Theorem clmvsubval2 25017

Description: Value of vector subtraction on a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

Proof of Theorem clmvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmvsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		clmvsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		clmvsubval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmvsubval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	clmvsubval 25016	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
7		clmabl 24976	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Abel)
9		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	4, 11	clmneg1 24989	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘𝐹))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘𝐹))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
15	1, 4, 5, 11	clmvscl 24995	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
16	10, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
17	16	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
18	1, 2	ablcom 19736	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
19	8, 9, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
20	6, 19	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076  -cneg 11413  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  -_gcsg 18874  Abelcabl 19718  ℂModcclm 24969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-cnfld 21272  df-clm 24970

This theorem is referenced by:  clmvz  25018