MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablinvadd 19826
Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablinvadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablinvadd.p + = (+g𝐺)
ablinvadd.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablinvadd ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem ablinvadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 19804 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2 ablinvadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ablinvadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 ablinvadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
52, 3, 4grpinvadd 19037 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
61, 5syl3an1 1163 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
7 simp1 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
813ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp2 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
102, 4grpinvcl 19006 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
12 simp3 1138 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
132, 4grpinvcl 19006 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
148, 12, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
152, 3ablcom 19818 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
167, 11, 14, 15syl3anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
176, 16eqtr4d 2779 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  Abelcabl 19800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-cmn 19801  df-abl 19802
This theorem is referenced by:  ablsub4  19829  mulgdi  19845  invghm  19852  lmodnegadd  20910  lflnegcl  39077  baerlem3lem1  41710
  Copyright terms: Public domain W3C validator