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Theorem prlem934 10447
 Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
prlem934 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 10403 . . . . 5 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 r19.2z 4398 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
32ex 416 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5 prpssnq 10404 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐴Q)
65pssssd 4025 . . . . . . . 8 (𝐴P𝐴Q)
76sseld 3914 . . . . . . 7 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8 addnqf 10362 . . . . . . . . . 10 +Q :(Q × Q)⟶Q
98fdmi 6499 . . . . . . . . 9 dom +Q = (Q × Q)
10 0nnq 10338 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ Q
119, 10ndmovrcl 7316 . . . . . . . 8 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥Q𝐵Q))
1211simprd 499 . . . . . . 7 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q)
137, 12syl6com 37 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1413rexlimivw 3241 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1514com12 32 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴𝐵Q))
16 oveq2 7144 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
1716eleq1d 2874 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3162 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1918notbid 321 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
2019imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21 dfpss2 4013 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q ↔ (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
225, 21sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
2322simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ¬ 𝐴 = Q)
2423adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ 𝐴 = Q)
2563ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴Q)
26 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝐴P)
27 n0 4260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
281, 27sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
30 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤Q)
31 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑏Q)
32 recclnq 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏Q → (*Q𝑏) ∈ Q)
33 mulclnq 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q)
34 archnq 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3632, 35sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤Q𝑏Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
3730, 31, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
38 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑏Q)
39 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤Q)
40 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)
41 ltmnq 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩)))
42 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏 ∈ V
43 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 ∈ V
44 fvex 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (*Q𝑏) ∈ V
45 mulcomnq 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46 mulassnq 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
4742, 43, 44, 45, 46caov12 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏)))
48 mulcomnq 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)
4947, 48breq12i 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1o⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
5041, 49syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
52 recidnq 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q (*Q𝑏)) = 1Q)
5352oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54 mulidnq 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
5553, 54sylan9eq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q𝑤Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = 𝑤)
5655breq1d 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5751, 56bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
5857biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏Q𝑤Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
5938, 39, 40, 58syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
60 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑧N)
61 pinq 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q)
62 mulclnq 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6361, 62sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6460, 38, 63syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝐴P)
66 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑦𝐴)
67 elprnq 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
6865, 66, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑦Q)
69 ltaddnq 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70 addcomnq 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
7169, 70breqtrdi 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
7264, 68, 71syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
73 ltsonq 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q Or Q
74 ltrelnq 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 <Q ⊆ (Q × Q)
7573, 74sotri 5955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
7659, 72, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
77 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨1o, 1o⟩)
79 df-1nq 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1Q = ⟨1o, 1o
8078, 79eqtr4di 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 1o → ⟨𝑤, 1o⟩ = 1Q)
8180oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 1o → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
8281oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 1o → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
8382eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 1o → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8483imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 1o → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨𝑧, 1o⟩)
8685oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏))
8786oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)))
8887eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8988imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ⟨𝑤, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
9190oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
9291oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
9392eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
9493imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑧 +N 1o) → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95 mulcomnq 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96 mulidnq 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
9795, 96syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
9998eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
10099rspccva 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102101eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103102biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
10497, 100, 103syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q ∧ (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
1051043impb 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106 3simpa 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108107eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109108rspccva 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110 addassnq 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111 opex 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧, 1o⟩ ∈ V
112 1nq 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1QQ
113112elexi 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1Q ∈ V
114 distrnq 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117 addpqnq 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((⟨𝑧, 1o⟩ ∈ Q ∧ 1QQ) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
11861, 112, 117sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)))
11979oveq2i 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩)
120 1pi 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1oN
121 addpipq 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑧N ∧ 1oN) ∧ (1oN ∧ 1oN)) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
122120, 120, 121mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑧N ∧ 1oN) → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
123120, 122mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ ⟨1o, 1o⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
124119, 123syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩)
125 mulidpi 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
126 mulidpi 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (1oN → (1o ·N 1o) = 1o)
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (1o ·N 1o) = 1o)
128125, 127oveq12d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → ((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)) = (𝑧 +N 1o))
129128, 127opeq12d 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → ⟨((𝑧 ·N 1o) +N (1o ·N 1o)), (1o ·N 1o)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
130124, 129eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
131130fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1o⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩))
132 addclpi 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑧N ∧ 1oN) → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
133120, 132mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (𝑧 +N 1o) ∈ N)
134 pinq 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 +N 1o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q)
135 nqerid 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
136133, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
137118, 131, 1363eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧N → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
138137adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩)
139138oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
14097adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141140oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142116, 139, 1413eqtr3rd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏))
143142oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧N𝑏Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
144110, 143syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧N𝑏Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)))
145144eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧N𝑏Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146109, 145syl5ib 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧N𝑏Q) → ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147146expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧N𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148147expimpd 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149106, 148syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150149a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧N → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1o), 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152151imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧N ∧ (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154 prcdnq 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15565, 153, 154syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1o⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15676, 155mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1o⟩)) → 𝑤𝐴)
15737, 156rexlimddv 3250 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤𝐴)
158157expr 460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑦𝐴𝑤𝐴))
159158exlimdv 1934 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑤𝐴))
16029, 159mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝑤𝐴)
16125, 160eqelssd 3936 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
1621613expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝐴 = Q))
16324, 162mtod 201 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
164163expcom 417 . . . . . 6 (𝑏Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
16520, 164vtoclga 3522 . . . . 5 (𝐵Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
166165com12 32 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1674, 15, 1663syld 60 . . 3 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168167pm2.01d 193 . 2 (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
169 rexnal 3201 . 2 (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
170168, 169sylibr 237 1 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  ∅c0 4243  ⟨cop 4531   class class class wbr 5031   × cxp 5518  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1oc1o 8081  Ncnpi 10258   +N cpli 10259   ·N cmi 10260   +pQ cplpq 10262  Qcnq 10266  1Qc1q 10267  [Q]cerq 10268   +Q cplq 10269   ·Q cmq 10270  *Qcrq 10271
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