Theorem prlem934 11035

Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
prlem934.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prlem934	⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 10991	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
2		r19.2z 4462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
3	2	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5		prpssnq 10992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊊ Q)
6	5	pssssd 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊆ Q)
7	6	sseld 3937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8		addnqf 10950	. . . . . . . . . 10 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
9	8	fdmi 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
10		0nnq 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
11	9, 10	ndmovrcl 7606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
12	11	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → 𝐵 ∈ Q)
13	7, 12	syl6com 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ Q))
14	13	rexlimivw 3164	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ Q))
15	14	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ Q))
16		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
17	16	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
18	17	ralbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
19	18	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
20	19	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21		dfpss2 4043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊊ Q ↔ (𝐴 ⊆ Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
22	5, 21	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ⊆ Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
23	22	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → ¬ 𝐴 = Q)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ 𝐴 = Q)
25	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ Q)
26		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝐴 ∈ P)
27		n0 4307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
28	1, 27	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
30		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ Q)
31		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ Q)
32		recclnq 10968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (*Q‘𝑏) ∈ Q)
33		mulclnq 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) ∈ Q)
34		archnq 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
36	32, 35	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
37	30, 31, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
38		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑏 ∈ Q)
39		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 ∈ Q)
40		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
41		ltmnq 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ Q → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (𝑏 ·Q ⟨𝑧, 1o⟩)))
42		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑏 ∈ V
43		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑤 ∈ V
44		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (*Q‘𝑏) ∈ V
45		mulcomnq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46		mulassnq 10961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
47	42, 43, 44, 45, 46	caov12 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏)))
48		mulcomnq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ·Q ⟨𝑧, 1o⟩) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)
49	47, 48	breq12i 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (𝑏 ·Q ⟨𝑧, 1o⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
50	41, 49	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ Q → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
52		recidnq 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏)) = 1Q)
53	52	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54		mulidnq 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
55	53, 54	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) = 𝑤)
56	55	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
57	51, 56	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
58	57	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
59	38, 39, 40, 58	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
60		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑧 ∈ N)
61		pinq 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q)
62		mulclnq 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
63	61, 62	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
64	60, 38, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝐴 ∈ P)
66		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
67		elprnq 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
68	65, 66, 67	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑦 ∈ Q)
69		ltaddnq 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70		addcomnq 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
71	69, 70	breqtrdi 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
72	64, 68, 71	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
73		ltsonq 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q Or Q
74		ltrelnq 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
75	73, 74	sotri 6129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
76	59, 72, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
77		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78		opeq1 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩)
79		df-1nq 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1Q = ⟨1o, 1o⟩
80	78, 79	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = 1Q)
81	80	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = 1o → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
82	81	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = 1o → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
83	82	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 1o → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
84	83	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 1o → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85		opeq1 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨𝑧, 1o⟩)
86	85	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
87	86	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
88	87	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
89	88	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90		opeq1 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
91	90	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
92	91	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
93	92	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
94	93	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95		mulcomnq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96		mulidnq 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
97	95, 96	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
99	98	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
100	99	rspccva 3582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102	101	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103	102	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
104	97, 100, 103	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
105	104	3impb 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106		3simpa 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108	107	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109	108	rspccva 3582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110		addassnq 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111		opex 5447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ V
112		1nq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1Q ∈ Q
113	112	elexi 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 1Q ∈ V
114		distrnq 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115	111, 113, 42, 45, 114	caovdir 7654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117		addpqnq 10940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
118	61, 112, 117	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
119	79	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩)
120		1pi 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 1o ∈ N
121		addpipq 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (1o ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
122	120, 120, 121	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
123	120, 122	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
124	119, 123	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
125		mulidpi 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
126		mulidpi 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (1o ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
127	120, 126	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
128	125, 127	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (𝑧 +N 1o))
129	128, 127	opeq12d 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ N → ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
130	124, 129	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
131	130	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩))
132		addclpi 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
133	120, 132	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
134		pinq 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 +N 1o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q)
135		nqerid 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
136	133, 134, 135	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
137	118, 131, 136	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
138	137	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
139	138	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
140	97	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141	140	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142	116, 139, 141	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
143	142	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
144	110, 143	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
145	144	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146	109, 145	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147	146	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148	147	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149	106, 148	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150	149	a2d 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ N → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
151	84, 89, 94, 89, 105, 150	indpi 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152	151	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ (𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
153	60, 38, 77, 66, 152	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154		prcdnq 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐴))
155	65, 153, 154	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐴))
156	76, 155	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
157	37, 156	rexlimddv 3174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
158	157	expr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ 𝐴))
159	158	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ 𝐴))
160	29, 159	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑤 ∈ 𝐴)
161	25, 160	eqelssd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
162	161	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → 𝐴 = Q))
163	24, 162	mtod 201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
164	163	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
165	20, 164	vtoclga 3543	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
166	165	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ Q → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
167	4, 15, 166	3syld 61	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168	167	pm2.01d 192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
169		rexnal 3119	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
170	168, 169	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  ∅c0 4286  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1_oc1o 8452  Ncnpi 10846   +_N cpli 10847   ·_N cmi 10848   +_pQ cplpq 10850  Qcnq 10854  1_Qc1q 10855  [Q]cerq 10856   +_Q cplq 10857   ·_Q cmq 10858  *_Qcrq 10859   <_Q cltq 10860  Pcnp 10861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10874  df-pli 10875  df-mi 10876  df-lti 10877  df-plpq 10910  df-mpq 10911  df-ltpq 10912  df-enq 10913  df-nq 10914  df-erq 10915  df-plq 10916  df-mq 10917  df-1nq 10918  df-rq 10919  df-ltnq 10920  df-np 10983

This theorem is used by:  ltaddpr  11036  ltexprlem7  11044  prlem936  11049