Theorem ablsub32 19750

Description: Swap the second and third terms in a double group subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub32	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌))

Proof of Theorem ablsub32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablnncan.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		ablnncan.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	ablcom 19728	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)𝑌))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)𝑌))
8	7	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − (𝑍(+g‘𝐺)𝑌)))
9		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 9, 1, 10, 2, 3	ablsubsub4 19747	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌(+g‘𝐺)𝑍)))
12	4, 5, 9, 1, 10, 3, 2	ablsubsub4 19747	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑍(+g‘𝐺)𝑌)))
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  -_gcsg 18865  Abelcabl 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712

This theorem is referenced by:  ablnnncan1  19752  baerlem5alem2  41967