MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prlem934 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prlem934 10308
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
prlem934 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 10264 . . . . 5 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 r19.2z 4360 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
32ex 413 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5 prpssnq 10265 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐴Q)
65pssssd 4001 . . . . . . . 8 (𝐴P𝐴Q)
76sseld 3894 . . . . . . 7 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8 addnqf 10223 . . . . . . . . . 10 +Q :(Q × Q)⟶Q
98fdmi 6399 . . . . . . . . 9 dom +Q = (Q × Q)
10 0nnq 10199 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ Q
119, 10ndmovrcl 7197 . . . . . . . 8 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥Q𝐵Q))
1211simprd 496 . . . . . . 7 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q)
137, 12syl6com 37 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1413rexlimivw 3247 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1514com12 32 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴𝐵Q))
16 oveq2 7031 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
1716eleq1d 2869 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3166 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1918notbid 319 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
2019imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21 dfpss2 3989 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q ↔ (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
225, 21sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
2322simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ¬ 𝐴 = Q)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ 𝐴 = Q)
2563ad2ant1 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴Q)
26 simpl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝐴P)
27 n0 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
281, 27sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
30 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤Q)
31 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑏Q)
32 recclnq 10241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏Q → (*Q𝑏) ∈ Q)
33 mulclnq 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q)
34 archnq 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3632, 35sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤Q𝑏Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3730, 31, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
38 simpll2 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑏Q)
39 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤Q)
40 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
41 ltmnq 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩)))
42 vex 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏 ∈ V
43 vex 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ∈ V
44 fvex 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (*Q𝑏) ∈ V
45 mulcomnq 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46 mulassnq 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
4742, 43, 44, 45, 46caov12 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏)))
48 mulcomnq 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)
4947, 48breq12i 4977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
5041, 49syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
52 recidnq 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q (*Q𝑏)) = 1Q)
5352oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54 mulidnq 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
5553, 54sylan9eq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q𝑤Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = 𝑤)
5655breq1d 4978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5751, 56bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5857biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏Q𝑤Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
5938, 39, 40, 58syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
60 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑧N)
61 pinq 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q)
62 mulclnq 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6361, 62sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6460, 38, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65 simpll1 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝐴P)
66 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑦𝐴)
67 elprnq 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
6865, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑦Q)
69 ltaddnq 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70 addcomnq 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
7169, 70syl6breq 5009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
7264, 68, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
73 ltsonq 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q Or Q
74 ltrelnq 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q ⊆ (Q × Q)
7573, 74sotri 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
7659, 72, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
77 simpll3 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78 opeq1 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩)
79 df-1nq 10191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1Q = ⟨1o, 1o
8078, 79syl6eqr 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = 1Q)
8180oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 1o → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
8281oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 1o → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
8382eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 1o → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8483imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 1o → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85 opeq1 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨𝑧, 1o⟩)
8685oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
8786oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
8887eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8988imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90 opeq1 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
9190oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
9291oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
9392eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
9493imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95 mulcomnq 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96 mulidnq 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
9795, 96syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
9998eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
10099rspccva 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101 oveq2 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102101eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103102biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
10497, 100, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q ∧ (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
1051043impb 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106 3simpa 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108107eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109108rspccva 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110 addassnq 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111 opex 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧, 1o⟩ ∈ V
112 1nq 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1QQ
113112elexi 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1Q ∈ V
114 distrnq 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 7245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117 addpqnq 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 1QQ) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
11861, 112, 117sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
11979oveq2i 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩)
120 1pi 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1oN
121 addpipq 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑧N ∧ 1oN) ∧ (1oN ∧ 1oN)) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
122120, 120, 121mpanr12 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑧N ∧ 1oN) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
123120, 122mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
124119, 123syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
125 mulidpi 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
126 mulidpi 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (1oN → (1o ·N 1o) = 1o)
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (1o ·N 1o) = 1o)
128125, 127oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → ((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (𝑧 +N 1o))
129128, 127opeq12d 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
130124, 129eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
131130fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩))
132 addclpi 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
133120, 132mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
134 pinq 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 +N 1o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q)
135 nqerid 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
136133, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
137118, 131, 1363eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
139138oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
14097adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141140oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142116, 139, 1413eqtr3rd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
143142oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧N𝑏Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
144110, 143syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧N𝑏Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
145144eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧N𝑏Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146109, 145syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧N𝑏Q) → ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147146expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧N𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148147expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149106, 148syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150149a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152151imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧N ∧ (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154 prcdnq 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15565, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15676, 155mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤𝐴)
15737, 156rexlimddv 3256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤𝐴)
158157expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑦𝐴𝑤𝐴))
159158exlimdv 1915 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑤𝐴))
16029, 159mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝑤𝐴)
16125, 160eqelssd 3915 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
1621613expia 1114 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝐴 = Q))
16324, 162mtod 199 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
164163expcom 414 . . . . . 6 (𝑏Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
16520, 164vtoclga 3519 . . . . 5 (𝐵Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
166165com12 32 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1674, 15, 1663syld 60 . . 3 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168167pm2.01d 191 . 2 (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
169 rexnal 3204 . 2 (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
170168, 169sylibr 235 1 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3440  wss 3865  wpss 3866  c0 4217  cop 4484   class class class wbr 4968   × cxp 5448  cfv 6232  (class class class)co 7023  1oc1o 7953  Ncnpi 10119   +N cpli 10120   ·N cmi 10121   +pQ cplpq 10123  Qcnq 10127  1Qc1q 10128  [Q]cerq 10129   +Q cplq 10130   ·Q cmq 10131  *Qcrq 10132   <Q cltq 10133  Pcnp 10134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-ni 10147  df-pli 10148  df-mi 10149  df-lti 10150  df-plpq 10183  df-mpq 10184  df-ltpq 10185  df-enq 10186  df-nq 10187  df-erq 10188  df-plq 10189  df-mq 10190  df-1nq 10191  df-rq 10192  df-ltnq 10193  df-np 10256
This theorem is referenced by:  ltaddpr  10309  ltexprlem7  10317  prlem936  10322
  Copyright terms: Public domain W3C validator