Theorem ablnnncan 19339

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 11186 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ablgrp 19306	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablnncan.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10	1, 3	grpsubcl 18570	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 11, 9	ablsubsub4 19335	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
13	1, 2	ablcom 19319	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)))
14	4, 11, 9, 13	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)))
15	1, 2, 3	ablpncan3 19333	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)) = 𝑌)
16	4, 9, 8, 15	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)) = 𝑌)
17	14, 16	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
18	17	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))
19	12, 18	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by: (None)