MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablinvadd 19840
Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablinvadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablinvadd.p + = (+g𝐺)
ablinvadd.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablinvadd ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem ablinvadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 19818 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2 ablinvadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ablinvadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 ablinvadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
52, 3, 4grpinvadd 19049 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
61, 5syl3an1 1162 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
7 simp1 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
813ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp2 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
102, 4grpinvcl 19018 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
12 simp3 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
132, 4grpinvcl 19018 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
148, 12, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
152, 3ablcom 19832 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
167, 11, 14, 15syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
176, 16eqtr4d 2778 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  ablsub4  19843  mulgdi  19859  invghm  19866  lmodnegadd  20926  lflnegcl  39057  baerlem3lem1  41690
  Copyright terms: Public domain W3C validator