
33	31, 32	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
34		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
35	12, 34	ablcom 19915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
37	1, 36	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶))
38		lindsunlem.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
39	38	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
40		lindsunlem.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
41	14, 40	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑊))
42		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
43		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		lindsunlem.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	12, 42, 43, 44	lmodvscl 21051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
46	4, 39, 41, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
49	12, 34, 48	grpsubadd 19140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)))
50	49	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦)
51	50	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦)
52	7, 37, 47, 25, 33, 51	syl23anc 1404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦)
53	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
54		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
55	12, 54, 15	lspcl 21149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
56	4, 14, 55	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57	56	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
58	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ 𝐹)
59	12, 15	lspssid 21158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
60	4, 14, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
61	60, 40	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))
62	61	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))
63	42, 43, 44, 54	lssvscl 21128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘𝑈))
64	53, 57, 58, 62, 63	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘𝑈))
65	48, 54	lssvsubcl 21117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑈))) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘𝑈))
66	53, 57, 64, 24, 65	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘𝑈))
67	52, 66	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑈))
68	67, 32	elind 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)))
69		lindsun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
70	69	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
71	68, 70	eleqtrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ { 0 })
72		elsni 4608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
73	71, 72	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 = 0 )
74	73	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊) 0 ))
75		lindsun.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
76	12, 34, 75	grprid 19081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊) 0 ) = 𝑥)
77	7, 25, 76	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑊) 0 ) = 𝑥)
78	1, 74, 77	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = 𝑥)
79	78, 23	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
80	40	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ 𝑈)
81	38	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
82	2	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
83	11	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
84		lindsunlem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
85	12, 43, 15, 42, 44, 84	islinds2 22015	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))))
86	85	simplbda 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
87	82, 83, 86	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
88		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶))
89		sneq 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
90	89	difeq2d 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑈 ∖ {𝑐}) = (𝑈 ∖ {𝐶}))
91	90	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) = (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
92	88, 91	eleq12d 2859	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
93	92	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
94		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶))
95	94	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
96	95	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ ¬ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
97	93, 96	rspc2va 3595	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂})) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐}))) → ¬ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
98	80, 81, 87, 97	syl21anc 851	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ¬ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
99	79, 98	pm2.21fal 1592	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ⊥)
100	14	ssdifssd 4101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊))
101	12, 54, 15	lspcl 21149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
102	4, 100, 101	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
103	54	lsssubg 21130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
104	4, 102, 103	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
105	12, 54, 15	lspcl 21149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
106	4, 28, 105	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
107	54	lsssubg 21130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
108	4, 106, 107	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
109		lindsunlem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))
110		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
111	12, 15, 110	lsmsp2 21260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
112	4, 100, 28, 111	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
113	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))
114	12, 15	lspssid 21158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑉))
115	4, 28, 114	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑉))
116	115	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑉))
117	113, 116	elind 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)))
118	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
119	117, 118	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ { 0 })
120		elsni 4608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ { 0 } → 𝐶 = 0 )
121	119, 120	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = 0 )
122	75	0nellinds 33751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
123	2, 11, 122	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝑈)
124		nelne2 3058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈) → 𝐶 ≠ 0 )
125	40, 123, 124	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
126	125	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≠ 0 )
127	126	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ¬ 𝐶 = 0 )
128	121, 127	pm2.65da 829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝑉)
129		disjsn 4679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝑉)
130	128, 129	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅)
131		undif4 4427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝐶}))
132	130, 131	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝐶}))
133		uncom 4112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶}))
134		uncom 4112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ 𝑈)
135	134	difeq1i 4077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶}) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝐶})
136	132, 133, 135	3eqtr4g 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶}))
137	136	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))
138	112, 137	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))
139	109, 138	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)))
140	34, 110	lsmelval 19765	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)(𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)))
141	140	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉))) → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)(𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
142	104, 108, 139, 141	syl21anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)(𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
143	99, 142	r19.29vva 3227	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  0_gc0g 17516  Grpcgrp 19046  -_gcsg 19048  SubGrpcsubg 19232  LSSumclsm 19750  Abelcabl 19897  LModclmod 21033  LSubSpclss 21104  LSpanclspn 21144  LVecclvec 21275  LIndSclinds 22007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-lindf 22008  df-linds 22009

This theorem is used by:  lindsun  34081