Theorem prlem934 10789

Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
prlem934.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
prlem934	⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 10745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
2		r19.2z 4425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
3	2	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5		prpssnq 10746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊊ Q)
6	5	pssssd 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊆ Q)
7	6	sseld 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8		addnqf 10704	. . . . . . . . . 10 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
9	8	fdmi 6612	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
10		0nnq 10680	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
11	9, 10	ndmovrcl 7458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
12	11	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → 𝐵 ∈ Q)
13	7, 12	syl6com 37	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ Q))
14	13	rexlimivw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ Q))
15	14	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ Q))
16		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
17	16	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
18	17	ralbidv 3112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
19	18	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
20	19	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21		dfpss2 4020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊊ Q ↔ (𝐴 ⊆ Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
22	5, 21	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ⊆ Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
23	22	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → ¬ 𝐴 = Q)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ 𝐴 = Q)
25	6	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ Q)
26		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝐴 ∈ P)
27		n0 4280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
28	1, 27	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
30		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ Q)
31		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ Q)
32		recclnq 10722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (*Q‘𝑏) ∈ Q)
33		mulclnq 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) ∈ Q)
34		archnq 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
36	32, 35	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
37	30, 31, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ N (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
38		simpll2 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑏 ∈ Q)
39		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 ∈ Q)
40		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)
41		ltmnq 10728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ Q → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (𝑏 ·Q ⟨𝑧, 1o⟩)))
42		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑏 ∈ V
43		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑤 ∈ V
44		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (*Q‘𝑏) ∈ V
45		mulcomnq 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46		mulassnq 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
47	42, 43, 44, 45, 46	caov12 7500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏)))
48		mulcomnq 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ·Q ⟨𝑧, 1o⟩) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)
49	47, 48	breq12i 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (𝑏 ·Q ⟨𝑧, 1o⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
50	41, 49	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ Q → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
52		recidnq 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏)) = 1Q)
53	52	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54		mulidnq 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
55	53, 54	sylan9eq 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) = 𝑤)
56	55	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q‘𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
57	51, 56	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ((𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
58	57	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
59	38, 39, 40, 58	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
60		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑧 ∈ N)
61		pinq 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q)
62		mulclnq 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
63	61, 62	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
64	60, 38, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65		simpll1 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝐴 ∈ P)
66		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
67		elprnq 10747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
68	65, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑦 ∈ Q)
69		ltaddnq 10730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70		addcomnq 10707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
71	69, 70	breqtrdi 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
72	64, 68, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
73		ltsonq 10725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q Or Q
74		ltrelnq 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
75	73, 74	sotri 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
76	59, 72, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
77		simpll3 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78		opeq1 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩)
79		df-1nq 10672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1Q = ⟨1o, 1o⟩
80	78, 79	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = 1Q)
81	80	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = 1o → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
82	81	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = 1o → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
83	82	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 1o → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
84	83	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 1o → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85		opeq1 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨𝑧, 1o⟩)
86	85	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
87	86	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
88	87	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
89	88	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90		opeq1 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
91	90	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
92	91	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
93	92	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
94	93	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95		mulcomnq 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96		mulidnq 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
97	95, 96	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
99	98	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
100	99	rspccva 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102	101	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103	102	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
104	97, 100, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
105	104	3impb 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106		3simpa 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108	107	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109	108	rspccva 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110		addassnq 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111		opex 5379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ V
112		1nq 10684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1Q ∈ Q
113	112	elexi 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 1Q ∈ V
114		distrnq 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115	111, 113, 42, 45, 114	caovdir 7506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117		addpqnq 10694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
118	61, 112, 117	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
119	79	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩)
120		1pi 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 1o ∈ N
121		addpipq 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ (1o ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
122	120, 120, 121	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
123	120, 122	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
124	119, 123	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
125		mulidpi 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
126		mulidpi 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (1o ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
127	120, 126	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ N → (1o ·N 1o) = 1o)
128	125, 127	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (𝑧 +N 1o))
129	128, 127	opeq12d 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ N → ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
130	124, 129	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
131	130	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩))
132		addclpi 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
133	120, 132	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
134		pinq 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 +N 1o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q)
135		nqerid 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
136	133, 134, 135	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
137	118, 131, 136	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
139	138	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
140	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141	140	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142	116, 139, 141	3eqtr3rd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
143	142	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
144	110, 143	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
145	144	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146	109, 145	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147	146	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ Q) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148	147	expimpd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149	106, 148	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150	149	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ N → (((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
151	84, 89, 94, 89, 105, 150	indpi 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152	151	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ (𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
153	60, 38, 77, 66, 152	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154		prcdnq 10749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐴))
155	65, 153, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝐴))
156	76, 155	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ (𝑤 ·Q (*Q‘𝑏)) <Q ⟨𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
157	37, 156	rexlimddv 3220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
158	157	expr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ 𝐴))
159	158	exlimdv 1936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ 𝐴))
160	29, 159	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑤 ∈ 𝐴)
161	25, 160	eqelssd 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
162	161	3expia 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → 𝐴 = Q))
163	24, 162	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
164	163	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
165	20, 164	vtoclga 3513	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
166	165	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ Q → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
167	4, 15, 166	3syld 60	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168	167	pm2.01d 189	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
169		rexnal 3169	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
170	168, 169	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  ∅c0 4256  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290  Ncnpi 10600   +_N cpli 10601   ·_N cmi 10602   +_pQ cplpq 10604  Qcnq 10608  1_Qc1q 10609  [Q]cerq 10610   +_Q cplq 10611   ·_Q cmq 10612  *_Qcrq 10613   <_Q cltq 10614  Pcnp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737

This theorem is referenced by:  ltaddpr  10790  ltexprlem7  10798  prlem936  10803