MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvsubval2 24379
Description: Value of vector subtraction on a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvsubval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
clmvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvsubval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ((-1 Β· 𝐡) + 𝐴))

Proof of Theorem clmvsubval2
StepHypRef Expression
1 clmvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 clmvsubval.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 clmvsubval.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4 clmvsubval.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 clmvsubval.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5clmvsubval 24378 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
7 clmabl 24338 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Abel)
873ad2ant1 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ Abel)
9 simp2 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 simpl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
11 eqid 2736 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
124, 11clmneg1 24351 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1312adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
14 simpr 485 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
151, 4, 5, 11clmvscl 24357 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
1610, 13, 14, 15syl3anc 1370 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
17163adant2 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
181, 2ablcom 19499 . . 3 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (-1 Β· 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)) = ((-1 Β· 𝐡) + 𝐴))
198, 9, 17, 18syl3anc 1370 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)) = ((-1 Β· 𝐡) + 𝐴))
206, 19eqtrd 2776 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = ((-1 Β· 𝐡) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  1c1 10973  -cneg 11307  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  -gcsg 18675  Abelcabl 19482  β„‚Modcclm 24331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-seq 13823  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-cring 19881  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-cnfld 20704  df-clm 24332
This theorem is referenced by:  clmvz  24380
  Copyright terms: Public domain W3C validator