Theorem ablsub32 19819

Description: Swap the second and third terms in a double group subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub32	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌))

Proof of Theorem ablsub32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablnncan.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		ablnncan.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	ablcom 19797	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)𝑌))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)𝑌))
8	7	oveq2d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − (𝑍(+g‘𝐺)𝑌)))
9		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 9, 1, 10, 2, 3	ablsubsub4 19816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌(+g‘𝐺)𝑍)))
12	4, 5, 9, 1, 10, 3, 2	ablsubsub4 19816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑍(+g‘𝐺)𝑌)))
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  -_gcsg 18930  Abelcabl 19779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-cmn 19780  df-abl 19781

This theorem is referenced by:  ablnnncan1  19821  baerlem5alem2  41410