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Theorem prlem934 10108
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
prlem934 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 10064 . . . . 5 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 r19.2z 4219 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
32ex 401 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5 prpssnq 10065 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐴Q)
65pssssd 3865 . . . . . . . 8 (𝐴P𝐴Q)
76sseld 3760 . . . . . . 7 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8 addnqf 10023 . . . . . . . . . 10 +Q :(Q × Q)⟶Q
98fdmi 6233 . . . . . . . . 9 dom +Q = (Q × Q)
10 0nnq 9999 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ Q
119, 10ndmovrcl 7018 . . . . . . . 8 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥Q𝐵Q))
1211simprd 489 . . . . . . 7 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q)
137, 12syl6com 37 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1413rexlimivw 3176 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1514com12 32 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴𝐵Q))
16 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
1716eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3133 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1918notbid 309 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
2019imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21 dfpss2 3853 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q ↔ (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
225, 21sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
2322simprd 489 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ¬ 𝐴 = Q)
2423adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ 𝐴 = Q)
2563ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴Q)
26 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝐴P)
27 n0 4095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
281, 27sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
30 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤Q)
31 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑏Q)
32 recclnq 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏Q → (*Q𝑏) ∈ Q)
33 mulclnq 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q)
34 archnq 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
3632, 35sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤Q𝑏Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
3730, 31, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
38 simpll2 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑏Q)
39 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤Q)
40 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
41 ltmnq 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1𝑜⟩)))
42 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏 ∈ V
43 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ∈ V
44 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (*Q𝑏) ∈ V
45 mulcomnq 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46 mulassnq 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
4742, 43, 44, 45, 46caov12 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏)))
48 mulcomnq 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q𝑧, 1𝑜⟩) = (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)
4947, 48breq12i 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1𝑜⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
5041, 49syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
52 recidnq 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q (*Q𝑏)) = 1Q)
5352oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54 mulidnq 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
5553, 54sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q𝑤Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = 𝑤)
5655breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
5751, 56bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
5857biimpa 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏Q𝑤Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
5938, 39, 40, 58syl21anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
60 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑧N)
61 pinq 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ Q)
62 mulclnq 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ Q𝑏Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6361, 62sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6460, 38, 63syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65 simpll1 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝐴P)
66 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑦𝐴)
67 elprnq 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
6865, 66, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑦Q)
69 ltaddnq 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70 addcomnq 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
7169, 70syl6breq 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
7264, 68, 71syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
73 ltsonq 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q Or Q
74 ltrelnq 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q ⊆ (Q × Q)
7573, 74sotri 5706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
7659, 72, 75syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
77 simpll3 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78 opeq1 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 1𝑜 → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = ⟨1𝑜, 1𝑜⟩)
79 df-1nq 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1Q = ⟨1𝑜, 1𝑜
8078, 79syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 1𝑜 → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = 1Q)
8180oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 1𝑜 → (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
8281oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 1𝑜 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
8382eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 1𝑜 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8483imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 1𝑜 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85 opeq1 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = ⟨𝑧, 1𝑜⟩)
8685oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
8786oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
8887eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8988imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90 opeq1 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
9190oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
9291oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
9392eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
9493imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95 mulcomnq 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96 mulidnq 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
9795, 96syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
9998eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
10099rspccva 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102101eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103102biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
10497, 100, 103syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q ∧ (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
1051043impb 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106 3simpa 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108107eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109108rspccva 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110 addassnq 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111 opex 5088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧, 1𝑜⟩ ∈ V
112 1nq 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1QQ
113112elexi 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1Q ∈ V
114 distrnq 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 7066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117 addpqnq 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ Q ∧ 1QQ) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q)))
11861, 112, 117sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q)))
11979oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩)
120 1pi 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1𝑜N
121 addpipq 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑧N ∧ 1𝑜N) ∧ (1𝑜N ∧ 1𝑜N)) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
122120, 120, 121mpanr12 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
123120, 122mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
124119, 123syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
125 mulidpi 9961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
126 mulidpi 9961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (1𝑜N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
128125, 127oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → ((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) = (𝑧 +N 1𝑜))
129128, 127opeq12d 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
130124, 129eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
131130fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩))
132 addclpi 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
133120, 132mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
134 pinq 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ Q)
135 nqerid 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
136133, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
137118, 131, 1363eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
138137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
139138oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
14097adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141140oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142116, 139, 1413eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
143142oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧N𝑏Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
144110, 143syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧N𝑏Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
145144eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧N𝑏Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146109, 145syl5ib 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧N𝑏Q) → ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147146expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧N𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148147expimpd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149106, 148syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150149a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152151imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧N ∧ (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154 prcdnq 10068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15565, 153, 154syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15676, 155mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤𝐴)
15737, 156rexlimddv 3182 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤𝐴)
158157expr 448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑦𝐴𝑤𝐴))
159158exlimdv 2028 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑤𝐴))
16029, 159mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝑤𝐴)
16125, 160eqelssd 3782 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
1621613expia 1150 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝐴 = Q))
16324, 162mtod 189 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
164163expcom 402 . . . . . 6 (𝑏Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
16520, 164vtoclga 3424 . . . . 5 (𝐵Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
166165com12 32 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1674, 15, 1663syld 60 . . 3 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168167pm2.01d 181 . 2 (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
169 rexnal 3141 . 2 (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
170168, 169sylibr 225 1 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732  wpss 3733  c0 4079  cop 4340   class class class wbr 4809   × cxp 5275  cfv 6068  (class class class)co 6842  1𝑜c1o 7757  Ncnpi 9919   +N cpli 9920   ·N cmi 9921   +pQ cplpq 9923  Qcnq 9927  1Qc1q 9928  [Q]cerq 9929   +Q cplq 9930   ·Q cmq 9931  *Qcrq 9932   <Q cltq 9933  Pcnp 9934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ni 9947  df-pli 9948  df-mi 9949  df-lti 9950  df-plpq 9983  df-mpq 9984  df-ltpq 9985  df-enq 9986  df-nq 9987  df-erq 9988  df-plq 9989  df-mq 9990  df-1nq 9991  df-rq 9992  df-ltnq 9993  df-np 10056
This theorem is referenced by:  ltaddpr  10109  ltexprlem7  10117  prlem936  10122
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