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Theorem prlem934 11070
Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
prlem934 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 11026 . . . . 5 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 r19.2z 4500 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
32ex 412 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5 prpssnq 11027 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐴Q)
65pssssd 4109 . . . . . . . 8 (𝐴P𝐴Q)
76sseld 3993 . . . . . . 7 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8 addnqf 10985 . . . . . . . . . 10 +Q :(Q × Q)⟶Q
98fdmi 6747 . . . . . . . . 9 dom +Q = (Q × Q)
10 0nnq 10961 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ Q
119, 10ndmovrcl 7618 . . . . . . . 8 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥Q𝐵Q))
1211simprd 495 . . . . . . 7 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q)
137, 12syl6com 37 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1413rexlimivw 3148 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1514com12 32 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴𝐵Q))
16 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
1716eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1918notbid 318 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
2019imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21 dfpss2 4097 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q ↔ (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
225, 21sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
2322simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ¬ 𝐴 = Q)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ 𝐴 = Q)
2563ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴Q)
26 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝐴P)
27 n0 4358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
281, 27sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
30 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤Q)
31 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑏Q)
32 recclnq 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏Q → (*Q𝑏) ∈ Q)
33 mulclnq 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q)
34 archnq 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3632, 35sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤Q𝑏Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3730, 31, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
38 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑏Q)
39 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤Q)
40 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
41 ltmnq 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩)))
42 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏 ∈ V
43 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ∈ V
44 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (*Q𝑏) ∈ V
45 mulcomnq 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46 mulassnq 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
4742, 43, 44, 45, 46caov12 7660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏)))
48 mulcomnq 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)
4947, 48breq12i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
5041, 49bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
52 recidnq 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q (*Q𝑏)) = 1Q)
5352oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54 mulidnq 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
5553, 54sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q𝑤Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = 𝑤)
5655breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5751, 56bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5857biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏Q𝑤Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
5938, 39, 40, 58syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
60 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑧N)
61 pinq 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q)
62 mulclnq 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6361, 62sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6460, 38, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝐴P)
66 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑦𝐴)
67 elprnq 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
6865, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑦Q)
69 ltaddnq 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70 addcomnq 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
7169, 70breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
7264, 68, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
73 ltsonq 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q Or Q
74 ltrelnq 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q ⊆ (Q × Q)
7573, 74sotri 6149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
7659, 72, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
77 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78 opeq1 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩)
79 df-1nq 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1Q = ⟨1o, 1o
8078, 79eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = 1Q)
8180oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 1o → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
8281oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 1o → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
8382eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 1o → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8483imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 1o → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85 opeq1 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨𝑧, 1o⟩)
8685oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
8786oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
8887eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8988imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90 opeq1 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
9190oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
9291oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
9392eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
9493imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95 mulcomnq 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96 mulidnq 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
9795, 96eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
9998eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
10099rspccva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102101eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103102biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
10497, 100, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q ∧ (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
1051043impb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106 3simpa 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108107eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109108rspccva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110 addassnq 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111 opex 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧, 1o⟩ ∈ V
112 1nq 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1QQ
113112elexi 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1Q ∈ V
114 distrnq 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 7666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117 addpqnq 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 1QQ) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
11861, 112, 117sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
11979oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩)
120 1pi 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1oN
121 addpipq 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑧N ∧ 1oN) ∧ (1oN ∧ 1oN)) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
122120, 120, 121mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑧N ∧ 1oN) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
123120, 122mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
124119, 123eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
125 mulidpi 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
126 mulidpi 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (1oN → (1o ·N 1o) = 1o)
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (1o ·N 1o) = 1o)
128125, 127oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → ((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (𝑧 +N 1o))
129128, 127opeq12d 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
130124, 129eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
131130fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩))
132 addclpi 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
133120, 132mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
134 pinq 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 +N 1o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q)
135 nqerid 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
136133, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
137118, 131, 1363eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
139138oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
14097adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141140oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142116, 139, 1413eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
143142oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧N𝑏Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
144110, 143eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧N𝑏Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
145144eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧N𝑏Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146109, 145imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧N𝑏Q) → ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147146expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧N𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148147expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149106, 148syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150149a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152151imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧N ∧ (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154 prcdnq 11030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15565, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15676, 155mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤𝐴)
15737, 156rexlimddv 3158 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤𝐴)
158157expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑦𝐴𝑤𝐴))
159158exlimdv 1930 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑤𝐴))
16029, 159mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝑤𝐴)
16125, 160eqelssd 4016 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
1621613expia 1120 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝐴 = Q))
16324, 162mtod 198 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
164163expcom 413 . . . . . 6 (𝑏Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
16520, 164vtoclga 3576 . . . . 5 (𝐵Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
166165com12 32 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1674, 15, 1663syld 60 . . 3 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168167pm2.01d 190 . 2 (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
169 rexnal 3097 . 2 (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
170168, 169sylibr 234 1 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  wpss 3963  c0 4338  cop 4636   class class class wbr 5147   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  1oc1o 8497  Ncnpi 10881   +N cpli 10882   ·N cmi 10883   +pQ cplpq 10885  Qcnq 10889  1Qc1q 10890  [Q]cerq 10891   +Q cplq 10892   ·Q cmq 10893  *Qcrq 10894   <Q cltq 10895  Pcnp 10896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ni 10909  df-pli 10910  df-mi 10911  df-lti 10912  df-plpq 10945  df-mpq 10946  df-ltpq 10947  df-enq 10948  df-nq 10949  df-erq 10950  df-plq 10951  df-mq 10952  df-1nq 10953  df-rq 10954  df-ltnq 10955  df-np 11018
This theorem is referenced by:  ltaddpr  11071  ltexprlem7  11079  prlem936  11084
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