Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvsubval2 23718
 Description: Value of vector subtraction on a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p + = (+g𝑊)
clmvsubval.m = (-g𝑊)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

Proof of Theorem clmvsubval2
StepHypRef Expression
1 clmvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 clmvsubval.p . . 3 + = (+g𝑊)
3 clmvsubval.m . . 3 = (-g𝑊)
4 clmvsubval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 clmvsubval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
61, 2, 3, 4, 5clmvsubval 23717 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
7 clmabl 23677 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
873ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ Abel)
9 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
10 simpl 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
124, 11clmneg1 23690 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘𝐹))
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → -1 ∈ (Base‘𝐹))
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
151, 4, 5, 11clmvscl 23696 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝐵𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
1610, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
17163adant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
181, 2ablcom 18919 . . 3 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑉 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
198, 9, 17, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
206, 19eqtrd 2836 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531  -cneg 10864  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  -gcsg 18100  Abelcabl 18902  ℂModcclm 23670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-cnfld 20095  df-clm 23671 This theorem is referenced by:  clmvz  23719
 Copyright terms: Public domain W3C validator