Theorem clmvsubval2 25278

Description: Value of vector subtraction on a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

Proof of Theorem clmvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmvsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		clmvsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		clmvsubval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmvsubval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	clmvsubval 25277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
7		clmabl 25237	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Abel)
9		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	4, 11	clmneg1 25250	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘𝐹))
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘𝐹))
14		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
15	1, 4, 5, 11	clmvscl 25256	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
16	10, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
17	16	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
18	1, 2	ablcom 19873	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
19	8, 9, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
20	6, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11105  -cneg 11446  Basecbs 17273  +_gcplusg 17314  Scalarcsca 17317   ·_𝑠 cvsca 17318  -_gcsg 19006  Abelcabl 19855  ℂModcclm 25230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-seq 14043  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-cnfld 21532  df-clm 25231

This theorem is used by:  clmvz  25279