Theorem clmvsubval2 25078

Description: Value of vector subtraction on a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

Proof of Theorem clmvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		clmvsubval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		clmvsubval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		clmvsubval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmvsubval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	clmvsubval 25077	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
7		clmabl 25037	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	7	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Abel)
9		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
12	4, 11	clmneg1 25050	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘𝐹))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘𝐹))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
15	1, 4, 5, 11	clmvscl 25056	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
16	10, 13, 14, 15	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
17	16	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉)
18	1, 2	ablcom 19740	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
19	8, 9, 17, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))
20	6, 19	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = ((-1 · 𝐵) + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  -cneg 11377  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  -_gcsg 18877  Abelcabl 19722  ℂModcclm 25030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-cnfld 21322  df-clm 25031

This theorem is referenced by:  clmvz  25079