MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablinvadd 18930
Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablinvadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablinvadd.p + = (+g𝐺)
ablinvadd.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablinvadd ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem ablinvadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 18911 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2 ablinvadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ablinvadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 ablinvadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
52, 3, 4grpinvadd 18177 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
61, 5syl3an1 1160 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
7 simp1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
813ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp2 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
102, 4grpinvcl 18151 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 587 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
12 simp3 1135 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
132, 4grpinvcl 18151 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
148, 12, 13syl2anc 587 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
152, 3ablcom 18924 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
167, 11, 14, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
176, 16eqtr4d 2862 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  Abelcabl 18907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-cmn 18908  df-abl 18909
This theorem is referenced by:  ablsub4  18933  mulgdi  18947  invghm  18954  lmodnegadd  19683  lflnegcl  36319  baerlem3lem1  38951
  Copyright terms: Public domain W3C validator